最小的余数是1还是(2)

1、.最小的余数是1 还是 0？最小的余数是 1 是 0？ 个 你 哪个答案？当除数是 6，余数可以是几？你是填 0 5， 是 1 5？ 都涉及余数可不可以是 0 的 。教材中余数是 0 被 是没有余数， 1 被 是最小的余数。但 教材有不同的理解。 下面的文章我 得在所有的参考 料中 得是比 清楚明白的，推荐 同仁 参考。【 】浅 在整数除法中余数可以 零一、 困 教 的 不少小学数学教 我 一个 :“在整数除法中 ,余数可不可以 0?” 个 早有定 ,于是我不假思索地肯定作答 :“余数当然可以 0。”不料 于 一答案 ,他 并不同意 ,其理由如下 :第一 ,人教版 教育 程 准 教科 数学 ,

2、从一年 上册到六年 下册 ,里面均无“余数可以 0”的表述。第二 , 代 典 (修 本 )(商 印 , 1996 年 )第 1553 “余数”一 的解 :“整数除法中 ,被除数未被除数整除所剩的大于 0 而小于除数的部分。如 276=43。即不完全商是 4,余数是 3。” 就表明余数不能 0。在数学 本中找不到“余数可以 0” 的 述 ,而在 典中却找到了“余数不能 0”的 据 , 怪 他 我的答案持 疑 度。面 一个困 小学数学界同仁的 , 怎 来正本清源呢 ?我仔 地 了人教版全套小学数学 本,确 没找到“余数可以 0”的表述 ,只在三年 下册第26 六第 3 的指令性 言.中 ,发现了三

3、处“余数为 0”的表述。我知道 ,这样的表述既不是出现在正文中 ,又没有说明道理 ,不足以成为论据。课本中没有 ,看来只有通过合理思辨和相关考证来达到为小学同仁解惑之目的了。二、解惑所需的思辨1、要用对立统一的观点看待0众所周知 ,当盘子中连一个桃子都没有时 ,我们就说这盘中桃子的个数为 0。从这个意义上讲 ,0 是空集的基数 ,0 表示“没有”。然而 ,0 又是一个确定的数 ,它是自然数列的起始数 ,它既不是正数 ,也不是负数 ,它是唯一的中性数。从这个意义上讲 ,0 又表示“有”。这一点不难理解。比方说 ,小明在黑板上写了一个“ 0”,你总不能说他什么都没写吧!再比方说 ,某地某时的气温为

4、 0 摄氏度 ,你总不能说该地该时没有温度吧 ! 所以 ,我们应该用对立统一的辩证观点看待0,懂得 0 既可表示“无” ,又可表示“有”。用这一观点考察整数除法,我们不难发现 ,当155 时 ,得到整数商 3,既可以说 “没有余数” ,也可以说“余数为 0”,这两种说法是完全等价的,因而都是正确的。2、要用发展变化的观点看待概念间的关系人们对数学概念的认识并非一成不变的 ,而是处于不断发展变化之中的。例如 ,“整数”与“分数”最初是两个并列的概念 ,它们相互排斥 ,泾渭分明 ,不容混淆。然而 ,出于数学自身发展的需要 ,后来 ,人们 又 把 整 数 看 做 是 分 母 为 1, 分 子 为 该

5、 整 数 的 假 分 数 , 如3=3/1,65=65/1。这样一来 ,“分数”的外延就扩大了 ,“整数”与“分数”的关系也由并列关系转变为包含关系。 “整数”成了“分数”的.特例 ,整数集成了分数集的真子集。原先,整数集与分数集之并集才是有理数集 ,后来 , 种广 的分数集 上就是有理数集了。与此 似 ,人 研究整数除法 ,先研究被除数能被除数整除的情形 ,如 155,正好得到整数商 3, 作 155=3。后来才研究有余数的情形 ,如 165,得到不完全商 3 后 余 1, 作 165=31。起初“,整除”与“有余数的除法”也是并列而互斥的概念 ,前者没有余数 ,后者有余数,互不相容。后来

6、, 了研究的方便 ,人 干脆把“有余数的除法”的外延 大 , 它把原先的两个概念一并囊括。因 很容易 到 :只要把“整除” 的“没有余数”看做“余数 0”即可。 一来 ,“整除”就成了“有余数的除法”的特例 ,“整除”与“有余数的除法”也就 理成章地由 立 成 一 ,二者 一于广 的“有余数的除法”之中。3、“余数 0”的 法有据可 事 上 ,“余数 0”的提法早已被数学界 可。小学数学教 手册 (人民教育出版社 ,1982 年)第 49 有如下表述 :“判定一个整数能不能被另一个正整数整除 ,只需 行除法运算即可。如果所得的余数 0,就是整除的情况 ;如果所得的余数不 0,就是不能整除的情况

7、。例如:a=91,b=13。ab=9113,商 7 余 0。 表明 91=137。即 91 能被 13 整除。a=97,b=19。9719 商 5 余 2。所以 97 不能被 19 整除。.一般地 , 于整数 a 和正整数 b,如果 行除法 ab 得商 q,余数 r,就有 a=bq+r。其中 0r数学手册 (人民教育出版社 ,1979 年)第 1057 “数 ”的“ 相除法”中 ,有如下表述 :“每一个整数 a 可以唯一地通 正整数 b 表示 a=bq+r, 0r 上述不等式 0r 得注意的是 ,“ 相除法”又称“欧几里得算法” ,我国宋代数学家秦九韶早在公元 1247 年即在其著作数 九章中

8、 , 一算法 行 卓有成效的研究。数学手册 (人民教育出版社 ,1979 年)第 1066 “数 ”的“同余式”中 ,有如下表述 :“ 以 m 模 , 可将全体整数分 m 个 ,同 的数都同余 ,不同 的数都不同余 ,称 的 同余 ,每 中各取一数 代表 ,例如 :0,1,2,m-1 构成一个完全剩余 。 ”由此易知 ,在以 0 代表的 个剩余 中 ,每个数除以 m,所得的余数均 0。也就是 ,此 数中的每一个都是 m 的倍数。事 上 ,我 不 从剩余 的理 中,看到了 “余数 0”的 可 , 可以运用剩余 的理 和“抽 原理”来解答一 有关整除性的 目。 有 目并 出解答的数学 籍比比皆是

9、,下面 一例。求 :在任意四个整数中 ,必有 的两个数 ,它 的差能被 3 整除。 明 :因 任何整数除以 3,所得余数只可能是 0,1,2 三种。也就是说,所有整数按其除以 3 所得余数来分 ,可分 余数分 0,1,2 的三个.剩余类。把每个剩余类都看做一个抽屉 ,三个剩余类就是三个抽屉。根据“抽屉原理” ,把四个整数放进三个抽屉 ,至少有一个抽屉里会有两个整数。这两个整数既属同一个剩余类 ,它们除以 3 所得的余数必然相同 ,故其差除以 3 所得的余数必为 0,也就是说 ,这个差必能被 3 整除。三、教材修改的建议综上所述 ,在整数除法中 ,余数的确是可以为 0 的。但在现行的人教版小学数

10、学教材中 ,对此却完全不予涉及 ,遂令在教学中起主导作用的教师迷茫不解 ,实在没有道理。由此观之 ,教材必须修改。1、教材修改的重要意义有利于学生认识 0 的双重意义 ,知道 0 既可表示“无”,又可表示“有”。使用修改后的教材教学 ,能让学生初步感知对立统一的辩证思想。有利于学生用发展变化的辩证唯物主义观点认识概念间的关系 , 知道当学习了 “有余数的除法” 后,原来的“整除”(包括“表内除法” ) 可以看做是“有余数的除法”的特例 ,由此理解“特殊”与“一般”的关系。有利于学生后续的数学学习。2、教材修改的具体意见 要明确指出“没有余数”就是“余数为0”。人教版小学数学三年级上册第四单元“

11、有余数的除法”第50 页例题 1 为:“搬 15 盆花布置会场 ,每组摆 5 盆,可以摆几组 ?”解答此题.的横式 155=3(组)。接着 , 本上 列出了 式。 道例 然起着承上启下的作用:既承接二年 下册的“表内除法” ,又由此介 除法 式 , “有余数的除法”的教学作 。第51 例 2 是:“一共有 23 盆花 ,每 5 盆,最多可以 4 组, 多 3盆。” 是“有余数的除法”的首个例 。解答 , 本上先列出横式 :235=4(组)3(盆)。再在横式下方列出 式,并用虚 将两个式子中的 3 接 , 上“余数”二字。 本上述 排 具匠心,但 作点 充。建 在 两道例 后面 ,不失 机地 排

12、一段 “ 0”的 的文字 , 学生懂得 :“0” 然表示“没有” ,但它同 又是一个确定的数 ,从 个意 上 ,“0” 也表示“有”。 接着 , 要引 学生 两道例 的 式 行 察和比 , 例 1 式中最下面的“ 0”与例 2 式最下面的“ 3” 于相同的位置 ,“3”既表示余数 ,“0”也可看成是余数。 去我 说 155 恰好等于 3,“没有余数” , 在我 也可 155,商 3,“余数 0”。相信 理 ,学生能在 松愉快中接受 唯物主 思想的启蒙教育。要明确指出除数 a 时,共有 a 种不同的余数 :0,1,2,a-1。三年 上册第 52 例 3 为:“如果上例中一共有 16 盆花 ,可以

13、 几组?多几盆 ?如果是 17 盆,18 盆,24 盆,25 盆呢 ?” 本上列出了一 式子 :155=3(组)165=3(组)1(盆).175=3(组)2(盆)185=3(组)3(盆)195=3(组)4(盆)205=(组)215= (组) (盆)225= (组) (盆)235=245=255=在 式子的右 ,提了一个 :“ 察余数和除数 ,你 了什么?”旨在引 学生 “余数小于除数”的 。此 得不 , 无 大改。关 是要增加一段文字 ,要告 学生 :“155=3(组)”也可写作“ 155=3(组 ) 0(盆 )”。 ,展 在学生面前的余数就有 0,1,2,3,4 五种 ,就不会由于余数 0

14、的 匿 ,而使学生 “一个整数除以 5,只有 1,2,3,4 四种余数”了。到四年 学 了“用字母表示数”后 , 本 当用更具概括性的 语 言告 诉 学 生 : 在整数除法中 , 如 果除数是 a,则 余数只能 是0,1,2,a-1,一共有 a 种。当今 代 ,数学不 作 工具 , 着越来越重要的作用 ,而且 ,数学作 一种文化 ,也日益深入人心。近年来 ,人 0 的双重意 的 越来越到位了。 不 ,没有距离被称作“零距离” ;不收关税被称作“零关税”。把没有 差称作“零 差” ;把没有 称 “零 ” 。.而像“零增长” “零收益” “零亏损” “零排放” “零损耗” “零学费” “零片酬”“零首付”“零月租”“零利息”之类的提法早已见诸各媒体。随着时间的推移 ,像这类以“零”为模式的词汇还在不断地诞生。前些时候 ,美国国务卿希拉里克林顿由于不满下属的荒唐行为 ,还首创了“零忍耐”一词 ,令人颇感新鲜。“0”本是数学中的元素 ,在数学的整数除法中 ,又实实在在地存在着余数为 0 的现象