人教版八年级数学教案18.2正方形的性质与判定（1）.ppt

1、,18.2.3正方形的性质与判定,2002年世界数学大会会标,图片欣赏,剪一剪,1、给你一张正方形的彩色纸，你能一刀剪出如图的正方形孔吗？,正方形,矩形,剪一剪,2、给你一张矩形纸能把它折成一个正方形吗？,情景一,新知探究,情景一,新知探究,情景一,新知探究,情景一,新知探究,情景一,新知探究,情景一,新知探究,情景一,新知探究,创设情景,问题:,从这个图形中你想到了什么？,A,B,C,D,情景二,新知探究,A,B,C,D,情景二,新知探究,A,B,C,D,情景二,新知探究,A,B,情景二,新知探究,A,B,情景二,新知探究,A,B,情景二,新知探究,A,B,情景二,新知探究,A,B,C,D,

2、情景二,新知探究,A,B,C,D,A,B,邻边相等的矩形,想一想：正方形是怎样的矩形？,矩形,正方形,新知探究,菱形,正方形,一个角是直角的菱形,想一想：正方形是怎样的菱形？,新知探究,有一个角是直角,有一组邻边相等,回忆,如何在平行四边形的基础上来定义正方形,一、正方形定义,定义：一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形,菱形,矩形,平行四边形,平行四边形，矩形，菱形，正方形的关系,正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形。,正方形的性质=,角 ：四个角都是直角,图形的对称性：既是轴对称图形, 又是中心对称图形.,正方形的性质,特殊的平行四边形 特殊的矩形 特殊的

3、菱形,二、正方形的性质:,四条边都相等且对边平行;,两条对角线互相垂直平分且相等,并且每一条对角线平分一组对角.,四个角都是直角;,1、边：,2. 角:,3.对角线:,(A),(B),(C),(D),4、既是轴对称图形也是中心对称图形,有四条对称轴,对称性,特征,正方形是中心对称图形,对称中心为点O,它也是轴对称图形,有4条对称轴,(1)它具有平行四边形的一切性质,两组对边分别平行且相等，两组对角相等，对角线互相平分,(2)具有矩形的一切性质,四个角都是直角，对角线相等,(3)具有菱形的一切性质,四条边相等；对角线互相垂直，每条对角线平分一组对角,(A),(B),(C),(D),归纳：,你觉得

4、什么样的四边形是正方形呢?( 判断一个四边形是正方形有哪些方法？）,正方形的判定方法：,一、以平行四边形、矩形、菱形为基础,定义法,四条边相等，四个角都是直角,对角线互相垂直、平分且相等,二、以四边形为基础：,既是菱形又是矩形的四边形是正方形。,5种判 定方法,三个角是直角,四条边相等,一个角是直角,或对角线相等,一组邻边相等,或对角线垂直,一组邻边相等,或对角线垂直,一个角是直角,或对角线相等,一个角是直角且一组邻边相等,平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结,(1)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的 等腰直角三角形（ ） (2)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形（ ） (3)如果

5、一个菱形的对角线相等，那么它一定 是正方形 （ ） (4)如果一个矩形的对角线互相垂直，那么它 一定是正方形 （ ） (5)四条边相等，且有一个角是直角的四边形 是正方形（ ）,快速反应,判断题:,（6）正方形一定是矩形（ ） （7）正方形一定是菱形（ ） （8）菱形一定是正方形（ ） （9）矩形一定是正方形（ ） (10)正方形、矩形、菱形都是平行四边形 （ ）,（12）正方形是轴对称图形,一共有2条对称轴( ),(13)四个角都相等的四边形是正方形 ( ) (14)四条边都相等的四边形是正方形 ( ),正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ） A、四个角相等. B、对角线互相垂直平分. C

6、、对角互补. D、对角线相等.,2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（ ） A、四条边相等. B、对角线互相垂直平分. C、对角线平分一组对角. D、对角线相等.,B,D,选择题:,3、下列命题正确的是（ ） A、四个角都相等的四边形是正方形 B、四条边都相等的四边形是正方形 C、对角线相等的平行四边形是正方形 D、对角线互相垂直的矩形是正方形,D,4四个内角都相等的四边形一定是（ ） A、正方形 B、菱形 C、矩形 D平行四边形,C,5在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正 方形的是：（ ）AAOBOCODO，ACBD BADBC AC CAOCOBODOABBC DAC

7、BD,A,6 四个内角都相等，四条边也都相等的四边形一定是：（ ） A正方形 B菱形 C矩形 D平行四边形,A,1、如图：正方形ABCD的周长为15cm，则矩形EFCG的周长为 cm。,7.5,填空题,2.已知：正方形ABCD对角线AC、BD相交于点O，且AB2cm，则AC= , 正方形的面积S=_.,2,2,4,6,36,3.已知：在正方形ABCD中，对角线AC、 BD相交于点O，且AC6 cm， 面积S=_.则边长AB_cm,4,36,24,2,30,(7),（8),15,10、正方形ABCD中，M为AD中点，MEBD于E，MFAC于F,若ME+MF =8cm，则AC=_.,16cm,5,

8、11、已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O。,若AB=BC，则四边形ABCD是（ ） 若AC=BD，则四边形ABCD是（ ） 若BCD=900，则四边形ABCD是（ ） 若OA=OB，则四边形ABCD是（ ） 若AB=BC，且AC=BD，则四边形ABCD是 （ ）,菱形,矩形,矩形,矩形,正方形,例1,求证: 正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.,第一步:根据题意画出图形 第二步:写出已知 第三步：写出求证 第四步:进行证明,这是一道文字证明题,该怎么做?你会做吗?,已知:如图,四边形ABCD是正方形,对角线AC、BD相交于点O.,求证:ABO、

9、BCO、 CDO、 DAO是全等的等腰直角三角形.,证明: 四边形ABCD是正方形, AC=BD,ACBD,AO=BO=CO=DO. ABO、 BCO、 CDO、 DAO都是等腰直角三角形,并且 ABO BCO CDO DAO,分析:利用正方形的性质,对角线互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角.平分可以产生线段等量关系,垂直可以产生直角,于是可以得到四个全等的等腰直角三角形.,1.如图，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上，那么，BE和DE相等吗？为什么？,解：BE=DE. 因为 对角线AC所在的直线是正方形ABCD的对称轴，而点E在对称轴上，点B为点D关于AC的对称点， 所以 BE=

10、DE,练一练,解：四边形ABCD是正方形,AD=AB,DAE=BAE=45,又AE=AE,ADEABE(SAS),ED=EB,已知：如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，M、N在OB和OC上，且MNBC，连结DN、MC，试猜想DN与MC有什么关系？并证明你的猜想。,又MNBC OMN1 BCOONM45 OMON,1,2,证明： 四边形ABCD是正方形OCOD , COD=COB=90 1BCO45,COMDON(SAS),DNMC,H,3,解：DNMC DNMC,（2）由COMDON得2=3,又3+CMO=90,2+CMO=90,DHM=90,DNMC,例2,已知：如图，正方形ABCD中，

11、AC、BD相交于O，MNAB且MN分别交OA、OB于M、N，求证：BMCN。,证明：,OAOMOBON,OMON,OMN13ONM45,又MNAB,12345,OAOB AB=BC,四边形ABCD是正方形,即：AM=BN,ABMBCN,BM=CN,已知：正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是OB上的一点，DGAE于G，DG交OA于F 求证：OE=OF,证明： 四边形ABCD是正方形 AOE=DOF=90， AO=DO （正 方形的对角线垂直平分且相等） 又DGAE EAO+AEO=EDG+AEO=90 EAO=FDO AEO DFO OE=OF,直角三角形ABC中ACB =90，CD平分AC

12、B交AB于D，DEAC，DFAB。求证：四边形CEDF是正方形。,四边形ABCD是正方形（ ), DE=DF( ),DEAC， DFBC, CD平分ACB, 四边形ABCD为矩形( ),而ACB=90, DEC=90， DFC=90,证明： DEAC，DFAB,有三个角是 直角 的四边形是矩形,角平分线的定理,有一组邻边相等的矩形是正方形,例3,已知：如图(4)在正方形ABCD中，F为CD延长线上一点，CEAF于E，交AD于M，求证：MFD45,证明：,DM=DF,RtCDMRtADF(ASA),又CDAD，ADFMDC=Rt,12,CMDAME,ADCAEM90,CEAF 四边形ABCD是正

13、方形,MFD45,例4,1、已知：如图，在AB上取一点C，以AC、BC为正方形的一边在同一侧作正方形AEDC和BCFG连结AF、BD，延长BD交AF于H。求证：(1) ACFDCB (2) BHAF,练一练,2、已知：如图，ABC的外面作正方形ABDE和ACFG，连结BG、CE，交点为N。求证：CEAABG,证明：四边形ABDE和四边形ACFG是正方形。AEABAGAC1290又EAC1BAC90BACBAG2BAC90BAC EACBAG AECABG(SAS) CEAABG,3、在正方形中，点，分别在，上，且.四边形是正方形吗？为什么？,4、如图，点E、F在正方形ABCD的边BC、CD上，

14、BE=CF，探索图中AE与BF的关系。,5、如图，在正方形ABCD中，E在BC的延长线上，且CE=AC，AE交CD于F，则求AFC的度数。,6、在ABC中,AB=AC,D是BC的中点,DEAB, DFAC,垂足分别是E,F. 1)试说明:DE=DF 2)只添加一个条件,使四边形EDFA是正方形. 请你至少写出两种不同的添加方法.(不另外 添加辅助线,无需证明),如何设计花坛？ 在一块正方形的花坛上，欲修建两条直的小路，使得两条直的小路将花坛平均分成面积相等的四部分（不考虑道路的宽度），你有几种方法？（至少说出三种）,请你当设计师,课外拓展：,数一数图中正方形的个数，你发现了什么？,多,多,多,

15、（）个（）个（）个 （）个,第n个图中正方形有 个,3n-1,长见识,解：四边形ABCD是正方形 AB BC 2cm，ABC 90 正方形的四个角都是直角，四条边都相等,练习 1、已知：正方形的一条边长为2cm，求这个正方形 的周长、对角线长和正方形的面积。,边长AB2cm 周长C4AB8cm,练习 2、已知：正方形的一条对角线长为4cm,解：四边形ABCD是正方形 AB BC，ABC90 正方形的四个角都是直角，四条边都相等,1、正方形的面积等于边长的平方。 2、正方形的面积等于对角线的平方的一半。 3、正方形的周长等于边长的4倍。,在RtABC中，,求: 它的边长和面积。,练习 3、 AC

16、为正方形ABCD的对角线，E为AC上一点，且AB=AE， EFAC交BC于F. 请说明：EC=EF=FB,解： 四边形ABCD是正方形 B=900 , ACB=450 AEF=900 AB=AE ABFAFE(HL） BF=EF 又FEC=900, ECF=45 EFC=45,EC=EF（等角对等边） BF=EF=EC,练习 4、在正方形ABCD中，点P是对角线AC上一点，PEAB，PFBC，垂足分别是点E、F.求证：DP=EF,证明：,连接PB,又PEAB ， PFBC,四边形ABCD是正方形,ABC=90,AD=AB, DAP=BAP=45,PEB=PFB=90,四边形PECF是矩形,PB

17、=EF,又AP=AP,ADPABP(SAS),PD=PB,PD=EF,练习 5、已知：正方形ABCD对角线AC、BD相交于点O，且AB2cm，如图(2)。,求：AC的长及正方形的面积S。,E,F,G,矩形EFCG的周长。,练习 6、已知：如图矩形ABCD,对角线AC、BD相交于点O，AE平分BAD交BC于点E，连接OE，若EAO=150，求BOE的度数。,练习 7、如图，正方形ABCD的边长为8， M在DC上，且DM=2，N是AC上一个动点，求DN+MN的最小值。,A,B,C,D,M,N,练习 8、已知，如图在ABC中，AB=AC，ADBC，垂足为点D，AN是ABC外角CAM的平分线，CEAN垂足为点E，,求证：四边形ADCE是矩形。,当ABC满足什么条件时，四边形 ADCE是正方形，说明理由。,练习 9、如图B、C、E是同一直线上的三个点，四边形ABCD与CEFG是正方形，连接BG、DE,（1）观察、猜想BG与DE之间的大小关系，并说明理由。,（2）正方形CEFG在绕点C旋转过程中，BG与DE之间的关系是否仍然成立。,练习 10、如图，M为正方形ABCD边AB的中点，E是AB延长线上一点