高中数学人教选修12模块复习课第一课统计案例共54

1、第一课 统计案例,【网络体系】,【核心速填】 1.最小二乘法 对于一组数据(xi，yi)，i=1，2，n，如果它们线 性相关，则线性回归方程为 ，其中,2.22列联表 如图，22列联表 其中n=_为样本容量.,a+b,c+d,a+c,b+d,a+b+c+d,3.独立性检验 常用随机变量K2=_来检验统计 假设H0：“A与B无关”是否成立.要判断“与有 关系”可按下面的步骤进行：,(1)提出统计假设H0：与没有关系. (2)根据22列联表与K2统计量的表达式计算K2的观测值k的大小. (3)查找临界值表，然后作出相应的判断.,【易错警示】 1.回归分析 (1)回归分析是建立在两个具有相关性的变量

2、之间的一种模拟分析，因此先判断其是否具有相关性. (2)并非只有线性相关关系，还可能存在非线性相关关系.,2.独立性检验 (1)通过独立性检验得到的结论未必正确，它只是对一种可靠性的预测. (2)独立性检验是一种假设性检验，因此对应概率并不是两分类变量有关系的概率.,类型一线性回归分析 【典例1】某商场经营一批进价是30元/台的小商品，在市场试验中发现，此商品的销售单价x(x取整数)元与日销售量y台之间有如下关系：,y与x是否具有线性相关关系？如果具有线性相关关系，求出回归直线方程.(方程的斜率保留一位有效数字),【解析】散点图如图所示，从图中可以看出这些点大致分布在一条直线附近，因此两个变量

3、线性相关.,设回归直线方程为 由题知 =42.5， =34， 则求得 =34-(-3)42.5=161.5. 所以 =-3x+161.5.,【延伸探究】 设经营此商品的日销售利润为P元，根据典例中结果写出P关于x的函数关系式，并预测当销售单价x为多少元时，才能获得最大日销售利润.,【解析】依题意有 P=(-3x+161.5)(x-30)=-3x2+251.5x-4845 =-3(x- )2+ -4845. 所以当x= 42时，P有最大值，约为426. 即预测销售单价为42元时，能获得最大日销售利润.,【方法技巧】求线性回归方程的基本步骤,特别提醒：只有在散点图大致呈直线时，求出的线性回归方程才

4、有实际意义，否则求出的回归方程毫无意义.,【变式训练】(2016合肥高二检测)一般来说，一个人脚掌越长，他的身高就越高，现对10名成年人的脚掌长x与身高y进行测量，得到数据(单位均为cm)作为一个样本如下表所示.,(1)在上表数据中，以“脚掌长”为横坐标，“身高” 为纵坐标，作出散点图后，发现散点在一条直线附 近，试求“身高”与“脚掌长”之间的线性回归方程 (2)若某人的脚掌长为26.5cm，试估计此人的身高.,(3)在样本中，从身高180cm以上的4人中随机抽取2人 作进一步的分析，求所抽取的2人中至少有1人身高在 190cm以上的概率. (参考数据： ),【解析】(1)记样本中10人的“脚

5、掌长”为xi(i=1，2，10)，“身高”为yi(i=1，2，10)， 则 因为 所以 所以 =7x.,(2)由(1)知 =7x，当x=26.5时， =726.5=185.5， 故估计此人的身高为185.5cm.,(3)将身高为181，188，197，203(cm)的4人分别记为A，B，C，D， 记“从身高180cm以上的4人中随机抽取2人，所抽取的2人中至少有1人身高在190cm以上”为事件M，则基本事件有：(AB)、(AC)、(AD)、(BC)、(BD)、(CD).,M包含的基本事件有：(AC)、(AD)、(BC)、(BD)、 (CD)，所以P(M)=,【补偿训练】某研究性学习小组对春季昼

6、夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了3月1日至3月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：,(1)从3月1日至3月5日中任选2天，记发芽的种子数分 别为m，n，求事件“m，n均不小于25”的概率. (2)请根据3月2日至3月4日的数据，求出y关于x的线性 回归方程,(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验 数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程 是可靠的，试问(2)中所得的线性回归方程是否可靠？,【解析】(1)m，n的所有取值情况有(23，25)，(23，30)，(23，26)，(23，16)，(25，30)，(

7、25，26)，(25，16)，(30，26)，(30，16)，(26，16)，共有10个.,设“m，n均不小于25”为事件A，则A包含的基本事件 有(25，30)，(25，26)，(30，26)，根据古典概型概 率公式，得P(A)= ，故事件A的概率为 .,(2)由表中数据，根据题意得 (11+13+12)=12， (25+30+26)=27. 由公式，得 所以y关于x的线性回归方程为,(3)当x=10时， =22，|22-23|2，当x=11时， =24.5， |24.5-25|2，当x=13时， =29.5，|29.5-30|2. 当x=12时， =27，|27-26|1.当x=8时， =

8、17， |17-16|2.所以得到的线性回归方程是可靠的.,类型二非线性回归分析 【典例2】在试验中得到变量y与x的数据如下：,由经验知，y与 之间具有线性相关关系，试求y与x 之间的回归曲线方程；当x0=0.038时，预测y0的值.,【解析】令u= ，由题目所给数据可得下表所示的 数据,计算得 =0.29， =34.32，所以 =34.32+0.29u， 故所求回归曲线方程为 =34.32+ ，当x0=0.038 时， =34.32+ 41.95.,【方法技巧】非线性回归问题的求解策略 (1)画散点图：首先画出已知数据的散点图. (2)拟合数据：把散点图与学过的各种函数(幂函数、指数函数、对

9、数函数等)图象进行比较，挑选一种跟这些散点拟合得最好的函数.,(3)变量代换：采用适当的变量置换，把问题化为线性回归分析问题，使之得到解决.,【变式训练】(2016吉安高二检测)对于曲线y= 令=lny，c=lna，v= 可变换为线性回归模型， 其形式为() A.y=a+bvB.=a+bv C.=c+bvD.y=c+bx,【解析】选C.因为y= c=lna，v= 所以=lny=ln( )=lna+ln =lna+ =c+bv.,类型三独立性检验 【典例3】打鼾不仅影响别人休息，而且可能与患某种疾病有关.下表是一次调查所得的数据.试问：每晚都打鼾与患心脏病有关吗？用图表分析.,【解析】由列联表中

10、的信息 知打鼾人群中未患心脏病的 比例为0.88，即患有心脏病 的比例为0.12；同理不打鼾 人群中未患心脏病的比例为0.98，即患有心脏病的比例为0.02.作出等高条形图(如图).,从该图中可以看出：打鼾样本中患心脏病的比例明显多于不打鼾样本中患心脏病的比例.因此可以认为“打鼾与患心脏病有关”.,【方法技巧】判断两个变量是否有关系的三个步骤 (1)统计得到22列联表. (2)代入公式计算K2的观测值. (3)由k的值对照临界值表得出结论.,【变式训练】(2016西安高二检测)有甲、乙两个工厂生产同一种产品，产品分为一等品和二等品.为了考察这两个工厂的产品质量水平是否一致，从甲、乙两个工厂中分

11、别随机抽取产品109件，191件，其中甲工厂一等品58件，二等品51件，乙工厂一等品70件，二等品121件.,(1)根据以上数据，建立22列联表. (2)试分析甲、乙两个工厂的产品质量有无显著差别.,【解析】(1)列出22列联表所示：,(2)提出假设H0：甲、乙两个工厂的产品质量无显著 差别. 根据列联表中的数据可以求得K2的观测值 k= 7.78146.635.,因为当H0成立时，P(K26.635)0.01，在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为甲、乙两个工厂的产品质量有显著差别.,【补偿训练】下表是某地区的一种传染病与饮用水的调查表：,(1)能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为这种传染病与饮用水的卫生程度有关？请说明理由. (2)若饮用干净水得病的有5人，不得病的有50人，饮用不干净水得病的有9人，不得病的有22人.按此样本数据分析能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为这种疾病与饮用水卫生程度有关.,【解析】(1)假设H0：传染病与饮用水的