第七章+梁的位移及简单超静定粱.ppt

1、基 本 要 求,1.明确挠曲线、挠度和转角的概念，深刻理解梁挠曲线近似微分方程的建立过程。 2.掌握计算梁位移的积分法和叠加法。 3.了解梁的刚度条件和提高梁刚度的主要措施。,第七章 弯曲位移,7.1 概述,7.2 挠曲线近似微分方程及其积分,7.4 梁的刚度条件 提高梁刚度的措施,7.3 用叠加法求梁的位移,7.5 弯曲应变能,目 录,7.6 简单超静定梁的解法,7.1 概述,车床主轴,叠板弹簧,在本章中，研究梁弯曲变形的主要目的是： （1）对梁作刚度校核7.4 ； （2）解超静定梁7.6 。,x横截面的形心C沿y方向的位移 ，称为该截面的挠度。,x横截面相对于原方位的转角 （横截面绕中性轴

2、z的转角），称为该截面的转角。细长梁一般不计剪力 对位移的影响，平面假设依然成立，变形后的横截面仍垂直于挠曲线，所以 也是x轴和挠曲线在点 处切线的夹角。,很小，（0.001rad0.005rad）,挠曲线上任一点处切线的斜率等于该点处横截面的转角。,小变形时，任意横截面在水平方向的位移都可略去，所以B截面的水平位移,图示二梁的EI、l、Me分别相同，它们的变形程度 （中性层的曲率）相同，但位移不同。变形与Me、EI有关，位移不仅与Me、EI有关还与约束有关，用位移表示梁的变形情况更为恰当。,7.2 挠曲线近似微分方程及其积分,纯弯曲时梁中性层的曲率为,横力弯曲时，梁的内力有剪力和弯矩，细长梁

3、不计剪力对位移的影响。但注意M和均为x的函数。将上式改写为,在高等数学中，,小变形时,于是,由上两式，得,如何确定上式右端的正、负号？,确定上式右端的正、负号,（EI为常量）,M与 的正、负始终相反。于是,左式为梁的挠曲线近似微分方程,近似原因,不计剪力FS对位移的影响,将上式改写为,积分一次,再积分一次,为积分常数，由已知的位移边界条件确定。,例7-1 求 ，并确定 和 。EI为常数。,解：1.列弯矩方程,2.建立挠曲线近似微分方程，并对其积分,3.确定积分常数,位移边界条件,由转角边界条件,由挠度边界条件,4.转角方程和挠度方程,5.求 和,挠曲线的大致形状如图中虚线所示，可见 和 均发生

4、在B截面。把x=l，代入转角和挠度方程，得,讨论：C1，C2的物理意义,本例中，因为左端固定,分别为初始截面（x=0的截面） 的转角和挠度,例7-2 求 ，并确定 和 。EI为常数。,解：该梁的AC和CB段的弯矩方程不同，必须分段列M(x)，分段建立挠曲线的近似微分方程，并积分,AC(I)段( ),CB()段 ( ),(以x左段为分离体，F(x-a)不展开),以(x-a)为 积分变量,1.位移边界条件,C点的位移 连续条件,四个条件确定四个常数 C1、C2、D1、D2,四个积分常数简化为两个,第I、两段均以x左段为分离体列M(x)方程，第段M2(x)方程中的F(x-a)不展开，并以(x-a)为

5、变量进行积分，利用位移连续条件将积分常数归结为两个，由位移边界条件确定这两个积分常数。否则确定4个积分常数，成为联立求解关于C1、C2、D1、D2的方程组。,2.把四个积分常数代回(1)、 、(2)、 式得转角方程和挠度方程分别为,(I)段( ),()段( ),3.求 和,由挠曲线大致形状可见，可能为 或 。,当ab 时，,当ab 时，,当xa 时，,所以，x0位于AC段，由(3)式,(5)式代入(4)式得,(5),（6）,的近似值,由（6）式得，,由(4)式得,，略去b2项，, 积分法求位移注意事项, 作题时坐标系必须如上所述。,2当需分段列M(x)方程时，应按例7-2方法进行计算。,例7-

6、3 画图示梁挠曲线的大致形状。,E1点为枴点,解：挠曲线的大致形状，是根据梁的约束情况(位移条件)和M图画出的。,A为固定端，,D1点可在D点以上或在D点以下，也可和D点重合，但应注意D1点处的位移连续条件。,AE段M为负，挠曲线为上凸；,ED段M为正，挠曲线为下凸；,E1处为挠曲线的拐点；,DB段M=0，挠曲线为斜直线；,7.3 用叠加法求梁的位移,叠加法：小变形且材料在线弹性范围内作用时，梁在几种荷载同时作用下的位移，等于梁在各种荷载单独作用下的位移之和。,积分法是求梁位移的基本方法，由转角方程和挠度方程，可以求任意截面的转角和挠度，但计算过程冗长。,实际应用中，常常只需确定某些指定截面的

7、位移值，为此可将梁在简单荷载作用下的位移值列成表格(见表7-1，P155页)，利用叠加法求在几种荷载同时作用下梁的位移。,例如求D点的挠度,例7-4 用叠加法求 ，EI为常量。,解：,由表7-1查得,将相应的位移叠加，得,练习：求图示简支梁的,解：,由表7-1查得,将相应的位移叠加，得,例7-5 用叠加法求 ，EI为常量。,图b梁的CB段的挠曲线为斜直线，所以,解：将图a所示梁分解为图b和图c两种情况，其挠曲线的大致形状如图所示。,(小变形时 ),(1),由表7-1查得,(2),将 (2)式代入(1)式，得,(3),由表7-1查得，在图c中,将相应位移叠加，可得,图b中，CB段的弯矩等于零，其

8、挠曲线为斜直线,是该题的重点。,练习 用叠加法求 ，EI为常量。,例7-6 用叠加法求 ，EI为常量。,图 a所示梁上虽然只有一种荷载，但表7-1中没有这种情况，为了能利用表7-1求解。把图a所示梁分解成图b和图c两种情况。,解：,由于梁的两端均为铰支座，所以梁是关于C截面对称的，称为对称梁。图b中荷载也是对称的，其挠度为对称的，转角为反对称的。由表7-1查得,图c中荷载为反对称的,转角为对称的,梁的弯矩为反对称的,这些条件和C截处有一铰支座约束是相当的，于是把图c梁中的AC、CB段视为两个简支梁（图d、e）。由表7-1查得,其挠度为反对称的,将相应的位移叠加，得,讨论，利用对称性解题简便，要

9、能灵活运用。例如,利用对称性易得分解后的C点的挠度,利用对称性易得分解后的C点的挠度,1,2,3,利用对称性易得分解后的C点的挠度,梁为对称结构,例7-7 用叠加法求 ，EI为常量。,解: 将力F向B截面平移,得到作用于B截面的力F和力偶矩,(图b),图a和图b所示梁的AB段受力相同,约束相同,故二者的位移相同。F力作用在支座上，它不会使梁产生位移，查表7-1（4）得,因为BD1为斜直线,将相应的位移叠加，得,例7-8 AD、DB段的弯曲刚度均为EI，求 。,解：主梁AD和副梁DB的受力图如图b所示。,查表7-1，得,由图c可见,查表7-1，得,将相应的位移叠加，得,讨论：1.对多跨静定梁进行

10、受力分析时，是先分析副梁，再分析主梁，即先副后主。,2.对多跨静定梁进行位移分析时，是先主梁后副梁，副梁的位移是由主梁的位移引起的副梁的位移和副梁由荷载产生的位移的叠加。,7-4 梁的刚度条件 提高梁刚度的措施,一、刚度条件,梁的位移过大时，将影响梁的正常工作，例如，铁路桥梁的挠度过大，火车经过时，出现爬坡现象，且引起很大振动。车床主轴的位移过大，影响齿轮的啮合，造成轴和轴承的磨损，影响加工质量。所以必须把梁的位移限制在一定范围内。刚度条件为,二、提高梁刚度的措施,由表7-1可见，w和均与EI成反比，与l的n次方成正比。,1.增加EI。各类钢材的E值相差不大，所以选用高强度优质钢并不能增加钢梁

11、的弯曲刚度。中性轴使I增加，例如,2 .减小l或增加支承。,查型钢表,20b号工字钢,1. 正应力强度,2. 校核切应力强度,3. 校核刚度,可选20b号工字钢。,7-5 弯曲应变能,一、纯弯曲M=Me(常量),二、横力弯曲,细长梁可不计剪切应变能。M(x)为x的函数，取dx段研究弯曲应变能。,利用 求梁的位移，将在第十二章能量方法中研究。,7-6 简单超静定梁的解法,1超静定梁的概念,超静定次数也是“多余”约束或“多余”未知力个数。,2超静定梁的解法,基本系统解除多余约束后的静定梁（图b）,相当系统在基本系统上加上荷载及多余未知力，并满足原结构变形限制条件 。(图c),根据变形限制条件，用叠

12、加法求冗力。,利用相当系统画FS、M图(图d、e)。,利用相当系统求位移(图f)。用叠加法求得,3超静定梁与静定梁的比较,静定梁（无B支座）,超静定梁,用积分法求得,误差,超静定梁提高了梁的强度和刚度。,只要解除超静定梁某种约束后，使其成为静定梁，该约束就是多余约束。所以超静定梁的多余约束可有多种，应当注意相当系统的位移限制条件必须与选定的多余约束相对应。本题中若以阻止A截面转动的约束为多余约束，MA为多余未知力，位移限制条件为A0。相当系统为,例7-10 求图a所示梁的支座反力，EI为常量。,解：图a所示梁的相当系统可取图b、c、d三种。,图b是以支座C为多余约束，FC为多余未知力，位移限制条件为wC=0。,解得,由平衡方程得,图c是以支座B为多余