信息论与编码理论基础(第六章).ppt

1、2020/9/23,1,第六章：线性分组码,6.1 分组码的概念(与主教材标题不同) 6.2 线性分组码 6.3 线性分组码的校验矩阵(与主教材标题不同) 6.5 译码方法和纠错能力(与主教材标题不同) 6.4 、6.6、6.7、6.8 一些特殊的线性分组码,2020/9/23,2,6.1 分组码的概念,设信道是一个D元字母输入/ D元字母输出的DMC信道，字母表为0, 1, , D-1。其信道转移概率矩阵为DD矩阵 传输错误的概率为 p。信道容量为 C=logD-H(p)-plog(D-1)。,2020/9/23,3,6.1 分组码的概念,对随机变量序列X1X2进行的信道编码为(N, L)码

2、：(X1X2XL)(U1U2UN)=C(X1X2XL)。 这个(N, L)码又称为(N, L)分组码。 已经有结论：当设备所确定的编码速率RC/H(X)时， 存在(N, L)分组码，使得 实际编码速率 (信息率L/N)任意接近R， 译码错误的概率任意接近0。 问题是：怎样构造这样的分组码？这样的分组码的编码、译码计算量会不会太大？（这才是研究分组码的含义）,2020/9/23,4,6.1 分组码的概念,预备知识1：有限域 设D是一个素数。于是字母表0, 1, , D-1中的所有字母关于(modD)加法、(modD)乘法构成了一个封闭的代数结构，称作有限域，又称作Galois域，记作GF(D)：

3、 GF(D)=(0, 1, , D-1, (modD)加法, (modD)乘法)。 即 （1）(0, 1, , D-1, (modD)加法) 构成交换群（Abel群）。 （2）(1, , D-1, (modD)乘法) 构成交换群（Abel群）。 （3）分配率成立：a(b+c) (modD) =ab+ac(modD)。,2020/9/23,5,6.1 分组码的概念,注1：如果D不是素数， (0, 1, , D-1, (modD)加法, (modD)乘法)不是有限域，只是有限环。 注2：有限域GF(D)上的线性代数完全类似于实数域上的线性代数，线性代数的所有内容都在“加法”和“乘法”基础上得到。

4、元素的“加法”负元；非0元的“乘法”逆元； 一组向量是否“线性无关”的概念以及所有等价的判别方法； 矩阵的“秩”的概念以及所有计算方法； 方阵是否“可逆”的所有判别方法； 求方阵的“逆阵”的所有算法； 关于对称矩阵的所有结论；等等。 注3：有限域GF(D)与实数域的区别是：传统的“逼近”、“极限”的概念消失了。,2020/9/23,6,例：取D=2，则GF(2)=(0, 1, (mod2)加法, (mod2)乘法)。运算规则为： 0+0=1+1=0，0+1=1， 00=01=0，11=1。,方阵 是否可逆？回答是肯定的。两种不同的判 别方法都能够证明它是可逆的 ： （1）它经过可逆行变换能够变

5、成单位阵； （2）它的行列式不等于0。（等于1！）,2020/9/23,7,6.1 分组码的概念,该方阵的逆矩阵是什么？ 怎样计算？做联合可逆行变换：,2020/9/23,8,6.1 分组码的概念,例：取D=3，则GF(3)=(0, 1, 2, (mod3)加法, (mod3)乘法)。运算规则为：0+0=1+2=0，0+1=2+2=1，0+2=1+1=2， 00=01=02=0，11=22=1，12=2。 矩阵 是不是满行秩的？ 换句话说，此矩阵的三个行向量是不是在域GF(3)上线性无关的？再换句话说，能否保证此矩阵的各行的任何非0线性组合都不是全0的4维向量？再换句话说，此矩阵能否通过一些可

6、逆行变换变成一个“阶梯阵”？,2020/9/23,9,6.1 分组码的概念,可逆行变换,2020/9/23,10,6.1 分组码的概念,例：域GF(D)上的一个L行N列的矩阵（LN阶的矩阵）G，设它是满行秩的（当然此时有LN）。则变换 (u1, u2, , uN)=(x1, x2, , xL)G 一定是单射(即(x1, x2, , xL)的不同值一定变换为(u1, u2, , uN)的不同值)。 证明 设u(1)=x(1)G， u(2)=x(2)G ，且x(1)x(2)。要证明u(1)u(2)。根据线性性质， u(1)-u(2)=(x(1)-x(2)G， 因为(x(1)-x(2)全0的L维向量

7、，所以(x(1)-x(2)G是G的各行的非0线性组合。G满行秩，所以(x(1)-x(2)G全0的N维向量。所以u(1)u(2)。,2020/9/23,11,6.1 分组码的概念,预备知识2：有限域上的分组码 当D是素数时，分组码可以充分利用有限域GF(D)的代数运算，使得编码和译码更加简便。,2020/9/23,12,6.2 线性分组码,定义 取GF(D)上的一个L行N列的矩阵G，它是满行秩的。(N, L)分组码定义为 (u1, u2, , uN)=(x1, x2, , xL)G 其中(x1, x2, , xL)是信息向量，(u1, u2, , uN)是对应的码字。 （1）称此码为D元(N,

8、L)线性分组码。 （2）称矩阵G为此码的生成矩阵。,2020/9/23,13,6.2 线性分组码,线性分组码的代数结构 命题1 不同的信息向量对应不同的码字。 （因为矩阵G是满行秩的，所以变换u=xG是单射） 命题2 生成矩阵G的第1行是信息向量(1, 0, 0, , 0)的码字； 生成矩阵G的第2行是信息向量(0, 1, 0, , 0)的码字； 生成矩阵G的第L行是信息向量(0, , 0, 0, 1)的码字。,2020/9/23,14,6.2 线性分组码,命题3 信息向量(x1, x2, , xL)的码字是： x1数乘G的第1行，加x2数乘G的第2行，加，加xL数乘G的第L行。 换句话说，

9、任何一个码字都是生成矩阵G的线性组合。 命题4 当u(1)和u(2)都是码字， u(1)+u(2)也是码字。（线性分组码的码字关于线性运算封闭） 证明 设 u(1)是信息向量x(1)的码字：u(1)=x(1)G； u(2)是信息向量x(2)的码字：u(2)=x(2)G。 则u(1)+u(2)=x(1)G+x(2)G=(x(1)+x(2)G，即u(1)+u(2)是信息向量(x(1)+x(2)的码字。 证完。,2020/9/23,15,6.2 线性分组码,（命题3和命题4告诉我们，一个N维向量是一个码字，当且仅当它是生成矩阵G的第1行第L行的线性组合。还告诉我们，线性分组码的码字集合构成一个线性空

10、间。这个线性空间是几维的？L维的，因为生成矩阵G的第1行第L行恰好是该线性空间的一组基） 命题5 设一个D元(N, L)线性分组码的生成矩阵为G。设另一个D元(N, L)线性分组码的生成矩阵为G=MG，其中M是L阶可逆方阵。则两个码的码字集合完全重合，只是信息向量与码字的对应关系不同。 换句话说，如果把线性分组码的生成矩阵G做可逆行变换变成另一个生成矩阵，则不改变码字集合，只改变信息向量与码字的对应关系。,2020/9/23,16,6.2 线性分组码,证明 （要证明，第一个码中任一个码字也是第二个码中的码字；第二个码中任一个码字也是第一个码中的码字） 设在第一个码中，u是信息向量x的码字： u

11、=xG； 则在第二个码中，u是信息向量xM-1的码字： u=xM-1MG= xM-1G。 设在第二个码中，u是信息向量x的码字： u=xG； 则在第一个码中，u是信息向量xM的码字： u=xMM-1G= xMG。 证完。,2020/9/23,17,6.2 线性分组码,线性分组码的特例：系统码 定义(p178) D元(N, L)线性分组码的生成矩阵为 G=PL(N-L), IL， 其中IL是L阶单位阵， PL(N-L)是(N-L)L阶矩阵。则称此码为系统码。此时信息向量(x1, x2, , xL)的码字是 (u1, u2, , uN)=(x1, x2, , xL)G =(x1, x2, , xL

12、) PL(N-L), x1, x2, , xL)。 码字的后L位恰好是信息向量(x1, x2, , xL)，称为码字的信息位。称码字的前N-L位为码字的一致校验位。,2020/9/23,18,6.2 线性分组码,例 此二元(7, 4)码是线性分组码，生成矩阵G是由信息向量(1000)、(0100)、(0010)、(0001)的码字组成的4行,2020/9/23,19,6.2 线性分组码,例 此二元(5, 3)线性分组码的生成矩阵是,2020/9/23,20,6.3 线性分组码的校验矩阵,线性分组码的校验矩阵 定理(p179) 对于D元(N, L)线性分组码的生成矩阵G（ G 是LN阶矩阵），必

13、存在一个(N-L)N阶矩阵H， （1）H是满行秩的； （2）GHT= OL(N-L)。 （HT是H的转置矩阵， OL(N-L)是全0的L(N-L) 阶矩阵。不证明。这方面的知识属于有限域上的线性代数） 定义(p179) 由上述定理所描述的矩阵H称为D元(N, L)线性分组码的校验矩阵。,2020/9/23,21,6.3 线性分组码的校验矩阵,有以下的结论。 （1）一个线性分组码有很多校验矩阵。一个校验矩阵H经过可逆行变换变为H， H是同一个线性分组码的另一个校验矩阵。 （2）固定一个校验矩阵H。则一个N维向量u是一个码字，当且仅当：uHT=全0的N-L维行向量。 （3）设一个D元(N, L)线

14、性分组码的生成矩阵G，校验矩阵H。则H是一个D元(N, N-L)线性分组码的生成矩阵，G是此码的一个校验矩阵。称这两个码互为对偶码。,2020/9/23,22,6.3 线性分组码的校验矩阵,（怎样由生成矩阵G计算出校验矩阵H？） （4）设D元(N, L)线性分组码是系统码，生成矩阵为G=P, IL，其中IL是L阶单位阵，P是L(N-L)阶矩阵。则校验矩阵可以取为H=IN-L, -PT，其中IN-L是N-L阶单位阵，PT是P 的转置矩阵。 证明 GHT=P, IL IN-L, -PTT=P-P=OL(N-L)。证完。 （5）设D元(N, L)线性分组码的生成矩阵经过可逆行变换后变为P, IL，则

15、校验矩阵也可以取为H=IN-L, -PT。,2020/9/23,23,6.3 线性分组码的校验矩阵,2020/9/23,24,6.5 译码方法和纠错能力,线性分组码的纠错译码准则 定义 (已知) 一个N维向量u的Hamming重量定义为它的对应位置值等于0的位数。记为w(u)。 两个N维向量u(1)和u(2)的Hamming距离定义为它们的对应位置值不相同的位数。记为d(u(1), u(2)。 显然有以下的结论 d(u(1), u(2)=w(u(1)-u(2)。 三角不等式： d(u(1), u(3)d(u(1), u(2)+ d(u(2), u(3)。 或 w(u(1)-u(3) w(u(1

16、)-u(2)+ w(u(2)-u(3)。,2020/9/23,25,6.5 译码方法和纠错能力,设GF(D)上的D元(N, L)线性分组码，生成矩阵为G。 将信息向量x编码，得到码字u=xG。将码字u输入信道。信道的输出值为y。 使用最小距离准则：给定输出值y，寻找码字c使d(y, c)最小。将输出值y译为码字c。当c=u时，就实现了正确译码。 直接使用最小距离准则的困难：需要将DL个码字与输出值y的Hamming距离进行对比，才能找到码字c使d(y, c)最小。计算量大。,2020/9/23,26,编码- 译码过程图示。其中x(1)、x(2)、x(3)、x(4)是各个信息向量；c(1)、c(

17、2)、c(3)、c(4)是各个对应码字。,2020/9/23,27,6.5 译码方法和纠错能力,实用纠错译码算法的预备知识：差错向量和伴随式 定义6.1.8 设：信道的输入为码字u；信道的输出值为向量y。称向量 e=y- u 为差错向量，或差错图样。 （请注意：此时y=u+e；u=y-e；向量的加减法是对应分量的(modD) 加减法。在信道的输出端，只能得到输出向量y，并不能得到差错向量e，因此不能得到输入码字u。） 定义6.1.9(p195) 设H是校验矩阵。对于N维行向量t，记 s=tHT 并称N-L维行向量s为N维行向量t的伴随式。,2020/9/23,28,6.5 译码方法和纠错能力,

18、有以下的结论。 （1）N维行向量t是一个码字，当且仅当t的伴随式是一个全0的N-L维行向量。（这是已知的结论） （2）设信道的输入码字u，输出向量y，差错向量e=y- u，则e的伴随式等于y的伴随式。 证明 eHT=(y-u)HT=yHT-uHT=yHT。证完。 结论（2）的注解：在信道的输出端，虽然不能得到差错向量，却能计算出差错向量的伴随式：它恰好等于输出向量的伴随式。换句话说，设输出向量为y，并计算出y的伴随式s=yHT。则此时虽然不能确切地得到差错向量，但任何一个“可能的差错向量”e都满足方程 eHT=s,2020/9/23,29,6.5 译码方法和纠错能力,（3）设 输出向量为y，并

19、计算出了y的伴随式s=yHT。 t是任意一个满足方程s=tHT的N维行向量。 则： y- t是一个码字 。 证明 (y-t)HT=yHT-tHT=s-s=全0的N-L维行向量， 因此y- t是一个码字。证完。 结论（3）的注解：当输入码字为该y- t，差错向量为该t时，输出向量必然为该y。换句话说，此时的t就是一个“可能的差错向量”。 结论（2）和结论（3）的综合结论：设输出向量y，并计算出了y的伴随式s=yHT。则此时所有“可能的差错向量” ， 恰好就是方程s=tHT的所有解t。,2020/9/23,30,6.5 译码方法和纠错能力,（4）设输出向量为y，并计算出了y的伴随式s=yHT。则此

20、时所有“可能的差错向量” ，恰好就是任何一个“可能的差错向量”加上全体码字。 换句话说，此时所有“可能的差错向量”，恰好就是方程s=tHT的任何一个固定解t加上全体码字。 （证明思想：非齐次通解=非齐次特解+齐次通解） （5）每个伴随式所对应的“可能的差错向量”共有DL个。伴随式是N-L维行向量，因此有DN-L个不同的伴随式。不同的伴随式所对应的“可能的差错向量”不会重合。DLDN-L=DN。 定义 在以s为伴随式的全体“可能的差错向量”中，取一个Hamming重量最小的向量称为s的陪集首，记为e(s)。 （在以s为伴随式的全体“可能的差错向量”中，Hamming重量最小的向量或许有不止一个。

21、任意选择一个作为陪集首e(s)即可）,2020/9/23,31,6.5 译码方法和纠错能力,（6）对信道的输出向量y，计算伴随式s=yHT，以s为地址查找陪集首e(s)，计算u=y- e(s)。则u就是在所有码字中与y的Hamming距离最小的码字。 证明 首先，注意到e(s)是一个“可能的差错向量”。 因此 uHT=yHT- e(s)HT=s-s=全0的N-L维行向量， 说明 u=y- e(s)是一个码字。 其次，对任意另一个码字c， (y- c)HT=yHT- cHT=yHT=s。 这就是说，(y- c)是另外一个“可能的差错向量”。 另一方面，(y- u)=e(s)是以s为伴随式的所有“

22、可能的差错向量”中Hamming重量最小的。 所以w(y- u)w(y- c)，即d(y, u)w(y, c)。证完。,2020/9/23,32,6.5 译码方法和纠错能力,实用纠错译码算法 预计算 对每个伴随式（即N-L维行向量）s，寻找s的陪集首e(s)，并以s为地址存储e(s)。（预计算的总体计算量很大，但有许多技巧可以大幅度地减少计算量） 现场纠错译码 （1）对信道的输出向量y，计算伴随式s=yHT。 （2）以s为地址查找陪集首e(s)。 （3）将输出向量y译为码字u=y- e(s)。结束。u就是在所有码字中与y的Hamming距离最小的码字。,2020/9/23,33,6.5 译码方

23、法和纠错能力,现场纠错译码的计算量 计算量最大的是第（2）步。因为s是N-L维行向量，所以查找s的计算量是 logDN-L=(N-L)logD （而不是DN-L）。 总之，计算量远远小于直接使用最小距离准则的计算量DL。,2020/9/23,34,6.5 译码方法和纠错能力,线性分组码的检错能力和纠错能力 首先我们发现，能否正确译码并不依赖于输入的是什么码字，仅仅依赖于真正的差错向量是什么。显然 P(正确译码)= P(真正的差错向量是某个陪集首)。 其次我们可以定义更加简单的检错能力和纠错能力。 定义6.1.3 线性分组码的最小Hamming距离定义为两个不同码字的Hamming距离的最小值，

24、记为dmin。 线性分组码的最小Hamming重量定义为非全0码字的Hamming重量的最小值，记为wmin。,2020/9/23,35,6.5 译码方法和纠错能力,引理1 dmin=wmin。 证明 设两个不同的码字u(1)和u(2)，使得 dmin=d(u(1) , u(2)=w(u(1)-u(2)。 注意到(u(1)-u(2)是一个非全0码字，所以dminwmin。 设一个非全0码字u，使得 wmin=w(u)=w(u-全0码字)=d(u, 全0码字)。 所以dminwmin。 证完。,2020/9/23,36,6.5 译码方法和纠错能力,引理2 设信道的输入为码字u，信道的输出为向量y

25、，差错向量（注：真正的差错向量）为e=y-u。则 （1）当w(e)dmin，yHT肯定不是全0的N-L维向量，因而发现信道传输错误。 （2）当w(e)(dmin-1)/2（下方取整），由上述实用纠错译码算法肯定将y译为真正的输入码字u，而不会将y译为其它码字。,2020/9/23,37,6.5 译码方法和纠错能力,证明 （1）当w(e)(dmin-1)/2 w(e)=d(y,u)。 因此，所有码字中，u与y的Hamming距离最小。证完。,2020/9/23,38,6.5 译码方法和纠错能力,引理3 设差错向量（注：真正的差错向量）为e。当w(e)(dmin-1)/2（下方取整），由上述实用纠

26、错译码算法未必将输出向量译为真正的输入码字。 例 取两个码字u，c，恰好满足d(c, u)= dmin。 （请注意，这样的两个码字u，c存在！） 取向量y满足： d(y,u)=(dmin-1)/2+1(dmin-1)/2； d(c, u)= d(c, y)+d(y,u)。（三角不等式变为等式） （请注意，这样的向量y存在！） 此时 d(c, y)= d(c, u)-d(y,u)=dmin-(dmin-1)/2+1=dmin-1-(dmin-1)/2。,2020/9/23,39,d(y,u)=(dmin-1)/2+1；d(c, y)=dmin-1-(dmin-1)/2。,当dmin是奇数时， d

27、(y,u)=(dmin-1)/2+1， d(c, y)= (dmin-1)/2， 故d(c, y)d(y,u)。 当dmin是偶数时， d(y,u)=dmin/2， d(c, y)=dmin/2， 故d(c, y)=d(y,u)。 这就是说，如果输入码字u，输出向量y，则 当dmin是奇数时，将y译为c而不是u； 当dmin是偶数时，将y译为c或u都符合最小距离准则。,2020/9/23,40,6.5 译码方法和纠错能力,对引理2和引理3的解释 设信道真正的输入码字为u，信道的输出向量为y，真正的差错向量为e=y-u。 采用实用纠错译码算法： 接收y计算伴随式s=yHT以s为地址查找e(s)计

28、算c=y- e(s)认为陪集首e(s)就是差错向量；认为c就是输入码字。 引理2告诉我们，如果w(e)(dmin-1)/2 ，则e(s)=e，因而c=u。 引理3告诉我们，如果w(e)(dmin-1)/2 ，则未必e(s)=e，因而未必c=u。 换句话说，如果w(e)(dmin-1)/2 ，则e一定是s=eHT的陪集首；如果w(e)(dmin-1)/2 ，则e未必是s=eHT的陪集首。,2020/9/23,41,6.5 译码方法和纠错能力,定理6.5.4 记真正的差错向量为e。记t是一个非负整数。如果 （1）当w(e)t时总是能够正确译码， （2）当w(e)t时并不总是能够正确译码， 则t =

29、(dmin-1)/2 。 推论 记真正的差错向量为e。事件“总是能够正确译码”定义为“w(e)(dmin-1)/2 ”。则“总是能够正确译码”的概率为,2020/9/23,42,6.5 译码方法和纠错能力,定理6.5.4说明，dmin是线性分组码纠错能力的一个指标。dmin越大，(dmin-1)/2就越大，“总是能够正确译码”的概率也越大。 当N比L大得越多，码字在所有N维向量中占的比例越小，越容易使得dmin大。问题是，当N和L都确定时，如何设计码使得dmin大。 纠正一种误解：dmin越大， “总是能够正确译码”的概率越大。决不能说：dmin越大，正确译码的概率越大。（？）,2020/9/

30、23,43,6.5 译码方法和纠错能力,例 二元（6，3）线性分组码，生成矩阵G已经给出。求一致校验矩阵H；码字集合；译码预计算（简化计算量）。 显然是系统码。,2020/9/23,44,6.5 译码方法和纠错能力,信息向量码字 000 000000 100 011100 010 101010 001 110001 110 110110 101 101101 011 011011 111 000111,2020/9/23,45,6.5 译码方法和纠错能力,伴随式s对应的所有“可能的差错向量”e 000 000000，011100，101010，110001，110110，101101，0110

31、11，000111 100 100000，111100，001010，010001，010110，001101，111011，100111 010 010000，001100，111010，100001，100110，111101，001011，010111 001 001000，010100，100010，111001，111110，100101，010011，001111 110 000001，011000，101110，110101，110010，101001，011111，000011 101 000010，011110，101000，110011，110100，101111，0110

32、01，000101 011 000100，011101，101011，110000，110111，101100，011010，000110 111 100100，111000，001110，010101，010010，001001，111111，100011,伴随式s陪集首e(s) 000 000000 100 100000 010 010000 001 001000 110 000100 101 000010 011 000001 111 100100,2020/9/23,46,6.5 译码方法和纠错能力,dmin=3；(dmin-1)/2=1。 当真正的差错向量的Hamming重量不超过1

33、时，总是能够正确译码； 当真正的差错向量的Hamming重量超过1时，未必总是能够正确译码。 总是能够正确译码的概率为 (1-p)6+6(1-p)5p。 正确译码的概率为 (1-p)6+6(1-p)5p+(1-p)4p2。 若p=10-2，则(1-p)6=0.9415； (1-p)6+6(1-p)5p=0.9986； (1-p)6+6(1-p)5p+(1-p)4p2=0.9987。,2020/9/23,47,6.5 译码方法和纠错能力,设信道的输出向量为y=(111111)。 计算伴随式s=yHT=(111)。 以s为地址查找e(s)=(100100)。 计算c=y- e(s)=(111111

34、)-(100100)=(011011)。 信息向量为(011)。,2020/9/23,48,6.4 、6.6、6.7、6.8 一些特殊的线性分组码,二元Hamming码 N=2m-1，L=2m-1-m，即二元(2m-1，2m-1-m)线性分组码。 其校验矩阵是如下的m(2m-1)阶矩阵H： H的(2m-1)列恰好是(2m-1)个非全0的m维向量。 因此：校验矩阵H的任意一列不是全0的m维向量；校验矩阵H的任意两列互不相同；校验矩阵H的某三列的和为全0的m维向量。换句话说，重量为1、重量为2的2m-1维向量都不是码字，而某些重量为3的2m-1维向量是码字。再换句话说， Hamming码的dmin

35、=3。再换句话说， 当差错向量的重量不超过1时，肯定能够正确译码。 编码效率为R=(2m-1-m)/(2m-1) 。（编码效率大）,2020/9/23,49,6.4 、6.6、6.7、6.8 一些特殊的线性分组码,定义 如果存在一个t，使得任一个接收向量y，都有唯一的码字u满足d(y, u)t，则称该码为t阶完备码。 命题 当一个(N，L)线性分组码是t阶完备码时，所有不同伴随式所对应的陪集首恰好是所有重量不超过t的N维向量。 注意：不同伴随式的个数为2N-L，重量不超过t的N维向量的个数为 定理 二元Hamming码（它是二元(2m-1，2m-1-m)线性分组码）是1阶完备码。（2m=1+2

36、m-1 ）,2020/9/23,50,6.4 、6.6、6.7、6.8 一些特殊的线性分组码,Hadamard码 从Hadmard矩阵的行中选择码字可以构造出Hadamad码。Hadmard矩阵Mn是一个nn阶矩阵，其中n=2m。该矩阵满足 有一行为全0行，其余的行有2m-1个0，2m-1个1。 任意两行有2m-1个位置不同， 2m-1个位置相同。 如何构造Hadmard矩阵？看如下的递归方法。,2020/9/23,51,6.4 、6.6、6.7、6.8 一些特殊的线性分组码,以Hadmard矩阵Mn的所有行作为所有的码字，得到的码就是Hadamad码。 Hadamad码的参数如下： 共有n个

37、码字，因此共有n个信息，因此信息长为logn=m。 码长为n。 编码效率为R=m/n=m/2m。（编码效率小） 任何两个码字的Hamming距离都等于2m-1=n/2。因此 dmin=2m-1=n/2。 Mn的任意m个非全0行都是线性无关的，因此生成矩阵可能是Mn的任意m个非全0行构成的mn阶矩阵。（？）,2020/9/23,52,6.4 、6.6、6.7、6.8 一些特殊的线性分组码,Golay码 Golay码是线性(23, 12)码，最小距离为7。将其增加一个全校验位扩展为二元线性（24,12）码，最小距离为8，称为扩展Golay码。表6.4.1给出了Golay码和扩展Golay码的重量分

38、布。 循环码 定义6.6.1(p188) 一个二元(N, L)线性分组码C，若对任意c=(c0, c1, c2, , cN-1)C，恒有c=(cN-1, c0, c1, , cN-2)C，则称C为二元循环码。,2020/9/23,53,6.4 、6.6、6.7、6.8 一些特殊的线性分组码,二元循环码的产生过程 取二元域GF(2)=(0, 1, (mod2)加法, (mod2)乘法)。 取GF(2)上的N次多项式1+xN。取多项式1+xN的（在GF(2)上的）一个N-L次因式g(x)：g(x)=g0+g1 x1+g2 x2+gN-L xN-L。 取以下的LN矩阵G作为二元(N, L)线性分组码

39、C的生成矩阵，则该码一定就是一个二元循环码。（主教材中有证明）,2020/9/23,54,6.4 、6.6、6.7、6.8 一些特殊的线性分组码,例6.6.1(p190)例6.6.2(p192) 取N=7。则（在GF(2)上）： 1+x7=(1+x)(1+x+x3)(1+x2+x3)。 若取g(x)=1+x+x3 ，则产生的二元(7, 4)线性分组码C一定就是一个二元循环码，生成矩阵为,2020/9/23,55,6.4 、6.6、6.7、6.8 一些特殊的线性分组码,如此产生的二元循环码的译码 设接收向量为y=(y0, y1 , y2, , yN-1)。记 y(x)=y0+y1 x1+y2 x

40、2+yN-1xN-1 。 用g(x)除y(x)，得余式s(x)=s0+s1 x1+s2 x2+sN-L-1xN-L-1 。 则此时： 除式y(x)=q(x)g(x)+s(x)也可以表示成y(x)s(x)(modg(x)。 余式s(x)的次数一定不超过N-L-1。 N-L维向量s=(s0, s1, s2, , sN-L-1)就是接收向量y的伴随式。（因而不需要校验矩阵）,2020/9/23,56,习题课,6.1 设有4个消息al，a2，a3 和a4被编成为长为5的二元码的00000，01101，10111， l1010。 (a)试给出码的一致校验关系。 (b)若通过转移概率为p1/2的BSC传送

41、，试给出最佳译码表及相应的译码错误概率表示式。 (c)若码通过BEC信道传送，试问可恢复几个删除?其最佳译码表应如何配置？ (d)一般，最小距离为dmin的线性码，可恢复几个删除?,2020/9/23,57,习题课,(a)首先需要验证该码是线性码：01101+10111=l1010。 其次需要给出该码的生成矩阵和校验矩阵： 最后该码的一致校验关系为：对任意码字(x0 x1 x2 x3 x4)，恒有 x0+x1+x2=0，x0+x3=0，x0+x1+x4=0。,2020/9/23,58,习题课,(b) 通过转移概率为p1/2的BSC传送。如果直接按照“最小距离准则”来求最佳译码表，则最佳译码表为,2020/9/23,59,习题课,求“译码错误概率表示式”，可以有多种含义。本题应该理解为以下的含义，而不应该理解为别的含义：,2020/9/23,60,求最佳译码表，当然也可以采用标准方法，先求可能的差错向量、伴随式、陪集首的关系：,