人教A高中数学必修四课件25平面向量应用举例2

1、2.5 平面向量应用举例 2.5.1 平面几何中的向量方法,由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景,平面几何图形的许多性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此，可用向量方法解决平面几何中的一些问题，下面我们通过几个具体实例，说明向量方法在平面几何中的运用.,1.能运用向量的知识解决一些简单的平面解析几何问题. 2.利用数量积解决长度、角度、垂直等问题. 3.建立直角坐标系利用向量坐标运算解决长度、角度、垂直等问题.(重点、难点）,1.长方形对角线的长度与两条邻边长度之间有何关系？,提示：对角线长度的平方=两邻边的平方和.,平行四边形有类似的数

2、量关系吗？,探究一：（长度问题）,思考1：如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=2，AD=1，BD=2，那么对角线AC的长是否确定？,提示：确定,思考2:在平行四边形ABCD中，设向量 则向量 等于什么？向量 等于什么？,提示:,提示:,【即时训练】,例1.平行四边形是表示向量加法与减法的几何模 型，如图， 你能发现平行 四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系 吗？,A,注意这种求模的方法,平行四边形两条对角线长的平方和等于两条邻边长的平方和的两倍.,如果不用向量方法，你能证明上述结论吗？,（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题. （

3、2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题. （3）把运算结果“翻译”成几何元素.,用向量方法解决平面几何问题的“三步法”：,【提升总结】,【变式练习】,例2.如图，ABCD中，点E，F分别是AD，DC边的中点，BE，BF分别与AC交于R，T两点，你能发现AR，RT，TC之间的关系吗？,A,B,D,E,F,R,T,C,猜想：AR=RT=TC,由于 与 共线，故设 因为,又因为 共线， 所以设,因为 所以,利用待定系数法，结合向量共线定理和平面向量基本定理，将问题转化为求m，n的值，是处理线段长度关系的一种常用手段.,提升总结,【变式练习】,例3.若正方形OABC的边长为1，点

4、D，E分别为AB， BC的中点，试求,A,B,C,O,解：以O为坐标原点，以OA，OC所在的直线为坐标轴建立如图所示的直角坐标系，,分析：建立坐标系，利用向量的坐标运算求夹角.,探究二：（角度问题）,E,D,建立适当的坐标系，利用向量运算的坐标形式，可使解题思路明确，过程简洁.,提升总结,如图所示，已知O，AB为直径，C为O上任意一点.求证ACB=90.,分析：要证ACB=90，只需证向量 ， 即,【变式练习】,证明：设 则 由此可得：,即 ，所以ACB=90.,（r是圆的半径）.,B,1.用向量方法证明几何问题时,首先选取恰当的基底,用来表示待研究的向量,在此基础上进行运算,进而解决问题.,2.要掌握向量的常用知识：共线；垂直； 模；夹角；向量相等.,用向量方法解决平面几何问题的三个步骤,建立平面几何与向量的联系，用向量表示问 题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化 为向量问题,通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距