高中数学人教A选修22课件131导数在研究函数中的应用

1、1.3导数在研究函数中的应用,1.3.1函数的单调性与导数,1.函数的单调性与其导数的关系 在某个区间(a,b)内,如果f(x)0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增;如果f(x)0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减;如果恒有f(x)=0,那么函数y=f(x)在这个区间内是常数函数.,做一做若定义域为R的函数f(x)的导数f(x)=2x(x-1),则f(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减. 解析:由f(x)0得x1,由f(x)0得x1,所以f(x)在区间(1,+)上单调递增,在区间(-,1)上单调递减. 答案:(1,+)(-,1),2.导数的绝对值与函数值变化的关系 一般地,

2、如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函数在这个范围内变化得快,这时,函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下);反之,函数的图象就“平缓”一些.,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”. (1)若函数f(x)在(a,b)上单调递增,则f(x)在(a,b)上各点处的切线的倾斜角都是锐角. () (2)“在区间I上,f(x)0. () (4)单调递增函数的导函数也是单调递增函数. () (5)函数f(x)在(a,b)上变化得越快,其导数就越大. (),探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,利用导数判断或证明函数的单调性,探究一,探究二,探究三,思维辨析

3、,当堂检测,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,变式训练1求证:函数f(x)=sin x+cos x+3x在R上单调递增.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,利用导数求函数的单调区间 【例2】 求下列函数的单调区间:,分析:按照利用导数求函数单调区间的步骤转化为解不等式问题进行求解.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,变式训练2求下列函数的单调区间:

4、 (1)f(x)=4x- x3;(2)f(x)=ex-x. 解:(1)函数定义域为R,f(x)=4-x2. 令f(x)0,即4-x20,解得-22. 故函数的单调递增区间是(-2,2),单调递减区间是(-,-2)和(2,+). (2)函数定义域为R,f(x)=ex-1. 令f(x)0,即ex-10,解得x0; 令f(x)0,即ex-10,解得x0. 故函数的单调递增区间是(0,+),单调递减区间是(-,0).,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,函数图象与其导函数图象之间的关系 【例3】 设f(x)是函数f(x)的导函数,将y=f(x)和y=f(x)的图象画在同一个直角坐标系中,不可能

5、正确的是(),分析:若函数f(x)在某一区间上是增加的,则f(x)0,所以在此区间导函数图象应在x轴的上方;同理,若函数f(x)在某一区间上是单调递减的,则f(x)0,所以在此区间导函数图象应在x轴的下方,据此进行判定.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,解析:对于A,若曲线C1为函数f(x)的图象,由于函数在(-,0)内是减少的,所以f(x)0,故f(x)图象在x轴的上方,因此A符合题意. 同理,B,C中若C2为f(x)的图象,C1为f(x)的图象也符合题意; 对于D,若曲线C1为函数f(x)的图象,则函数f(x)在(-,+)内是增加的,与C2不相符;若曲线C2为函数f(x)的图象

6、,则函数f(x)在(-,+)内是减少的,与C1不相符. 答案:D,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,变式训练3已知函数f(x)的导函数f(x)的图象如图所示,则函数f(x)的单调递增区间是. 解析:由图象可得,导函数f(x)在区间(-1,0),(2,+)上大于0,因此函数f(x)的单调递增区间是(-1,0)和(2,+). 答案:(-1,0)和(2,+),探究二,探究三,探究一,思维辨析,当堂检测,探究二,探究三,探究一,思维辨析,当堂检测,探究二,探究三,探究一,思维辨析,当堂检测,探究二,探究三,探究一,思维辨析,当堂检测,答案:C,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,答案:C,2.函数f(x)=2x3-6x2+12的单调递减区间是() A.(-,0)B.(0,2) C.(2,+)D.(0,+) 解析:f(x)=2x3-6x2+12,f(x)=6x2-12x,解不等式f(x)=6x2-12x0,得0x2,即函数f(x)的单调递减区间是(0,2). 答案:B