圆锥曲线中的探索性问题

1、.专题圆锥曲线中的探索性问题1(2016 标全国乙课 )在直角坐标系xoy 中，直线 l ：y t(t 0)交 y 轴于点 m ，交抛物线c：y2 2px(p0)于点 p，m 关于点 p 的对称点为n ，连接 on 并延长交c 于点 h .(1) 求 |oh |； (2)除 h 以外，直线 mh 与 c 是否有其他公共点？说明理由|on|x2 y22(2016 四川 )已知椭圆 e：a2 b2 1(ab0) 的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线 l： y x 3 与椭圆 e 有且只有一个公共点 t.(1)求椭圆 e 的方程及点 t 的坐标；(2)设 o 是坐标原点，直线 l平

2、行于 ot，与椭圆 e 交于不同的两点a、b，且与直线 l 交于点 p.证明：存在常数 ，使得 |pt|2 |pa| |pb |，并求 的值高考必会题型题型一定值、定点问题例1 已知椭圆 c：x2y21(ab0) 经过点 (0，3)，离心率为1，直线 l 经过椭圆 c 的右焦b22a2点 f 交椭圆于 a、b 两点(1)求椭圆 c 的方程；(2) 若直线 l 交 y 轴于点 m，且 ma af ， mb bf，当直线 l 的倾斜角变化时，探求 ;.的值是否为定值？若是，求出 的值；否则，请说明理由变式训练1已知抛物线y2 2px(p0)，过点 m(5， 2)的动直线l 交抛物线于a， b 两点

3、，当直线 l 的斜率为 1 时，点 m 恰为 ab 的中点(1) 求抛物线的方程；(2) 抛物线上是否存在一个定点p，使得以弦ab 为直径的圆恒过点p，若存在，求出点p 的坐标，若不存在，请说明理由题型二定直线问题例 2在平面直角坐标系xoy 中，过定点c(0， p)作直线与抛物线x2 2py(p0) 相交于 a， b 两点(1) 若点 n 是点 c 关于坐标原点 o 的对称点， 求 anb 面积的最小值；(2) 是否存在垂直于 y 轴的直线 l，使得 l 被以 ac 为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出 l 的方程；若不存在，请说明理由;.变式训练 2 椭圆 c 的方程为x2y2a2b

4、2 1(ab0) ， f1、f 2分别是它的左、右焦点，已知椭圆c 过点 (0,1)，且离心率2 2 e 3 .(1) 求椭圆 c 的方程；(2) 如图，设椭圆的左、右顶点分别为a、 b，直线 l 的方程为 x 4，p 是椭圆上异于 a、 b的任意一点，直线pa、 pb 分别交直线 l 于 d、 e 两点，求 f 1df 2e的值；(3) 过点 q(1,0)任意作直线 m(与 x 轴不垂直 )与椭圆 c 交于 m、n 两点，与 l 交于 r 点，rm ， rn ynq，求证： 4x4y 5 0.xmq题型三存在性问题例 3(1) 已知直线ya 交抛物线y x2 于 a， b 两点若该抛物线上存

5、在点c，使得 acb为直角，则a 的取值范围为_223，以椭圆的左顶点(2) 如图，已知椭圆c： x2 y2 1(ab0)的离心率为t 为圆心作圆 t：ab2(x 2)2 y2 r2 (r 0)，设圆t 与椭圆 c 交于点 m， n.;. t 的方程；求椭圆 c 的方程；求 tmtn的最小值，并求此时圆设点 p 是椭圆 c 上异于 m ，n 的任意一点，且直线mp， np 分别与 x 轴交于点 r， s，o为坐标原点试问：是否存在使s poss por 最大的点 p？若存在，求出点p 的坐标；若不存在，请说明理由变式训练 3 (2015 四川 )如图，椭圆 e： x2 y21(a b 0)的离

6、心率是a22b2 2，点 p(0,1)在短轴 cd 上，且 pc pd 1.(1) 求椭圆 e 的方程；(2) 设 o 为坐标原点，过点 p 的动直线与椭圆交于 a，b 两点是否存在常数 ，使得 oa ob 的值；若不存在，请说明理由papb为定值？若存在，求;.高考题型精练x2y21.(2015 陕西 )如图，椭圆e：a2 b2 1(a b 0)经过点 a(0 ， 1)，且2离心率为2 .(1) 求椭圆 e 的方程；(2) 经过点 (1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆e 交于不同的两点p， q(均异于点a)，证明：直线 ap 与 aq 的斜率之和为2.22f(1,0)，且点 p(1， 32

7、已知椭圆 c：x2 y2 1(ab0)的右焦点为)在椭圆 c 上， o 为坐标ab2原点(1)求椭圆 c 的标准方程；(2)设过定点 t(0,2) 的直线 l 与椭圆 c 交于不同的两点a，b，且 aob为锐角，求直线l 的斜率 k 的取值范围；22p，作圆 o： x2 y2 4的两条切线，切(3)过椭圆 c1： x2 y1 上异于其顶点的任一点ab2533点分别为m， n(m， n 不在坐标轴上 )，若直线 mn 在 x 轴， y 轴上的截距分别为m，n，证明：11 为定值3m2n2223 (2016 山东 )已知椭圆 c： x2 y2 1(ab 0)的长轴长为4，焦距为ab22.;.(1)

8、 求椭圆 c 的方程；(2) 过动点 m(0，m)(m0)的直线交 x 轴于点 n，交 c 于点 a，p(p 在第一象限 )，且 m 是线段 pn 的中点过点p 作 x 轴的垂线交c 于另一点q，延长 qm 交 c 于点 b.设直线 pm ， qm 的斜率分别为k， k，证明 k 为定值；k求直线 ab 的斜率的最小值x2y24已知椭圆 c：a2 b2 1(ab0)的右焦点为 f(1,0)，短轴的一个端点 b 到 f 的距离等于焦距(1) 求椭圆 c 的方程；(2) 过点 f 的直线 l 与椭圆 c 交于不同的两点 m，n，是否存在直线 l，使得 bfm 与 bfn 的面积比值为 2？若存在，

9、求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由圆锥曲线中的探索性问题1 (2016 课标全国乙 )在直角坐标系xoy 中，直线l ：y t(t 0)交 y 轴于点 m，交抛物线c：y2 2px(p0) 于点 p，m 关于点 p 的对称点为n，连接 on 并延长交c 于点 h .(1) 求 |oh |； (2)除 h 以外，直线 mh 与 c 是否有其他公共点？说明理由|on|22解 (1) 由已知得 m(0， t)， p t ， t ，又 n 为 m 关于点 p 的对称点，故nt ， t， on 的方2ppp2t22t2程为 y t x，代入 y2 2px 整理得 px2 2t2x 0，解得 x1

10、 0， x2 p，因此 h p， 2t .|oh |所以 n 为 oh 的中点，即 |on|2.(2) 直线 mh 与 c 除 h 以外没有其他公共点，理由如下：直线mh 的方程为 y t p x，即 x2t;.2t p (y t)代入 y22px 得 y2 4ty 4t2 0，解得 y1 y2 2t，即直线mh 与 c 只有一个公共点，所以除h 以外，直线mh 与 c 没有其他公共点x2 y22(2016 四川 )已知椭圆 e：a2 b2 1(ab0) 的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线l： y x 3 与椭圆 e 有且只有一个公共点 t.(1) 求椭圆 e 的方程及点

11、t 的坐标；(2) 设 o 是坐标原点，直线l平行于 ot，与椭圆 e 交于不同的两点 a、b，且与直线 l 交于点 p.证明：存在常数 ，使得 |pt|2 |pa| |pb |，并求 的值22解 (1) 由已知，得 a2b，则椭圆 e 的方程为x 2 y2 1.2bbx2 y2由方程组2b2 b2 1，222得 3x 12x (18 2b) 0. 方程 的判别式为 24(b 3)，由y x 3， 0，得 b2 3，此时方程 的解为 x 2，所以椭圆x2y2e 的方程为6 3 1.点 t 的坐标为 (2,1)1(2) 由已知可设直线 l 的方程为 y 2x m(m0) ，12mx 2 3 ，y

12、 2x m，2m2m28 2由方程组可得2mp 点坐标为23， 13，|pt| 9m .y x 3，y1 3 .x2y26 3 1，22设点 a，b 的坐标分别为a(x ，y)，b(x ，y )由方程组可得 3x 4mx (4m11221y 2x m， 16(9 2m2)，由323212) 0. 方程 的判别式为0，解得2mb0) 经过点 (0，3)，离心率为a2b22点 f 交椭圆于a、b 两点 (1)求椭圆 c 的方程；;.的倾斜角变化时，探求 (2) 若直线 l 交 y 轴于点 m，且 ma af ， mb bf，当直线 l的值是否为定值？若是，求出 的值；否则，请说明理由解(1) 依题

13、意得 b3， e c1222x2y2a2， a b c ， a2， c 1， 椭圆 c 方程为4 3 1.(2) 直线 l 与 y 轴相交于点 m，故斜率存在，又f 坐标为 (1,0)，设直线 l 方程为yk( x1)，求得 l 与 y 轴交于 m(0， k)，设 l 交椭圆 a(x ， y )， b(x ， y )，1122由yk x1 ，消去 y 得(32 22212 0， x1 28k2，x1 24k2 124k)x 8kx4k，x2y2 x x 3 4k23 4k24 3 1，x1，同理 x2，又由 ma af， (x1111，y k)(1 x ， y )， 1 x1 x128k22

14、4k2 12 12x1 x22x1x23 4k2 3 4k28xx12122 3.1228k4k 121 x 1 x1 x xx x13 4k23 4k2当直线 l 的倾斜角变化时， 的值为定值 83.点评(1)定点问题的求解策略把直线或曲线方程中的变量x， y 当作常数看待，把方程一端化为零，既然直线或曲线过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于 x， y 的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点(2) 定值问题的求解策略在解析几何中， 有些几何量与参数无关，这就是 “ 定值 ” 问题，解决这类问题常通过取特殊值，先确定 “

15、定值 ” 是多少，再进行证明，或者将问题转化为代数式，再证明该式是与变量无关的常数或者由该等式与变量无关，令其系数等于零即可得到定值变式训练1已知抛物线y2 2px(p0)，过点 m(5， 2)的动直线l 交抛物线于a， b 两点，当直线 l 的斜率为 1 时，点 m 恰为 ab 的中点(1) 求抛物线的方程；(2)抛物线上是否存在一个定点p，使得以弦ab 为直径的圆恒过点p，若存在，求出点p 的坐标，若不存在，请说明理由解(1) 当直线 l 的斜率为 1 时，直线l 的方程为x y 3 0，即 x 3 y，;.y y2代入 y2 2px(p0)得 y2 2py 6p 0，1y2 4x.2 p

16、 2， p 2，抛物线的方程为(2) 设直线 l 的方程为 x m(y 2) 5，代入 y24x 得 y2 4my 8m 20 0，22yy12设点 a( 4 ， y1)， b( 4 ， y2)，则 y1 y2 4m， y1y2 8m 20，2 2222y0y1y0y2y0假设存在点 p( 4 ， y0) 总是在以弦 ab 为直径的圆上，则 papb ( 4 4 )( 4 4 )( y1 y0)(y2 y0) 0，当 y1 y0 或 y2 y0 时，等式显然成立；当 y1 y0 或 y2 y0 时，则有 (y1 y0)( y2 y0) 16，即 4my0 y20 8m20 16，(4m y0

17、2)(y0 2) 0，解得 y0 2， x0 1，所以存在点p(1,2)满足题意题型二定直线问题例 2在平面直角坐标系xoy 中，过定点c(0， p)作直线与抛物线x2 2py(p0) 相交于 a， b 两点(1) 若点 n 是点 c 关于坐标原点 o 的对称点， 求 anb 面积的最小值；(2) 是否存在垂直于 y 轴的直线 l，使得 l 被以 ac 为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出 l 的方程；若不存在，请说明理由解方法一(1) 依题意，点n 的坐标为 (0， p)，可设 a(x1， y1)， b( x2， y2)，x2 2py，直线 ab 的方程为 y kx p，与 x2 2p

18、y 联立得消去 y 得 x2 2pkx 2p20.y kxp，1由根与系数的关系得x1 x2 2pk， x1x2 2p2.于是 sabn sbcn s acn 22p|x1 x2|p|x1 2| p122 4x124p2k2 8p22p22 2， 当 k 0 时，(sabn )min 2 2 xx xx pkp2.(2) 假设满足条件的直线 l 存在，其方程为 y a，ac 的中点为 o ， l 与以 ac 为直径的圆相交于点p， q， pq 的中点为 h，x1y1 p1122122则 oh pq，o 点的坐标为 ( 2 ，2) |o p|2|ac|2x1 y1 p2y1 p ，|o h| a

19、 y1 p 1|2a y1 p|， |ph|2 |o p|2 |o h|22214(y21p2) 14(2ay1 p)2 (ap2)y1 a( p a)， |pq|2 (2|ph |)2;.ppp 4( a2)y1 a(pa) 令 a 2 0，得 a 2，此时 |pq| p 为定值，故满足条件的直线l 存在，p其方程为y2，即抛物线的通径所在的直线方法二(1)前同方法一，再由弦长公式得|ab|1 k2|x1x2| 1 k2 x1x2 2 4x1x2 1 k2 4p2k2 8p22p 1 k2 k2 2，2p1又 由 点 到 直 线 的 距 离 公 式 得d 2. 从 而s abn 2d|ab|

20、 1k12p 1k2 k2 2 2p21 k22p22时， (s2k 2. 当 k 0) 2 2p . abn min(2) 假设满足条件的直线 l 存在，其方程为 y a，则以 ac 为直径的圆的方程为(x 0)(x x1) (y p)(y y1) 0，将直线方程y a 代入得 x2x1x (a p)( a y1)0，2p则 x1 4(a p)( a y1) 4( a2)y1 a( p a) 设直线 l 与以 ac 为直径的圆的交点为p(x3 ，y3)，q(x4， y4)，p则有 |pq| |x3 x4 |4 a2 y1 a p a ppp2a 2 y1 a p a .令 a2 0，得 a

21、2，此时 |pq| p 为定值，p故满足条件的直线l 存在，其方程为y 2，即抛物线的通径所在的直线点评 (1)定直线由斜率、截距、定点等因素确定(2)定直线为特殊直线 x x0， y y0 等椭圆 c 的方程为 x22变式训练 22 y21(ab0) ， f 1、 f2 分别是它的左、右焦点，已知椭圆ab22c 过点 (0,1)，且离心率 e3 .(1) 求椭圆 c 的方程； (2)如图，设椭圆的左、右顶点分别为a、 b，直线 l 的方程为 x 4， p是椭圆上异于a、b 的任意一点， 直线 pa、pb 分别交直线 l 于 d、e 两点， 求f1d f2e的值；(3) 过点 q(1,0)任意

22、作直线 m(与 x 轴不垂直 )与椭圆 c 交于 m、n 两点，与 l 交于 r 点，rm ， rn ynq，求证： 4x4y 5 0.xmq;.c22(1) 解由题意可得b 1，a3 ，2a 3，椭圆 c 的方程为 x9 y2 1.(2) 解 设 p(x0， y0)，则直线 pa、pb 的方程分别为yy0(x 3)， y y0(x 3)，x 3x 300将 x 4 分别代入可求得d， e 两点的坐标分别为d(4，7y0)， e(4，y0)x0 3x0 37y0y由(1) 知， f 1(4 2 2，0212) (4 2 2，)( 2 2， 0)， f (2 2， 0)， fd f ex0 3x

23、0 3227y0，又 点 p( x ， y )在椭圆 c 上， x028 29 y 1?000x0 92165y02 9， f d f e9 .12x0 9(3) 证明设 m(x1， y1 )， n(x2，y2)， r(4， t)，由 rm xmq得 (x1 4， y1 t) x(1 x1， y1)，4 xx1，1 x(x 1)，代入椭圆方程得(4 x)2 9t29(1 x)2，t1y 1 x 消去 t，得 x y 5，同理由 rn ynq得 (4 y)2 9t2 9(1 y)2， 44x 4y 5 0.题型三存在性问题例 3(1) 已知直线 ya 交抛物线 y x2 于 a， b 两点若该抛

24、物线上存在点c，使得 acb为直角，则 a 的取值范围为 _解析以 ab 为直径的圆的方程为 x2( y a) 2 a，由y x2，得 y2 (1 2a)yx2 y a 2 a，a0，a2 a 0.即 (y a)y (a 1) 0，由已知解得 a1.a 1 0，223，以椭圆的左顶点(2) 如图，已知椭圆 c： x2 y2 1(ab0)的离心率为t 为圆心作圆 t：ab2(x 2)2 y2 r2 (r 0)，设圆 t 与椭圆 c 交于点 m， n.求椭圆 c 的方程；求 t 的方程；tm tn的最小值，并求此时圆;.设点 p 是椭圆 c 上异于 m ，n 的任意一点，且直线mp， np 分别与 x 轴交于点r， s，o为坐标原点试问：是否存在使s poss por 最大的点 p？若存在，求出点p 的坐标；若不存在，请说明理由c3解 由题意知a2，222解之，得 a 2， c3，由 c a b ，得 b 1，a 2，x2故椭圆 c 的方程为4 y2 1. 点 m 与点 n 关于 x 轴对称，22