关 键 词：

绝对值 方程

资源描述：

. “解含绝对值的方程”例题解析 绝对值概念在初中代数，乃至初等数学中，均占有相当重要的地位。解含绝 对值的方程在初中数学竞赛中经常出现， 同学们往往感到困惑， 难于解答。下面举例说明解这类方程的几种常用方法。 一. 运用基本公式：若 ，则 解方程 例 1. 解方程 解：去掉第一重绝对值符号，得 移项，得 或 所以 所以原方程的解为： 例 2. 解方程解：因为所以 即 或 解方程（ 1），得 . . 解方程（ 2），得 又因为 ，所以 所以原方程的解为 二. 运用绝对值的代数意义 解方程 例 3. 方程 的解的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4或 4 以上 解：方程可化为 所以 所以方程的解有无数个，故选（ D）。 三. 运用绝对值的非负性解方程 例 4. 方程 的图像是（ ） A. 三条直线： B. 两条直线： C. 一点和一条直线：（ 0，0）， D. 两个点：（ 0，1），（ -1，0） 解：因为 而 . . 所以 所以原方程的图象为两个点（ 0， 1），（ -1， 0） 故选（ D）。 四 . 运用绝对值的几何意义解方程例 5. 解方程 解：设 ，由绝对值的几何意义知 所以 又因为 所以 从数轴上看，点 落在点 与点 的内部（包括点 与点 在内），即原方程的解为 。 五. 运用方程的图象研究方程的解 例 6. 若关于 x 的方程 有三个整数解，则 a 的值是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 . . 解：作 的图象，如图 1 所示，由于方程 解的个数就 是直线 与 的图象的交点个数，把直线 平行于 x 轴上、下 移动，通过观察得仅当 时方程有三个整数解。故选（ B）。 图 1 同时，我们还可以得到以下几个结论： （1）当 时，方程没有解； （2）当 或 时，方程有两个解； （3）当 时，方程有 4 个解。 中考数学试题分类解析汇编 专题 1：实数 一、选择题 1. （2012 广东省 3 分）﹣5 的绝对值是【 】 A ． 5 B ． ﹣5 C． D ． ﹣ 【答案】 A。 【考点】 绝对值。 【分析】 根据负数的绝对值等于它的相反数，得 | ﹣5|=5 。故选 A。 2. （2012 广东省 3 分）地球半径约为 6400000 米，用科学记数法表示为 【】 . . A ． 0.64 107 B ．6.4 106 C．64 105 D． 640 104 【答案】 B。 【考点】 科学记数法。 【分析】 根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为 a10n，其中 1 ≤ |a| ＜10， n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值。在确定 n 的 值时，看该数是大于或等于 1 还是小于 1。当该数大于或等于 1 时， n 为它的整 数位数减 1；当该数小于 1 时，－ n 为它第一个有效数字前 0 的个数（含小数点前的 1 个 0）。 6400000 一共 7 位，从而 6400000=6.4106 。故选 B。 3. （ 2012 广东佛山 3 分） 的绝对值是【 】 A ．2 B ． C． D ． 【答案】 C。 【考点】 绝对值。 【分析】根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义， 在数轴上， 点 到原点的距离是 ，所以 的绝对值是 。故选 C。 4. （ 2012 广东佛山 3 分）与 234 运算结果相同的是【 】 A ．4 2 3 B ．2（34） C．2（42） D．3 2 4 【答案】 B。 【考点】 有理数的乘除运算。 【分析】 根据连除的性质可得： 2 3 4=2（ 34）。故选 B。 5. （2012 广东广州 3 分）实数 3 的倒数是【 】 A．﹣ B． C．﹣ 3 D． 3 【答案】 B。 【考点】 倒数。 . . 【分析】根据两个数乘积是 1 的数互为倒数的定义，因此求一个数的倒数即 用 1 除以这个数．所以 3 的倒数为 13= 。故选 B。 6. （2012 广东广州 3 分）已知 ，则 a+b=【 】 A．﹣ 8 B．﹣ 6 C．6 D． 8 【答案】 B。 【考点】 非负数的性质，绝对值，算术平方，求代数式的值。 【分析】 ∵ ， ，∴ a﹣ 1=0，7+b=0，解得 a=1， b=﹣7。 ∴a+b=1+（﹣ 7）=﹣6。故选 B。 7. （2012 广东梅州 3 分） =【 】 A．﹣ 2 B． 2 C．1 D．﹣ 1 【答案】 D。 【考点】 零指数幂。 【分析】 根据任何非 0 数的 0 次幂等于 1 解答即可： 。故选 D。 8. （2012 广东汕头 4 分）﹣5 的绝对值是【 】 A ． 5 B ． ﹣5 C． D ． ﹣ 【答案】 A。 【考点】 绝对值。 【分析】 根据负数的绝对值等于它的相反数，得 | ﹣5|=5 。故选 A。 9. （2012 广东汕头 4 分）地球半径约为 6400000 米，用科学记数法表示为 【 】 A ． 0.64 107 B ． 6.4 106 C． 64 105 D． 640 104 【答案】 B。 【考点】 科学记数法。 . . 【分析】 根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为 a10n，其中 1 ≤ |a| ＜10， n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值。在确定 n 的 值时，看该数是大于或等于 1 还是小于 1。当该数大于或等于 1 时， n 为它的整 数位数减 1；当该数小于 1 时，－ n 为它第一个有效数字前 0 的个数（含小数点前的 1 个 0）。 6400000 一共 7 位，从而 6400000=6.4106 。故选 B。 10. （2012 广东深圳 3 分）－ 3 的倒数是【 】 A．3 B．－ 3 C. D。 【答案】 D。 【考点】 倒数。 【分析】根据两个数乘积是 1 的数互为倒数的定义，因此求一个数的倒数即 用 1 除以这个数．所以－ 3 的倒数为 1（－ 3）= 。故选 D。 11.（2012 广东深圳 3 分）第八届中国（深圳）文博会以总成交额 143 300 000 000 元再创新高．将数 143 300 000 000 用科学记数法表示为【 】 A， B 。 C 。 D 。 【答案】 B。 【考点】 科学记数法。 【分析】 根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为 a10n，其中 1 ≤ |a| ＜10， n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值。在确定 n 的 值时，看该数是大于或等于 1 还是小于 1。当该数大于或等于 1 时， n 为它的整 数位数减 1；当该数小于 1 时，－ n 为它第一个有效数字前 0 的个数（含小数点前的 1 个 0）。 143 300 000 000 一共 12 位，从而 143 300 000 000=1.4331011。 故选 B。 12. （ 2012 广东湛江 4 分） 2 的倒数是【 】 A． 2 B ．﹣ 2 C． D．﹣ 【答案】 C。 . . 【考点】 倒数。 【分析】根据两个数乘积是 1 的数互为倒数的定义，因此求一个数的倒数即用 1 除以这个数．所以 2 的倒数为 1 2= 。故选 C。 13. （2012 广东湛江 4 分）国家发改委已于 2012 年 5 月 24 日核准广东湛江钢铁基地项目，项目由宝钢湛江钢铁有限公司投资建设，预计投产后年产 10200000 吨钢铁，数据 10200000 用科学记数法表示为【 】 A． 102105 B．10.2 106 C．1.02 106 D． 1.02 107 【答案】 D。 【考点】 科学记数法。 【分析】根据科学记数法的定义， 科学记数法的表示形式为 a10n，其中 1≤ |a| ＜ 10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值。在确定 n 的值时，看该数是大于或等于 1 还是小于 1。当该数大于或等于 1 时， n 为它的整数位数减 1；当该数小于 1 时，－ n 为它第一个有效数字前 0 的个数（含小数点前的 1 个 0）。 10200000 一共 8 位，从而 10200000=1.02107 。故选 D。 14. （2012 广东肇 庆 3 分）计算 的结果是【 】 A．1 B． C． 5 D ． 【答案】 B。 【考点】 有理数的加法。 【分析】根据有理数的加法运算法则计算即可得解： － 3+2=－（ 3－ 2）=－1。 故选 B。 15. （2012 广东肇 庆 3 分）用科学记数法表示 5700000，正确的是【 】 A． B ． C． D ． 【答案】 A。 【考点】 科学记数法。 . . 【分析】 根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为 a10n，其中 1 ≤ |a| ＜10， n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值。在确定 n 的 值时，看该数是大于或等于 1 还是小于 1。当该数大于或等于 1 时， n 为它的整 数位数减 1；当该数小于 1 时，－ n 为它第一个有效数字前 0 的个数（含小数点前的 1 个 0）。 5700000 一共 7 位，从而 5700000=5.7106 。故选 A。 16. （ 2012 广东珠海 3 分） 2 的倒数是【 】 A． 2 B ．﹣ 2 C ． D．﹣ 【答案】 C。 【考点】 倒数。 【分析】根据两个数乘积是 1 的数互为倒数的定义，因此求一个数的倒数即 用 1 除以这个数．所以 2 的倒数为 12= 。故选 C。二、填空题 1. （ 2012 广东省 4 分）若 x，y 为实数，且满足 ，则 的值是 ▲ ． 【答案】 1。 【考点】 非负数的性质，算术平方根，绝对值。 【分析】 根据算术平方根和绝对值非负数的性质，要使 ，必 须有 且 ，即 x=3， y=3。∴ 。 2. （ 2012 广东梅州 3 分）使式子 有意义的最小整数 m是 ▲ ． 【答案】 2。 【考点】 二次根式有意义的条件。 【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为 0 的条件，要 使 在实数范围内有意义，必须 。所以最小整数 m是 2。 3. （2012 广东梅州 3 分）梅州水资源丰富，水力资源的理论发电量为 775000 千瓦，这个数据用科学记数法可表示为 ▲ 千瓦． . . 【答案】 7.75 105。 【考点】 科学记数法。 【分析】 根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为 a10n，其中 1 ≤ |a| ＜10， n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值。在确定 n 的 值时，看该数是大于或等于 1 还是小于 1。当该数大于或等于 1 时， n 为它的整 数位数减 1；当该数小于 1 时，－ n 为它第一个有效数字前 0 的个数（含小数点前的 1 个 0）。 775000 一共 6 位，从而 775000=7.75105。 4. （2012 广东湛江 4 分） 若二次根式 有意义，则 x 的取值范围是 ▲ ． 【答案】 。 【考点】 二次根式有意义的条件。 【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件， 要使 在实数范围内 有意义，必须 。 5. （ 2012 广东肇 庆 3 分）计算 的结果是 ▲ ． 【答案】 2。 【考点】 二次根式的乘法。 【分析】 根据二次根式乘法进行计算： 。 . . 8. （ 2012 广东珠海 4 分）使 有意义的 x 的取值范围是 ▲ ． 【答案】 。 【考点】 二次根式有意义的条件。 【分析】 根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使 在实数范 围内有意义，必须 。 三、解答题 1. （2012 广东省 6 分）计算： ． 【答案】 解：原式 = 。 【考点】 实数的运算，特殊角的三角函数值，零指数幂，负整数指数幂。 【分析】针对特殊角的三角函数值，零指数幂，负整数指数幂 3 个考点分别 进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果。 2. （2012 广东省 7 分）观察下列等式： . . 第 1 个等式： ；第 2 个等式： ； 第 3 个等式： ；第 4 个等式： ； ⋯ 解答下列 ： （1）按以上 律列出第 5 个等式： a5= = ； （2）用含有 n 的代数式表示第 n 个等式： an = = （ n 正整数）； （3）求 a1+a2+a3+a4+⋯+a100 的 ． 【答案】解：（1） 。（2） 。 （3）a1+a2+a3+a4+⋯ +a100 。 【考点】 分 （数字的 化 ）。 【分析】 （1）（2） 察知，找等号后面的式子 律是关 ：分子不 ， 1；分母是两个 奇数的乘 ，它 与式子序号之 的关系 ：序号的 2 倍减 1 和序号的 2 倍加 1。 （3）运用 化 律 算。 3. （2012 广 梅州 7 分） 算： ． 【答案】 解：原式 = 。 【考点】 数的运算， ，算 平方根，特殊角的三角函数 ， 整数 指数 。 【分析】 ，算 平方根，特殊角的三角函数 ， 整数指数 4 个考点分 行 算，然后根据 数的运算法 求得 算 果。 . . 4. （2012 广东汕头 7 分）计算： ． 【答案】 解：原式 = 。 【考点】 实数的运算，特殊角的三角函数值，零指数幂，负整数指数幂。 【分析】针对特殊角的三角函数值，零指数幂，负整数指数幂 3 个考点分别 进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果。 8. （ 2012 广东珠海 6 分）计算： ． 【答案】 解：原式 =2－1＋ 1－ 2=0。 【考点】 实数的运算，算术平方根，绝对值，零指数幂，负整数指数幂。 【分析】 针对算术平方根，绝对值，零指数幂，负整数指数幂 4 个考点分别 进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果。 . . 专题 2：代数式和因式分解 一、选择题 1. （ 2012 广东佛山 3 分） 等于【 】 A． B ． C． D ． 【答案】 A。 【考点】 同底数幂的乘法。 【分析】 根据同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即： 。故选 A。 2. （ 2012 广东广州 3 分）下面的计算正确的是【 】 A．6a﹣5a=1 B．a+2a2=3a3 C．﹣（ a﹣b）=﹣a+b D．2（a+b）=2a+b 【答案】 C。 【考点】 去括号与添括号，合并同类 项。 【分析】 根据合并同类项法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数 ，字 母和字母的指数不变； 去括号法则： 如果括号外的因数是正数， 去括号后原括号 内各项的符号与原来的符号相同； 如果括号外的因数是负数， 去括号后原括号内 各项的符号与原来的符号相反，进行计算，即可选出答案： A、 6a﹣5a=a，故此选项错误； B、a 与 2a2 不是同类项，不能合并，故 此选项错误； C、﹣（ a﹣b）=﹣a+b，故此选项正确； D、2（a+b）=2a+2b，故此选项 错误。 故选 C。 3. （ 2012 广东汕头 4 分）下列运算正确的是【 】 A．a+a=a2 B．（﹣ a3）2 =a5 C．3a?a2=a3 D． 【答案】 D。 【考点】 合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法。 . . 【分析】根据合并同类项， 幂的乘方与积的乘方， 同底数幂的乘法运算法则逐一 计算作出判断： A、a+a=2a，故此选项错误； B、（﹣ a3）2=a6，故此选项错误； C、3a?a2=3a3，故此选项错误； D、 ，故此选项正确。 故选 D。 4. （ 2012 广东深圳 3 分）下列运算正确的是【 】 A， B 。 C。 D。 【答案】 B。 【考点】 合并同类项，同底幂乘法和除法，幂的乘方和积的乘方。 【分析】根据合并同类项， 同底幂乘法和除法， 幂的乘方和积的乘方运算法则逐 一计算作出判断： A. 和 不是同类项，不可以合并，选项错误； B. ，选项正确； C. ，选项错误； D. ，选项错误。 故选 B。 5. （ 2012 广东湛江 4 分）下列运算中，正确的是【 】 A．3a2﹣a2=2 B ．（a2 ）3=a5 C．a3?a6=a9 D．（2a2）2=2a4 【答案】 C。 【考点】 合并同类项，同底幂乘法，幂的乘方和积的乘方。 【分析】根据合并同类项， 同底幂乘法，幂的乘方和积的乘方运算法则逐一计算作出判断： A、 3a2﹣a2=2a2，故本选项错误； B、（ a2 ）3=a6 ，故本选项错误；C、 a3?a6=a9，故本选项正确； D、（ 2a2） 2=4a4，故本选项错误。 故选 C。 6. （2012 广东肇 庆 3 分）要使式子 有意义，则 的取值范围是【 】 A． B ． C ． D． 【答案】 A。 【考点】 二次根式有意义的条件。 . . 【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使 在有意义，必 须 。故选 A。 7. （ 2012 广东珠海 3 分）计算﹣ 2a2+a2 的结果为【 】 A．﹣ 3a B ．﹣ a C．﹣ 3a2 D．﹣ a2 【答案】 D。 【考点】 合并同类项。 【分析】根据合并同类项法则 （把同类项的系数相加作为结果的系数， 字母和字母的指数不变）相加即可得出答案：﹣ 2a2+a2=﹣a2。。故选 D。 二、填空题 1. （ 2012 广东省 4 分）分解因式： 2x2 ﹣10x= ▲ ． 【答案】 2x（x﹣5）。 【考点】 提公因式法因式分解。 【分析】 要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式， 若有公因式， 则把它提取出来， 之后再观察是否是完全平方式或平方差式， 若是 就考虑用公式法继续分解因式。因此，直接提取公因式 2x 即可： 2x2 ﹣10x==2x （ x﹣ 5）。 2. （ 2012 广东广州 3 分）分解因式： a3﹣ 8a= ▲ ． 【答案】 a（ a+2 ）（ a﹣2 ）。 【考点】 提公因式法和公式法因式分解。 【分析】 先提取公因式 a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解： 3 2 a ﹣8a=a（ a ﹣8）=a（ a+2 ）（ a﹣2 ）。 3. （ 2012 广东梅州 3 分）若代数式﹣ 4x6y 与 x2ny 是同类项，则常数 n 的值为 ▲ ．【答案】 3。 【考点】 同类项。 【分析】 根据同类项的定义列式求解即可： ∵代数式﹣ 4x6y 与 x2ny 是同类项，∴ 2n=6，解得： n=3。 4. （ 2012 广东汕头 4 分）分解因式： 2x2﹣10x= ▲ ． . 2x 即可： 2x2﹣10x==2x（ x﹣ . 【答案】 2x（x﹣5）。 【考点】 提公因式法因式分解。 【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式， 若有公因式，则把它提取出来， 之后再观察是否是完全平方式或平方差式， 若是就考虑用公式法继续分解因式。因此，直接提取公因式 5）。 5. （2012 广东汕头 4 分）若 x，y 为实数，且满足 ，则 的 值是 ▲ ． 【答案】 1。 【考点】 非负数的性质，算术平方根，绝对值。 【分析】 根据算术平方根和绝对值非负数的性质，要使 ，必须有 且 ，即 x=3，y=3。∴ 。 2. （ 2012 广东佛山 6 分）化简： 【答案】 解：原式 = 。 . . 【考点】 分式的加减法。 【分析】 用分配率 便，也可先通分，再 算。 3. （ 2012 广 广州 10 分）已知 （ a≠ b），求 的 ． 【答案】 解：∵ ，∴ ， ∴ 。 【考点】 分式的化 求 。 【分析】 由 得出 ， 通分（最 公分母 ），分子因式分解， 分，化 得出 ，代入求出即可。 4. （ 2012 广 汕 7 分）先化 ，再求 ：（ x+3）（ x﹣3） x（x﹣2），其中 x=4． 【答案】 解：原式 =x2﹣ 9﹣ x2 +2x=2x﹣9。 当 x=4 ，原式 =24﹣9=﹣ 1。 【考点】 整式的混合运算（化 求 ）。 【分析】 先把整式 行化 ，再把 x=4 代入 行 算即可。 5. （ 2012 广 汕 9 分） 察下列等式： 第 1 个等式： ； 第 2 个等式： ； 第 3 个等式： ； 第 4 个等式： ； ⋯ . . 解答下列 ： （ 1）按以上 律列出第 5 个等式： a5= = ； （ 2）用含有 n 的代数式表示第 n 个等式： an= = （n 正整数）； （ 3）求 a1+a2+a3 +a4+⋯+a100 的 ． 【答案】 解：（ 1） 。 （ 2） 。 （ 3 ） a1+a2 +a3+a4 + ⋯ +a100 。 【考点】 分 （数字的 化 ）。 【分析】 （1）（ 2） 察知，找等号后面的式子 律是关 ：分子不 ， 1； 分母是两个 奇数的乘 ，它 与式子序号之 的关系 ：序号的 2 倍减 1 和序号的 2 倍加 1。 （3）运用 化 律 算。 6. （ 2012 广 深圳 6 分）已知 = －3， =2，求代数式的 ． 【答案】 解：原式 = 。 当 = －3， =2 ，原式 = 。 . . 9. （2012 广东珠海 6 分）先化简，再求值： ，其中 ． 【答案】 解：原式 = 。 当 时，原式 = 。 【考点】 分式的化简求值，二次根式化简。 【分析】先将括号内的分式通分，进行加减后再算除法，计算时，要将除法转化 为乘法。最后代入 ，化简求值。 10. （2012 广东珠海 9 分）观察下列等式： 12231=13221， 13341=14331， 23352=25332， 34473=37443， . . 62286=68226， ⋯ 以上每个等式中两 数字是分 称的， 且每个等式中 成两位数与三位数的数字之 具有相同 律，我 称 等式 “数字 称等式”． （ 1）根据上述各式反映的 律填空，使式子称 “数字 称等式”： ① 52 = 25； ② 396=693 ． （ 2） 等式左 两位数的十位数字 a，个位数字 b，且 2≤a+b≤9，写出表示“数字 称等式”一般 律的式子（含 a、 b），并 明． 【答案】 解：（ 1）① 275；572。 ② 63；36。 （ 2）“数字 称等式”一般 律的式子 ： （10a+b）[100b+10（a+b）+a]=[100a+10（a+b）+b] （10b+a）。 明如下： ∵左 两位数的十位数字 a，个位数字 b，∴左 的两位数是 10a+b，三位数是 100b+10（ a+b）+a， 右 的两位数是 10b+a，三位数是 100a+10（ a+b）+b， ∴左 =（ 10a+b） [100b+10（a+b）+a]= （10a+b） （ 100b+10a+10b+a） =（ 10a+b）（ 110b+11a）=11（10a+b）（ 10b+a）， 右 =[100a+10（ a+b）+b] （10b+a）=（ 100a+10a+10b+b） （ 10b+a） =（110a+11b）（ 10b+a） =11（ 10a+b）（ 10b+a）， ∴左 =右 。 ∴“数字 称等式”一般 律的式子 ： （10a+b） [100b+10（a+b）+a]=[100a+10（a+b）+b] （10b+a）。 【考点】 分 （数字的 化 ），代数式的 算和 明。 【分析】 （1） 察 律，左 ，两位数所乘的数是 个两位数的个位数字 百位数字，十位数字 个位数字，两个数字的和放在十位；右 ，三位数与左 . . 边的三位数字百位与个位数字交换， 两位数与左边的两位数十位与个位数字交换 然后相乘，根据此规律进行填空即可： ①∵ 5+2=7，∴左边的三位数是 275，右边的三位数是 572。∴ 52 275=572 25。 ②∵左边的三位数是 396，∴左边的两位数是 63，右边的两位数 是 36。∴ 63369=69336。 （2）按照（ 1）中对称等式的方法写出，然后利用多项式的乘法进行证 明即可。 .

内容简介：

-