解含绝对值的方程

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绝对值 方程
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. “解含绝对值的方程”例题解析 绝对值概念在初中代数,乃至初等数学中,均占有相当重要的地位。解含绝 对值的方程在初中数学竞赛中经常出现, 同学们往往感到困惑, 难于解答。下面举例说明解这类方程的几种常用方法。 一. 运用基本公式:若 ,则 解方程 例 1. 解方程 解:去掉第一重绝对值符号,得 移项,得 或 所以 所以原方程的解为: 例 2. 解方程解:因为所以 即 或 解方程( 1),得 . . 解方程( 2),得 又因为 ,所以 所以原方程的解为 二. 运用绝对值的代数意义 解方程 例 3. 方程 的解的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4或 4 以上 解:方程可化为 所以 所以方程的解有无数个,故选( D)。 三. 运用绝对值的非负性解方程 例 4. 方程 的图像是( ) A. 三条直线: B. 两条直线: C. 一点和一条直线:( 0,0), D. 两个点:( 0,1),( -1,0) 解:因为 而 . . 所以 所以原方程的图象为两个点( 0, 1),( -1, 0) 故选( D)。 四 . 运用绝对值的几何意义解方程例 5. 解方程 解:设 ,由绝对值的几何意义知 所以 又因为 所以 从数轴上看,点 落在点 与点 的内部(包括点 与点 在内),即原方程的解为 。 五. 运用方程的图象研究方程的解 例 6. 若关于 x 的方程 有三个整数解,则 a 的值是( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 . . 解:作 的图象,如图 1 所示,由于方程 解的个数就 是直线 与 的图象的交点个数,把直线 平行于 x 轴上、下 移动,通过观察得仅当 时方程有三个整数解。故选( B)。 图 1 同时,我们还可以得到以下几个结论: (1)当 时,方程没有解; (2)当 或 时,方程有两个解; (3)当 时,方程有 4 个解。 中考数学试题分类解析汇编 专题 1:实数 一、选择题 1. (2012 广东省 3 分)﹣5 的绝对值是【 】 A . 5 B . ﹣5 C. D . ﹣ 【答案】 A。 【考点】 绝对值。 【分析】 根据负数的绝对值等于它的相反数,得 | ﹣5|=5 。故选 A。 2. (2012 广东省 3 分)地球半径约为 6400000 米,用科学记数法表示为 【】 . . A . 0.64 107 B .6.4 106 C.64 105 D. 640 104 【答案】 B。 【考点】 科学记数法。 【分析】 根据科学记数法的定义,科学记数法的表示形式为 a10n,其中 1 ≤ |a| <10, n 为整数,表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值。在确定 n 的 值时,看该数是大于或等于 1 还是小于 1。当该数大于或等于 1 时, n 为它的整 数位数减 1;当该数小于 1 时,- n 为它第一个有效数字前 0 的个数(含小数点前的 1 个 0)。 6400000 一共 7 位,从而 6400000=6.4106 。故选 B。 3. ( 2012 广东佛山 3 分) 的绝对值是【 】 A .2 B . C. D . 【答案】 C。 【考点】 绝对值。 【分析】根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义, 在数轴上, 点 到原点的距离是 ,所以 的绝对值是 。故选 C。 4. ( 2012 广东佛山 3 分)与 234 运算结果相同的是【 】 A .4 2 3 B .2(34) C.2(42) D.3 2 4 【答案】 B。 【考点】 有理数的乘除运算。 【分析】 根据连除的性质可得: 2 3 4=2( 34)。故选 B。 5. (2012 广东广州 3 分)实数 3 的倒数是【 】 A.﹣ B. C.﹣ 3 D. 3 【答案】 B。 【考点】 倒数。 . . 【分析】根据两个数乘积是 1 的数互为倒数的定义,因此求一个数的倒数即 用 1 除以这个数.所以 3 的倒数为 13= 。故选 B。 6. (2012 广东广州 3 分)已知 ,则 a+b=【 】 A.﹣ 8 B.﹣ 6 C.6 D. 8 【答案】 B。 【考点】 非负数的性质,绝对值,算术平方,求代数式的值。 【分析】 ∵ , ,∴ a﹣ 1=0,7+b=0,解得 a=1, b=﹣7。 ∴a+b=1+(﹣ 7)=﹣6。故选 B。 7. (2012 广东梅州 3 分) =【 】 A.﹣ 2 B. 2 C.1 D.﹣ 1 【答案】 D。 【考点】 零指数幂。 【分析】 根据任何非 0 数的 0 次幂等于 1 解答即可: 。故选 D。 8. (2012 广东汕头 4 分)﹣5 的绝对值是【 】 A . 5 B . ﹣5 C. D . ﹣ 【答案】 A。 【考点】 绝对值。 【分析】 根据负数的绝对值等于它的相反数,得 | ﹣5|=5 。故选 A。 9. (2012 广东汕头 4 分)地球半径约为 6400000 米,用科学记数法表示为 【 】 A . 0.64 107 B . 6.4 106 C. 64 105 D. 640 104 【答案】 B。 【考点】 科学记数法。 . . 【分析】 根据科学记数法的定义,科学记数法的表示形式为 a10n,其中 1 ≤ |a| <10, n 为整数,表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值。在确定 n 的 值时,看该数是大于或等于 1 还是小于 1。当该数大于或等于 1 时, n 为它的整 数位数减 1;当该数小于 1 时,- n 为它第一个有效数字前 0 的个数(含小数点前的 1 个 0)。 6400000 一共 7 位,从而 6400000=6.4106 。故选 B。 10. (2012 广东深圳 3 分)- 3 的倒数是【 】 A.3 B.- 3 C. D。 【答案】 D。 【考点】 倒数。 【分析】根据两个数乘积是 1 的数互为倒数的定义,因此求一个数的倒数即 用 1 除以这个数.所以- 3 的倒数为 1(- 3)= 。故选 D。 11.(2012 广东深圳 3 分)第八届中国(深圳)文博会以总成交额 143 300 000 000 元再创新高.将数 143 300 000 000 用科学记数法表示为【 】 A, B 。 C 。 D 。 【答案】 B。 【考点】 科学记数法。 【分析】 根据科学记数法的定义,科学记数法的表示形式为 a10n,其中 1 ≤ |a| <10, n 为整数,表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值。在确定 n 的 值时,看该数是大于或等于 1 还是小于 1。当该数大于或等于 1 时, n 为它的整 数位数减 1;当该数小于 1 时,- n 为它第一个有效数字前 0 的个数(含小数点前的 1 个 0)。 143 300 000 000 一共 12 位,从而 143 300 000 000=1.4331011。 故选 B。 12. ( 2012 广东湛江 4 分) 2 的倒数是【 】 A. 2 B .﹣ 2 C. D.﹣ 【答案】 C。 . . 【考点】 倒数。 【分析】根据两个数乘积是 1 的数互为倒数的定义,因此求一个数的倒数即用 1 除以这个数.所以 2 的倒数为 1 2= 。故选 C。 13. (2012 广东湛江 4 分)国家发改委已于 2012 年 5 月 24 日核准广东湛江钢铁基地项目,项目由宝钢湛江钢铁有限公司投资建设,预计投产后年产 10200000 吨钢铁,数据 10200000 用科学记数法表示为【 】 A. 102105 B.10.2 106 C.1.02 106 D. 1.02 107 【答案】 D。 【考点】 科学记数法。 【分析】根据科学记数法的定义, 科学记数法的表示形式为 a10n,其中 1≤ |a| < 10,n 为整数,表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值。在确定 n 的值时,看该数是大于或等于 1 还是小于 1。当该数大于或等于 1 时, n 为它的整数位数减 1;当该数小于 1 时,- n 为它第一个有效数字前 0 的个数(含小数点前的 1 个 0)。 10200000 一共 8 位,从而 10200000=1.02107 。故选 D。 14. (2012 广东肇 庆 3 分)计算 的结果是【 】 A.1 B. C. 5 D . 【答案】 B。 【考点】 有理数的加法。 【分析】根据有理数的加法运算法则计算即可得解: - 3+2=-( 3- 2)=-1。 故选 B。 15. (2012 广东肇 庆 3 分)用科学记数法表示 5700000,正确的是【 】 A. B . C. D . 【答案】 A。 【考点】 科学记数法。 . . 【分析】 根据科学记数法的定义,科学记数法的表示形式为 a10n,其中 1 ≤ |a| <10, n 为整数,表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值。在确定 n 的 值时,看该数是大于或等于 1 还是小于 1。当该数大于或等于 1 时, n 为它的整 数位数减 1;当该数小于 1 时,- n 为它第一个有效数字前 0 的个数(含小数点前的 1 个 0)。 5700000 一共 7 位,从而 5700000=5.7106 。故选 A。 16. ( 2012 广东珠海 3 分) 2 的倒数是【 】 A. 2 B .﹣ 2 C . D.﹣ 【答案】 C。 【考点】 倒数。 【分析】根据两个数乘积是 1 的数互为倒数的定义,因此求一个数的倒数即 用 1 除以这个数.所以 2 的倒数为 12= 。故选 C。二、填空题 1. ( 2012 广东省 4 分)若 x,y 为实数,且满足 ,则 的值是 ▲ . 【答案】 1。 【考点】 非负数的性质,算术平方根,绝对值。 【分析】 根据算术平方根和绝对值非负数的性质,要使 ,必 须有 且 ,即 x=3, y=3。∴ 。 2. ( 2012 广东梅州 3 分)使式子 有意义的最小整数 m是 ▲ . 【答案】 2。 【考点】 二次根式有意义的条件。 【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为 0 的条件,要 使 在实数范围内有意义,必须 。所以最小整数 m是 2。 3. (2012 广东梅州 3 分)梅州水资源丰富,水力资源的理论发电量为 775000 千瓦,这个数据用科学记数法可表示为 ▲ 千瓦. . . 【答案】 7.75 105。 【考点】 科学记数法。 【分析】 根据科学记数法的定义,科学记数法的表示形式为 a10n,其中 1 ≤ |a| <10, n 为整数,表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值。在确定 n 的 值时,看该数是大于或等于 1 还是小于 1。当该数大于或等于 1 时, n 为它的整 数位数减 1;当该数小于 1 时,- n 为它第一个有效数字前 0 的个数(含小数点前的 1 个 0)。 775000 一共 6 位,从而 775000=7.75105。 4. (2012 广东湛江 4 分) 若二次根式 有意义,则 x 的取值范围是 ▲ . 【答案】 。 【考点】 二次根式有意义的条件。 【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件, 要使 在实数范围内 有意义,必须 。 5. ( 2012 广东肇 庆 3 分)计算 的结果是 ▲ . 【答案】 2。 【考点】 二次根式的乘法。 【分析】 根据二次根式乘法进行计算: 。 . . 8. ( 2012 广东珠海 4 分)使 有意义的 x 的取值范围是 ▲ . 【答案】 。 【考点】 二次根式有意义的条件。 【分析】 根据二次根式被开方数必须是非负数的条件,要使 在实数范 围内有意义,必须 。 三、解答题 1. (2012 广东省 6 分)计算: . 【答案】 解:原式 = 。 【考点】 实数的运算,特殊角的三角函数值,零指数幂,负整数指数幂。 【分析】针对特殊角的三角函数值,零指数幂,负整数指数幂 3 个考点分别 进行计算,然后根据实数的运算法则求得计算结果。 2. (2012 广东省 7 分)观察下列等式: . . 第 1 个等式: ;第 2 个等式: ; 第 3 个等式: ;第 4 个等式: ; ⋯ 解答下列 : (1)按以上 律列出第 5 个等式: a5= = ; (2)用含有 n 的代数式表示第 n 个等式: an = = ( n 正整数); (3)求 a1+a2+a3+a4+⋯+a100 的 . 【答案】解:(1) 。(2) 。 (3)a1+a2+a3+a4+⋯ +a100 。 【考点】 分 (数字的 化 )。 【分析】 (1)(2) 察知,找等号后面的式子 律是关 :分子不 , 1;分母是两个 奇数的乘 ,它 与式子序号之 的关系 :序号的 2 倍减 1 和序号的 2 倍加 1。 (3)运用 化 律 算。 3. (2012 广 梅州 7 分) 算: . 【答案】 解:原式 = 。 【考点】 数的运算, ,算 平方根,特殊角的三角函数 , 整数 指数 。 【分析】 ,算 平方根,特殊角的三角函数 , 整数指数 4 个考点分 行 算,然后根据 数的运算法 求得 算 果。 . . 4. (2012 广东汕头 7 分)计算: . 【答案】 解:原式 = 。 【考点】 实数的运算,特殊角的三角函数值,零指数幂,负整数指数幂。 【分析】针对特殊角的三角函数值,零指数幂,负整数指数幂 3 个考点分别 进行计算,然后根据实数的运算法则求得计算结果。 8. ( 2012 广东珠海 6 分)计算: . 【答案】 解:原式 =2-1+ 1- 2=0。 【考点】 实数的运算,算术平方根,绝对值,零指数幂,负整数指数幂。 【分析】 针对算术平方根,绝对值,零指数幂,负整数指数幂 4 个考点分别 进行计算,然后根据实数的运算法则求得计算结果。 . . 专题 2:代数式和因式分解 一、选择题 1. ( 2012 广东佛山 3 分) 等于【 】 A. B . C. D . 【答案】 A。 【考点】 同底数幂的乘法。 【分析】 根据同底数幂的乘法法则,同底数幂相乘,底数不变,指数相加,即: 。故选 A。 2. ( 2012 广东广州 3 分)下面的计算正确的是【 】 A.6a﹣5a=1 B.a+2a2=3a3 C.﹣( a﹣b)=﹣a+b D.2(a+b)=2a+b 【答案】 C。 【考点】 去括号与添括号,合并同类 项。 【分析】 根据合并同类项法则:把同类项的系数相加,所得结果作为系数 ,字 母和字母的指数不变; 去括号法则: 如果括号外的因数是正数, 去括号后原括号 内各项的符号与原来的符号相同; 如果括号外的因数是负数, 去括号后原括号内 各项的符号与原来的符号相反,进行计算,即可选出答案: A、 6a﹣5a=a,故此选项错误; B、a 与 2a2 不是同类项,不能合并,故 此选项错误; C、﹣( a﹣b)=﹣a+b,故此选项正确; D、2(a+b)=2a+2b,故此选项 错误。 故选 C。 3. ( 2012 广东汕头 4 分)下列运算正确的是【 】 A.a+a=a2 B.(﹣ a3)2 =a5 C.3a?a2=a3 D. 【答案】 D。 【考点】 合并同类项,幂的乘方与积的乘方,同底数幂的乘法。 . . 【分析】根据合并同类项, 幂的乘方与积的乘方, 同底数幂的乘法运算法则逐一 计算作出判断: A、a+a=2a,故此选项错误; B、(﹣ a3)2=a6,故此选项错误; C、3a?a2=3a3,故此选项错误; D、 ,故此选项正确。 故选 D。 4. ( 2012 广东深圳 3 分)下列运算正确的是【 】 A, B 。 C。 D。 【答案】 B。 【考点】 合并同类项,同底幂乘法和除法,幂的乘方和积的乘方。 【分析】根据合并同类项, 同底幂乘法和除法, 幂的乘方和积的乘方运算法则逐 一计算作出判断: A. 和 不是同类项,不可以合并,选项错误; B. ,选项正确; C. ,选项错误; D. ,选项错误。 故选 B。 5. ( 2012 广东湛江 4 分)下列运算中,正确的是【 】 A.3a2﹣a2=2 B .(a2 )3=a5 C.a3?a6=a9 D.(2a2)2=2a4 【答案】 C。 【考点】 合并同类项,同底幂乘法,幂的乘方和积的乘方。 【分析】根据合并同类项, 同底幂乘法,幂的乘方和积的乘方运算法则逐一计算作出判断: A、 3a2﹣a2=2a2,故本选项错误; B、( a2 )3=a6 ,故本选项错误;C、 a3?a6=a9,故本选项正确; D、( 2a2) 2=4a4,故本选项错误。 故选 C。 6. (2012 广东肇 庆 3 分)要使式子 有意义,则 的取值范围是【 】 A. B . C . D. 【答案】 A。 【考点】 二次根式有意义的条件。 . . 【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件,要使 在有意义,必 须 。故选 A。 7. ( 2012 广东珠海 3 分)计算﹣ 2a2+a2 的结果为【 】 A.﹣ 3a B .﹣ a C.﹣ 3a2 D.﹣ a2 【答案】 D。 【考点】 合并同类项。 【分析】根据合并同类项法则 (把同类项的系数相加作为结果的系数, 字母和字母的指数不变)相加即可得出答案:﹣ 2a2+a2=﹣a2。。故选 D。 二、填空题 1. ( 2012 广东省 4 分)分解因式: 2x2 ﹣10x= ▲ . 【答案】 2x(x﹣5)。 【考点】 提公因式法因式分解。 【分析】 要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式, 若有公因式, 则把它提取出来, 之后再观察是否是完全平方式或平方差式, 若是 就考虑用公式法继续分解因式。因此,直接提取公因式 2x 即可: 2x2 ﹣10x==2x ( x﹣ 5)。 2. ( 2012 广东广州 3 分)分解因式: a3﹣ 8a= ▲ . 【答案】 a( a+2 )( a﹣2 )。 【考点】 提公因式法和公式法因式分解。 【分析】 先提取公因式 a,再对余下的多项式利用平方差公式继续分解: 3 2 a ﹣8a=a( a ﹣8)=a( a+2 )( a﹣2 )。 3. ( 2012 广东梅州 3 分)若代数式﹣ 4x6y 与 x2ny 是同类项,则常数 n 的值为 ▲ .【答案】 3。 【考点】 同类项。 【分析】 根据同类项的定义列式求解即可: ∵代数式﹣ 4x6y 与 x2ny 是同类项,∴ 2n=6,解得: n=3。 4. ( 2012 广东汕头 4 分)分解因式: 2x2﹣10x= ▲ . . 2x 即可: 2x2﹣10x==2x( x﹣ . 【答案】 2x(x﹣5)。 【考点】 提公因式法因式分解。 【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式, 若有公因式,则把它提取出来, 之后再观察是否是完全平方式或平方差式, 若是就考虑用公式法继续分解因式。因此,直接提取公因式 5)。 5. (2012 广东汕头 4 分)若 x,y 为实数,且满足 ,则 的 值是 ▲ . 【答案】 1。 【考点】 非负数的性质,算术平方根,绝对值。 【分析】 根据算术平方根和绝对值非负数的性质,要使 ,必须有 且 ,即 x=3,y=3。∴ 。 2. ( 2012 广东佛山 6 分)化简: 【答案】 解:原式 = 。 . . 【考点】 分式的加减法。 【分析】 用分配率 便,也可先通分,再 算。 3. ( 2012 广 广州 10 分)已知 ( a≠ b),求 的 . 【答案】 解:∵ ,∴ , ∴ 。 【考点】 分式的化 求 。 【分析】 由 得出 , 通分(最 公分母 ),分子因式分解, 分,化 得出 ,代入求出即可。 4. ( 2012 广 汕 7 分)先化 ,再求 :( x+3)( x﹣3) x(x﹣2),其中 x=4. 【答案】 解:原式 =x2﹣ 9﹣ x2 +2x=2x﹣9。 当 x=4 ,原式 =24﹣9=﹣ 1。 【考点】 整式的混合运算(化 求 )。 【分析】 先把整式 行化 ,再把 x=4 代入 行 算即可。 5. ( 2012 广 汕 9 分) 察下列等式: 第 1 个等式: ; 第 2 个等式: ; 第 3 个等式: ; 第 4 个等式: ; ⋯ . . 解答下列 : ( 1)按以上 律列出第 5 个等式: a5= = ; ( 2)用含有 n 的代数式表示第 n 个等式: an= = (n 正整数); ( 3)求 a1+a2+a3 +a4+⋯+a100 的 . 【答案】 解:( 1) 。 ( 2) 。 ( 3 ) a1+a2 +a3+a4 + ⋯ +a100 。 【考点】 分 (数字的 化 )。 【分析】 (1)( 2) 察知,找等号后面的式子 律是关 :分子不 , 1; 分母是两个 奇数的乘 ,它 与式子序号之 的关系 :序号的 2 倍减 1 和序号的 2 倍加 1。 (3)运用 化 律 算。 6. ( 2012 广 深圳 6 分)已知 = -3, =2,求代数式的 . 【答案】 解:原式 = 。 当 = -3, =2 ,原式 = 。 . . 9. (2012 广东珠海 6 分)先化简,再求值: ,其中 . 【答案】 解:原式 = 。 当 时,原式 = 。 【考点】 分式的化简求值,二次根式化简。 【分析】先将括号内的分式通分,进行加减后再算除法,计算时,要将除法转化 为乘法。最后代入 ,化简求值。 10. (2012 广东珠海 9 分)观察下列等式: 12231=13221, 13341=14331, 23352=25332, 34473=37443, . . 62286=68226, ⋯ 以上每个等式中两 数字是分 称的, 且每个等式中 成两位数与三位数的数字之 具有相同 律,我 称 等式 “数字 称等式”. ( 1)根据上述各式反映的 律填空,使式子称 “数字 称等式”: ① 52 = 25; ② 396=693 . ( 2) 等式左 两位数的十位数字 a,个位数字 b,且 2≤a+b≤9,写出表示“数字 称等式”一般 律的式子(含 a、 b),并 明. 【答案】 解:( 1)① 275;572。 ② 63;36。 ( 2)“数字 称等式”一般 律的式子 : (10a+b)[100b+10(a+b)+a]=[100a+10(a+b)+b] (10b+a)。 明如下: ∵左 两位数的十位数字 a,个位数字 b,∴左 的两位数是 10a+b,三位数是 100b+10( a+b)+a, 右 的两位数是 10b+a,三位数是 100a+10( a+b)+b, ∴左 =( 10a+b) [100b+10(a+b)+a]= (10a+b) ( 100b+10a+10b+a) =( 10a+b)( 110b+11a)=11(10a+b)( 10b+a), 右 =[100a+10( a+b)+b] (10b+a)=( 100a+10a+10b+b) ( 10b+a) =(110a+11b)( 10b+a) =11( 10a+b)( 10b+a), ∴左 =右 。 ∴“数字 称等式”一般 律的式子 : (10a+b) [100b+10(a+b)+a]=[100a+10(a+b)+b] (10b+a)。 【考点】 分 (数字的 化 ),代数式的 算和 明。 【分析】 (1) 察 律,左 ,两位数所乘的数是 个两位数的个位数字 百位数字,十位数字 个位数字,两个数字的和放在十位;右 ,三位数与左 . . 边的三位数字百位与个位数字交换, 两位数与左边的两位数十位与个位数字交换 然后相乘,根据此规律进行填空即可: ①∵ 5+2=7,∴左边的三位数是 275,右边的三位数是 572。∴ 52 275=572 25。 ②∵左边的三位数是 396,∴左边的两位数是 63,右边的两位数 是 36。∴ 63369=69336。 (2)按照( 1)中对称等式的方法写出,然后利用多项式的乘法进行证 明即可。 .
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