专题：抽象函数的单调性与奇偶性的证明学生版

1、最新 料推荐抽象函数单调性与奇偶性特殊模型抽象函数正比例函数 f(x)=kx(k 0)f(x+y)=f(x)+f(y)幂函数f(x)=xnf(xy)=f(x)f(y)或 f ( x )f ( x ) yf ( y )指数函数f(x)=a x(a0且 a1)f(x+y)=f(x)f(y) 或 f ( xy )f ( x )f ( y )对数函数f(x)=log ax (a0 且 a1)f(xy)=f(x)+f(y) x或 f ( ) f ( x ) f ( y )y1.已知 f ( xy)f ( xy)2 f ( x) f ( y) ,对一切实数 x 、 y 都成立，且f (0)0,求证 f (

2、x) 为偶函数。2.奇函数 f (x) 在定义域（ -1 ， 1）内递减，求满足f (1m)f (1m2 )0 的实数 m 的取值范围。3.如果 f ( x) = ax 2bxc (a0) 对任意的 t 有 f (2t)f 2t ) ,比较 f (1)、 f (2)、 f (4) 的大小1最新 料推荐4. 已知函数 f （ x）对任意实数 x，y ，均有 f （xy） f （x） f（y），且当 x 0 时， f （x） 0 ，f（ 1 ） 2，求 f（x）在区间 2 ，1 上的值域。5. 已知函数 f （ x）对任意，满足条件 f （x） f （y ） 2 + f （x y），且当 x 0

3、时， f （x）2 ，f（ 3 ） 5，求不等式的解。6.设函数 f（ x）的定义域是（，），满足条件：存在，使得，对任何 x 和y，成立。求：（1 ）f（ 0 ）； （2）对任意值 x，判断 f （x）值的正负。7.是否存在函数 f （ x），使下列三个条件：f（x） 0 ，x N ；f（ 2） 4 。同时成立？若存在，求出f（ x）的解析式，如不存在，说明理由。2最新 料推荐8.设 f （x）是定义在（ 0，）上的单调增函数，满足，求：（1）f（ 1 ）；（2）若 f（x ） f（x8）2，求 x 的取值范围。9.设函数 y f（ x）的反函数是 y g （ x）。如果 f（ ab ） f

4、 （ a） f（ b ），那么 g （ a b） g （a）g（b ）是否正确，试说明理由。10. 己知函数 f（x ）的定义域关于原点对称，且满足以下三条件：当是定义域中的数时，有； f（ a） 1 （a0，a 是定义域中的一个数）；当 0 x 2a 时， f （x） 0。试问：（ 1 ）f（ x）的奇偶性如何？说明理由。（2 ）在（ 0， 4a）上 ,f （x）的单调性如何？说明理由。3最新 料推荐11. 已知函数 f（x ）对任意实数 x、y 都有 f （xy） f （ x）f（y），且 f （ 1） 1 ，f （27 ） 9 ，当时，。（1）判断 f（ x）的奇偶性；（2）判断 f（

5、x）在 0 ，）上的单调性，并给出证明；（3）若，求 a 的取值范围。12. 设 f(x) 定义于实数集上，当时，且对于任意实数x、y ，有，求证：在 R 上为增函数。13. 已知函数对任意不等于零的实数都有，试判断函数f(x) 的奇偶性。4最新 料推荐14. 定义在 R 上的函数 f(x) 满足：对任意实数 m ，n ，总有，且当 x0 时，0f(x)0 时 f(x)0 时，f(x)1, 且对于任意实数x 、y，有 f(x+y)=f(x)f(y)，求证： f(x)在 R 上为增函数。5最新 料推荐17. 已知偶函数 f(x)的定义域是 x0 的一切实数，对定义域内的任意x1 ,x2 都有 f

6、 ( x1 x2 )f ( x1 )f ( x2 ) ，且当 x1 时 f ( x)0, f (2)1 ，（ 1 ）f(x)在(0,+ )上是增函数；（ 2 ）解不等式 f (2 x21)218. 已知函数 f(x)的定义域为 R，且对 m 、n R,恒有 f(m + n)= f(m )+ f(n )1,且 f( 1 )=0, 当 x 1 时，22f(x)0. 求证： f(x)是单调递增函数；19. 定义在 R+ 上的函数 f(x) 满足 : 对任意实数 m,f(x m)=mf(x);f(2)=1.(1)求证 :f(xy)=f(x)+f(y)对任意正数 x,y 都成立 ;(2)证明 f(x)

7、是 R+ 上的单调增函数 ;(3)若 f(x)+f(x-3) 2,求 x 的取值范围 .6最新 料推荐20. 已知函数 f (x)( xR， x0) 对任意不等于零的实数x1、 x2 都有 f (x1x2 )f ( x1 )f ( x2 ) ，试判断函数 f （x）的奇偶性。21. 已知函数 f(x) 的定义域关于原点对称且满足 1 f ( x y)f (x)f ( y) 1 ，（ 2）存在正常数 a，使 f(a)=1.f ( y)f ( x)求证： f(x) 是奇函数。22. 定义在 R 上的单调函数f(x)满足 f(3)= log 2 3 且对任意 x ，yR 都有 f(x+ y)= f

8、(x)+ f(y)(1)求证 f (x)为奇函数；(2)若 f(k 3x )+ f(3 x -9 x -2) 0 对任意 xR 恒成立，求实数k 的取值范围7最新 料推荐23. 已知 f(x) 是定义在 R 上的不恒为零的函数，且对于任意的函数a,b 都满足 f(ab)=af(b)+bf(a).(1)求 f(0) ，f(1) 的值；(2) 判断 f(x) 的奇偶性 ,并证明你的结论 ;24. 定义域为 R的函数 f(x) 满足：对于任意的实数x，y 都有 f(x+y)=f(x)+f(y)成立，且当 x0 时f(x) 0恒成立 .(1)判断函数 f(x) 的奇偶性，并证明你的结论；(2) 证明 f(x