高中数学人教A选修21课件3习题课空间向量在空间问题中的综合应用

1、习题课空间向量在空间问题中的综合应用,1.利用空间向量求两点间距离 设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)为空间中任意两点,则,2.利用空间向量解决探索性问题 立体几何探索性问题是近几年高考和各地模拟考试中的热点题型.空间向量作为一种工具,在解决立体几何探索性问题中有着无比的优越性,运用空间向量法解题,可使几何问题代数化,大大简化思维程序,使解题思路直观明了. 空间中的探索性问题一般有以下两种类型:,(1)“条件探索型”,就是指给出了问题的明确结论,但条件不足或未知,需要解题者探求、寻找使结论成立的条件的一类问题,这类问题的常用解法是逆推法,利用结论探求条件. (2)“存在型”,是指

2、结论不确定的问题,即在数学命题中,结论常以“是否存在”的形式出现,其结果可能存在,需要找出来;可能不存在,则需要说明理由.解答这一类问题时,先假设结论存在,若推证无矛盾,则结论存在;若推证出矛盾,则结论不存在.,做一做1已知空间两点A,B的坐标分别为(1,-1,1),(2,2,-2),则A,B两点的距离为.,做一做2如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下面结论错误的是() A.BD平面CB1D1 B.AC1BD C.AC1平面CB1D1 D.向量 的夹角为60,解析：以D为原点,DA,DC,DD1分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,不妨设正方体的棱长为1,则有A(1,0,0),B(1

3、,1,0),C(0,1,0),D(0,0,0),A1(1,0,1),B1(1,1,1),C1(0,1,1),D1(0,0,1).,答案：D,做一做3如图,设动点P在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1上,记 ,则当APC为钝角时,实数的取值范围是.,解析：由题意,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则有A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D1(0,0,1),探究一,探究二,规范解答,探究一利用空间向量求空间中两点间距离 【例1】 如图,60的二面角的棱上有A,B两点,直线AC,BD分别在两个半平面内,且都垂直于AB.若|AB|=1,|AC|=2,|BD

4、|=3,求CD的长度. 分析：本题中的图形不适合建立空间直角坐标系,因此可通过向量分解的方法,利用公式|a|= 求解.,探究一,探究二,规范解答,探究一,探究二,规范解答,探究一,探究二,规范解答,变式训练1(1)如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都是2,E,F分别是AB,A1C1的中点,则EF的长是(),答案：C,探究一,探究二,规范解答,(2)已知AB,BC,CD为两两垂直的三条线段,且它们的长都为2,则AD的长为() A.4B.2C.3D.2,答案：D,探究一,探究二,规范解答,探究二利用空间向量解决空间中的探索性问题 【例2】 在四棱锥P-ABCD中,ABCD是菱形,ABC=6

5、0,PA=AC=a,PB=PD= a,点E在PD上,且PEED=21.在PC上是否存在一点F,使BF平面AEC?并证明你的结论. 分析：首先假设存在,然后再根据BF平面AEC,结合线面平行的条件进行推理. 解：PA=AC=a,ABC=60, AB=AD=a. 又PB=PD= a,PAAB,PAAD, PA平面ABCD. 如图,以A为坐标原点,AD、AP所在直线分别为y轴、z轴,过A点垂直于平面PAD的直线为x轴,建立空间直角坐标系.,探究一,探究二,规范解答,探究一,探究二,规范解答,探究一,探究二,规范解答,探究一,探究二,规范解答,变式训练2导学号03290077如图,在五面体ABCDEF

6、中,FA平面ABCD,ADBCFE,ABAD,AF=AB=BC=FE= AD. (1)求异面直线BF与DE所成角的余弦值. (2)在线段CE上是否存在点M,使得直线AM与平面CDE所成角的正弦值为 ?若存在,试确定点M的位置;若不存在,请说明理由.,探究一,探究二,规范解答,解：建立如图所示的空间直角坐标系,不妨设AB=1,则B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,3,0),F(0,0,1),E(0,1,1).,探究一,探究二,规范解答,探究一,探究二,规范解答,利用空间向量解决空间的综合问题 典例导学号03290078如图,直棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点,A

7、A1=AC=CB= AB. (1)证明:BC1平面A1CD. (2)求二面角D-A1C-E的正弦值. 【审题策略】第一问可借助线面平行的判定定理证明;第二问应建立直角坐标系,利用向量方法进行求解.,探究一,探究二,规范解答,【规范展示】 (1)连接AC1,交A1C于点F,连接DF, 则F为AC1的中点. 又因为D是AB的中点,所以DFBC1. 又因为DF平面A1CD,BC1平面A1CD, 故BC1平面A1CD.,探究一,探究二,规范解答,探究一,探究二,规范解答,【答题模板】 第1步:证明线线平行 第2步:证得线面平行 第3步:建立空间直角坐标系 第4步:设点,求出向量坐标 第5步:用待定系数

8、法求法向量坐标 第6步:利用向量的夹角公式求两个法向量的夹角的余弦值,进而求得正弦值.,探究一,探究二,规范解答,探究一,探究二,规范解答,变式训练导学号03290079如图,在多面体ABCDEF中,正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直,ABCD,ADCD,AB=AD=1,CD=2,M,N分别为EC和BD的中点. (1)求证:BC平面BDE; (2)求直线MN与平面BMC所成的角的正弦值.,探究一,探究二,规范解答,(1)证明：在梯形ABCD中,取CD中点H,连接BH, 因为AD=AB,ABCD,ADCD, 所以四边形ADHB为正方形. 又BD2=AD2+AB2=2,BC2=HC2+H

9、B2=2, 所以CD2=BD2+BC2,所以BCBD. 又平面ADEF平面ABCD,平面ADEF平面ABCD=AD,DEAD, 所以DE平面ABCD,所以BCDE, 又BDDE=D,故BC平面BDE.,探究一,探究二,规范解答,(2) 解：由(1)知CD平面ABCD,ADCD, 所以DE,DA,DC两两垂直. 以D为坐标原点建立如图所示直角坐标系D-xyz,1 2 3 4,1.在四面体P-ABC中,PA,PB,PC两两垂直,M是面ABC内一点,且M到其他三面的距离分别是2,3,6,则M到顶点P的距离是() A.7B.8C.9D.10 解析：以P为原点,PA,PB,PC所在直线分别为x轴,y轴,

10、z轴建立空间直角坐标系,由已知M(2,3,6),所以|MP|= . 答案：A,1 2 3 4,2.在如图所示的几何体中,三棱锥D-ABC的各条棱长均为2,OA,OB,OC两两垂直,则下列说法正确的是 () A.OA,OB,OC的长度可以不相等 B.直线OB平面ACD C.直线OD与BC所成的角是45 D.直线AD与OB所成的角是45 解析：三棱锥D-ABC的各条棱长均为2,OA,OB,OC两两垂直,所以OA=OB=OC= ,排除A;,1 2 3 4,答案：D,1 2 3 4,3.如图所示,在直二面角-l-中,A,Bl,AC,ACl,BD,BDl,AC=6,AB=8,BD=24,则线段CD的长为.