随机过程-简版.ppt

1、第三章 随机过程,主要内容（1）,概率 随机变量 分布函数 多维随机变量 随机变量的数字特征 随机变量的独立性与相关性,主要内容（2）,随机过程的基本概念及其统计分析方法 平稳随机过程的特征 高斯过程的分析方法和统计特征 窄带过程的分析方法和统计特征 正弦波加窄带过程的分析方法和统计特性 随机过程通过线性系统的分析方法,重点,掌握随机过程的基本概念和一般分析方法； 掌握高斯过程的统计平均量求解方法； 掌握窄带过程和正弦波加窄带过程的分析方法以及它们的包络统计特性和相位统计特性； 掌握随机过程通过线性系统的分析方法。,独立性,如果A和B同时出现的概率P(AB)= P(A) P(B) ，则称事件A

2、、B是相互独立的，简称为独立的。,概率的性质（1）,任何随机事件的概率P(A)，其值介于0P(A)1之间。 条件概率：P(A|B) 为事件B已出现的条件下，事件A发生的概率。 若A 、B独立： P(A|B)P(A) ， 若P(B|A)P(B) ：A、B独立。 一般情况下P(A|B) P(B|A),概率的性质（2）,P(A) P(B|A) = P(B) P(A|B) 贝叶斯（Bayes）公式,例题：信源包含两个独立的符号0和1，事件A0和A1分别表示信源发出0和1，事件B0和B1分别表示信宿收到0和收到1。 已知：P(A0)=2/3，P(B1|A0)=1/6， P(B0|A1)=1/4。 求：(

3、1)收到1和收到0的概率； (2)误码率； (3)在已知B0和B1分别发生的条件下，求A0和A1发生的概率（后验概率）。,解： (1）收到1和收到0的概率 P(A1) = 1 - P(A0) = 1/3 P(B0|A0) = 1- P(B1|A0) = 5/6 P(B1|A1) = 1-P(B0|A1) = 3/4 求出4个联合概率为： P(A0 B0)= P(A0) P(B0|A0)=5/9，为发0收0概率 P(A1 B0)= P(A1) P(B0|A1)=1/12，为发1收0概率 P(A0 B1)= P(A0) P(B1|A0)=1/9，为发0收1概率 P(A1 B1)= P(A1) P(

4、B1|A1)=1/4，为发1收1概率 收到0的概率为： P(B0)= P(A0 B0) + P(A1 B0)=23/36； 收到1的概率为： P( B1) =P(A0 B1) + P(A1 B1) =13/36；,P(A0)=2/3，P(B1|A0)=1/6， P(B0|A1)=1/4,（2）误码率 Pe= P(发1而且收0) + P(发0而且收1) =P(A1 B0) + P(A0 B1) =7/36,P(A0)=2/3，P(B1|A0)=1/6， P(B0|A1)=1/4,（3）在已知B0和B1分别发生的条件下，求A0和A1发生的概率（后验概率）。 根据贝叶斯公式 在已收到0的条件下： 发

5、出的是0的概率为 P(A0 |B0)= P(A0 B0)/ P(B0)=20/23 发出的是1的概率为 P(A1 |B0)= P(A1 B0) / P(B0)=3/23 在已收到1的条件下： 发出的是0的概率为 P(A0 |B1)= P(A0 B1)/ P(B1)=4/13 发出的是1的概率为 P(A1 |B1)= P(A1 B1) / P(B1)=9/13,P(A0)=2/3，P(B1|A0)=1/6， P(B0|A1)=1/4,随机变量的分布函数,定义：设X是一个随机变量，x为任意实数，函数F(x)=PXx，称为随机变量的分布函数。 性质： 取值范围 F(x)是非减函数，如果有x1x2,那

6、么F(x1) F(x2)。 右连续， X落在区间(a,b内的概率,概率密度函数的性质,非负性： 规范性： 若 在x处是连续的，则 设a，b为任意实数，且 ，则,常见随机变量举例,均匀分布随机变量,指数分布随机变量,高斯分布随机变量,瑞利(Rayleigh)分布随机变量,泊松（Poisson ）分布,随机变量的数字特征,随机变量某一方面的概率特性都可用数字来描写 数学期望：随机变量的平均取值 方差：随机变量取值平均偏离均值的情况 协方差与相关系数：描述两个随机变量间的某种关系的数,相关与独立,独立一定不相关，但不相关不一定独立。 不相关只是就线性关系而言的，而相互独立是就一般关系而言的。,什么是

7、随机过程？（1）,统计电话总机在0，t时间内收到的呼唤次数。当t0（0）固定时，总机在0， t0内收到的呼唤次数是个随机变量，记为X（ t0,）或X（）简写X，它的所有可能取值是0，1，2，n ，。 X（）是相对时间t不变的“静止”的随机变量，是概率论研究的问题。 那么当t从0变到+时，t 时刻前收到的呼唤次数？,什么是随机过程？（2）,设Sk(k=1, 2, )是随机试验，每一次试验都有一条时间波形xi(t)，是一个样本函数，或一条样本曲线，它表示一次试验结果，是的函数。 0，t时间内总机收到的呼唤次数的问题可看作一族样本曲线x1 (t)，x2 (t)， xn (t) 对某个t0T，对应值是

8、x1 (t0), x2 (t0), xn(t0) 是随机变量取值，记此随机变量为X(t0)。对所有的tT对应X(t)是一族（无限多个）随机变量，此结果是t的函数。,故我们要研究t从0+时在0,t内收到的呼唤次数，要用一族（无穷多个）随机变量来描述，记成X（t，），t0，+），或 X（t），t（0，+）。这是一个随机过程，它是依赖一个参数t而变化的一族随机变量。可看出它是研究一个“过程”问题的。,具有随机初位相的简谐波 X（t）=acos（0t+），-t+，其中a与0是正常数，是在0，2上均匀分布的随机变量。 随机过程X（t）是一族随机变量。对每个固定t0， X（ t0 ）= acos(0 t0

9、 +)是个随机变量。 随机过程是一族样本函数。在=0，2 上任给定一个相位i=e，就对应一个样本曲线。,随机过程的定义,设随机试验E的可能结果为(t)，试验的样本空间S为x1(t), x2(t)， , xn(t),， xi(t)是第i次试验的样本函数或实现，每次试验得到一个样本函数，所有可能出现的结果的总体就构成一随机过程，记作(t)。 两层含义： 随机过程(t)在任一时刻都是随机变量； 随机过程(t)是大量样本函数的集合。,随机过程的特点,它是一个时间函数。 在固定的某一观察时刻t1，(t1)是随机变量。 随机过程具有随机变量和时间函数的特点。 随机过程(t)在任一时刻都是随机变量，在进行观

10、测前是无法预知是空间中哪一个样本，全体样本在t1时刻的取值(t1)是一个不含t变化的随机变量； 随机过程(t)是大量样本函数的集合。,一维随机过程的统计特性（1）,设(t)表示一个随机过程，在任意给定的时刻t1T， 其取值(t1)是一个一维随机变量。 我们把随机变量(t1)小于或等于某一数值x1的概率 简记为F1(x1, t1)，即,分布函数,一维随机过程的统计特性（2）,如果下式存在 则称 为(t)的一维概率密度函数,N维随机过程的统计特性,任意给定t1, t2, , tnT, 则(t)的n维分布函数被定义为 如果下面的公式存在的话， 为(t)的n维概率密度函数,随机过程的数字特征（1）,数

11、学期望 方差,随机过程的数字特征（2）,自协方差函数 自相关函数 设(t)和(t)分别表示两个随机过程，互相关函数,平稳随机过程,平稳随机过程（严平稳随机过程）：统计特性与时间起点无关。 设随机过程(t),若对于任意n和任意选定t1 t2 tn, tkT， k=1, 2, , n，以及为任意值，且x1, x2, , xnR，有 fn(x1, x2, , xn; t1, t2, , tn) =fn(x1, x2, , xn; t1+ , t2+ , , tn+) 则称(t)是平稳随机过程,推论,平稳随机过程的一维分布与时间t无关， 二维分布只与时间间隔有关。从而有,广义平稳随机过程,若随机过程(

12、t)的均值为常数，自相关函数仅是的函数， 则称它为宽平稳随机过程或广义平稳随机过程。,平稳的理解,数学上：严平稳是说多维分布独立于时移，宽平稳是说均值及自相关函数与绝对时间无关。 实际信号：严平稳包含了宽平稳。 通信中多数情况只涉及二维分布特性，因此以后说的平稳都指宽平稳。,各态遍历,如果某个时间平均的特征（比如均值、功率等等）对所有的样本都相同，则称此特征具有遍历性。,集合平均与时间平均,集合平均：由涉及到随机过程的所有可能“现实”得到的统计特征是随机过程的集合均值。 时间平均：对随机过程的每一个现实而言的。例如随机过程的某一个现实 的时间平均,平稳遍历的随机信号的相关函数,偶函数性： 极值

13、性： 平均功率： 直流功率： 交流功率：,平稳随机过程的功率谱密度,随机过程的功率谱密度应看作是每一个实现的功率谱的统计平均 平稳随机过程(t)的自相关函数与其功率谱密度之间互为傅里叶变换。,高斯随机过程,如果随机过程的任意n维概率分布都是正态分布，则称它为正态随机过程或高斯随机过程，简称正态过程或高斯过程。,高斯随机过程的性质,高斯过程若是广义平稳的，则必是狭义平稳的。 如果高斯过程中随机变量间互不相关，则它们也是统计独立的。 不相关统计独立 平稳高斯随机过程X(t)与确定信号s(t)之和的概率分布仍为正态分布。（但一般不再是平稳的） 若干个高斯过程之和的过程仍是高斯型。 高斯过程经过线性变

14、换（或通过线性系统）后的过程仍是高斯过程 。,正态概率密度的性质,p(x)对称于直线 x = a，即有： p(x)在区间(-, a)内单调上升，在区间(a, )内单调下降，并且在点a处达到其极大值 当x - 或 x + 时，p(x) 0。 p(x)的图形随a与变化,误差函数（1）,正态分布函数即是一维分布密度函数的积分： （x）称为概率积分函数，简称概率积分。 由于此积分不易计算，引入误差函数erf（x）。引入它的好处在于，其简洁的特性有助于分析通信系统的抗噪声性能。,误差函数（2）,误差函数 补误差函数 正态分布函数,误差函数的性质,误差函数是自变量的递增函数，而且： erf(-x)=-er

15、f(x)；erf()=1。 补误差函数是自变量的递减函数，而且： erfc(0)=1;erfc()=0; erfc(-x)=2-erfc(x)。,高斯白噪声,功率谱密度在很宽的频带范围都是常数。 由大量互相独立的任意分布的随机杂波迭加而成。 平均直流分量为零。 高斯白噪声是用来描述广泛存在于信道中的起伏噪声的数学模型。它有以下特性： 随时间无序变化，随意样本不可预测。 平均值与时间无关，相关函数只取决于时差。 长时间的平均等于大量样本的统计平均。 概率密度函数是均值为零的高斯型曲线。 功率谱密度呈均匀分布（在很宽的范围内不变）。 自相关函数为冲击函数，表明它是随机毫无记忆可言。,低通高斯噪声,

16、带通（窄带）高斯噪声,窄带随机过程,一个平稳过程，若它的功率谱带宽为有限值，那么则称它为限带过程。 在电子通信系统中所遇到的随机过程几乎都是限带过程。,低通过程和带通过程,低通过程 带通过程,aX(t) 窄带随机过程的随机包络； X(t) 窄带随机过程的随机相位； 0 正弦波的角频率。 上式可以改写为： X (t)的同相分量 X (t)的正交分量,Xc(t)和Xs(t)的统计特性,设X(t)是一个均值为0的平稳窄带高斯过程，则 Xc(t)和Xs(t)也是平稳的； Xc(t)和Xs(t)也是高斯过程，而且 Xc(t)、Xs(t) 方差等于X(t)的方差； 在同一时刻上得到的Xc和Xs是不相关的和统计独立的。,包络和相位的统计特性,窄带平稳随机过程包络aX(t) 服从瑞利分布,窄带平稳随机过程相位X(t)服从均匀分布,正弦波加窄带高斯过程,通信系统中的正弦波加窄带高斯过程： A 正弦波的确知振幅； 0 正弦波的角频率； 正弦波的随机相位； n(t) 窄带高斯噪声。,r (t )的包络的概率密度,式中， I0() 零阶修正贝塞尔函数。 当信噪比很小时