第1章 1.5-1.8.pdf

1、1.5 信号的分解 为了便于研究信号的传输和处理问题，往往将信号为了便于研究信号的传输和处理问题，往往将信号 分解为一些简单分解为一些简单( (基本基本) )的信号之和，分解角度不同，的信号之和，分解角度不同， 可以分解为不同的分量可以分解为不同的分量 直流分量与交流分量直流分量与交流分量 偶分量与奇分量偶分量与奇分量 脉冲分量脉冲分量 实部分量与虚部分量实部分量与虚部分量 正交函数分量正交函数分量 利用分形理论描述信号利用分形理论描述信号 )()()( DA tftftf 平均值。平均值。：信号的直流分量，即：信号的直流分量，即tfD Tt t ttf T tf 0 0 d)( 1 )( D

2、 信号的平均功率信号的平均功率 = = 信号的直流功率信号的直流功率 + + 交流功率交流功率 )(tf EE O ttt )( A tf)( D tf OO ttf T tfttftf T ttf T P Tt t Tt t Tt t d)( 1 )(d)()( 1 d)( 10 0 0 0 0 0 2 A 2 D 2 AD 2 一直流分量与交流分量一直流分量与交流分量 对任何对任何实实信号而言：信号而言： 信号的平均功率信号的平均功率 = = 偶分量功率偶分量功率 + + 奇分量功率奇分量功率 odd :oeven :e : )( : )( )()()( ooee o e oe tftft

3、ftf tf tf tftftf 奇分量奇分量 偶分量偶分量 )()( 2 1 )( e tftftf )()( 2 1 )( o tftftf 二偶分量与奇分量二偶分量与奇分量 O t )(tf O t )( tf O t )( e tf O t )( o tf 例例 求求f(t)的奇分量和偶分量的奇分量和偶分量 tf t f O , t当当 , f脉高：脉高： , 脉宽：脉宽： 1 1矩形窄脉冲序列矩形窄脉冲序列 此窄脉冲可表示为此窄脉冲可表示为 )()( tutuf )()( tutu存在区间：存在区间： 三脉冲分量三脉冲分量 出现在不同时刻的，出现在不同时刻的， 不同强度的冲激函不同强

4、度的冲激函 数的和。数的和。 叠加叠加可表示为许多窄脉冲的可表示为许多窄脉冲的到到从从)(,tf ）tutu f ()( )( ）tutuftf()()()( d)()()( tftf所以所以 0 令令 t t tututu d )(d()( lim 0 ） ,d 2 2连续阶跃信号之和连续阶跃信号之和 0 11 1 1 d)( d )(d )()0()(tttu t tf tuftf 将信号分解为冲激信号叠加的方法应用很广将信号分解为冲激信号叠加的方法应用很广， 后面的卷积积分中将用到后面的卷积积分中将用到，可利用卷积积分求系统可利用卷积积分求系统 的零状态响应的零状态响应。 tf 1 t

5、t1 t 0f 11 ttf 1 tf O 瞬时值为瞬时值为复数复数的信号可分解为实虚部两部分之和的信号可分解为实虚部两部分之和。 即即 实际中产生的信号为实信号实际中产生的信号为实信号，可以借助于复信号来可以借助于复信号来 研究实信号研究实信号。 共轭复函数共轭复函数 )(j)()( ir tftftf )(j)()( ir * tftftf )()( 2 1 )( * r tftftf )()( 2 1 )(j * i tftftf 四实部分量与虚部分量四实部分量与虚部分量 如果用正交函数集来表示一个信号，那么，组成如果用正交函数集来表示一个信号，那么，组成 信号的各分量就是相互正交的。把

6、信号分解为正交函信号的各分量就是相互正交的。把信号分解为正交函 数分量的研究方法在信号与系统理论中占有重要地位，数分量的研究方法在信号与系统理论中占有重要地位， 这将是本课程讨论的主要课题。这将是本课程讨论的主要课题。 我们将在第三章中开始学习。我们将在第三章中开始学习。 五正交函数分量五正交函数分量 分形几何理论简称分形理论或分数维理论；分形几何理论简称分形理论或分数维理论； 创始人为创始人为B.B.Mandelbrot; 分形是“其部分与整体有形似性的体系”；分形是“其部分与整体有形似性的体系”； 在信号传输与处理领域应用分形技术的实例表现在在信号传输与处理领域应用分形技术的实例表现在 以

7、下几个方面：图像数据压缩、语音合成、地震信以下几个方面：图像数据压缩、语音合成、地震信 号或石油探井信号分析、声纳或雷达信号检测、通号或石油探井信号分析、声纳或雷达信号检测、通 信网业务流量描述等。这些信号的共同特点都是具信网业务流量描述等。这些信号的共同特点都是具 有一定的自相似性，借助分性理论可提取信号特征，有一定的自相似性，借助分性理论可提取信号特征， 并利用一定的数学迭代方法大大简化信号的描述，并利用一定的数学迭代方法大大简化信号的描述， 或自动生成某些具有自相似特征的信号。或自动生成某些具有自相似特征的信号。 可浏览网站： 六利用分六利用分形（fractal）理论描述信号 1.6 系

8、统模型及其分类 描述系统的基本单元方框图描述系统的基本单元方框图 系统的定义和表示系统的定义和表示 系统的分类系统的分类 1.1.加法器加法器 2.2.乘法器乘法器 3.3.标量乘法器（数乘器，比例器）标量乘法器（数乘器，比例器） 4.4.微分器微分器 5.5.积分器积分器 6.6.延时器延时器 一信号的时域运算（基本元件一信号的时域运算（基本元件） 3.标量乘法器（数乘器，比例器）标量乘法器（数乘器，比例器） te tr a a )()(taetr 2.乘法器乘法器 te1 te2 tr tetetr 21 1.加法器加法器 te1 te2 tr tetetr 21 te1 te2 tr 注

9、意注意: : 与公式中的卷积符号相区别，没有卷积器。与公式中的卷积符号相区别，没有卷积器。 基本元件基本元件1 1 4.微分器微分器 te tr d d t te tr d )(d t ttetrd)()( 5.积分器积分器 te tr 6.延时器延时器 te tr te tr T tetr 基本元件基本元件2 2 例例 请用积分器画出如下微分方程所代表的系统请用积分器画出如下微分方程所代表的系统 的系统框图。的系统框图。 )( d )(d )(2 d )(d 3 d )(d 2 2 te t te tr t tr t tr )( d )(d )(2 d )(d 3 d )(d 2 2 te

10、t te tr t tr t tr 方程左端只保留输出的最高阶导数项方程左端只保留输出的最高阶导数项 积分积分 n=2 次，使方程左端只剩下次，使方程左端只剩下r(t) 项项 ttettettrttrtrd)(d)(d)(2d)(3)( 系统框图如下页：系统框图如下页： )(tr 3 2 )(te 系统框图系统框图 系统：系统：具有特定功能的总体，可以看作信号的变换具有特定功能的总体，可以看作信号的变换 器、处理器。器、处理器。 系统模型：系统模型：系统物理特性的数学抽象。系统物理特性的数学抽象。 系统的表示：系统的表示： 数学表达式：数学表达式：系统物理特性的数学抽象系统物理特性的数学抽象。

11、 系统图：系统图：形象地表示其功能。形象地表示其功能。 二系统的定义和表示二系统的定义和表示 混合系统混合系统 程程离散时间系统：差分方离散时间系统：差分方 程程连续时间系统：微分方连续时间系统：微分方 ：微分方程或差分方程：微分方程或差分方程动态系统（记忆系统）动态系统（记忆系统） ）：代数方程）：代数方程即时系统（非记忆系统即时系统（非记忆系统 ),( : )( : zyxt t 偏微分方程偏微分方程分布参数系统分布参数系统 常微分方程常微分方程集总参数系统集总参数系统 三系统的分类三系统的分类 非因果系统非因果系统 因果系统因果系统 重点研究重点研究: 确定性信号作用下的集总参数线性时不

12、变系统确定性信号作用下的集总参数线性时不变系统 。 不可逆系统不可逆系统 可逆系统可逆系统 系统系统 非时变非时变 时变时变 非线性非线性 线性线性 若系统在不同的激励信号作用下产生不同若系统在不同的激励信号作用下产生不同 的响应，则称此系统为可逆系统。的响应，则称此系统为可逆系统。 若系统在若系统在t0时刻的响应只与时刻的响应只与t = t0和和t t0时时 刻的输入有关，否则，即为非因果系统。刻的输入有关，否则，即为非因果系统。 1.7 线性时不变系统 线性系统与非线性系统线性系统与非线性系统 时变系统与时不变系统时变系统与时不变系统 线性时不变系统的微分特性线性时不变系统的微分特性 因果

13、系统与非因果系统因果系统与非因果系统 )()()()( )()( )()( 2121 22 11 trtrtete trte trte tkrtketrte 指具有线性特性的系统。指具有线性特性的系统。 线性系统线性系统： 线性线性:指均匀性，叠加性。指均匀性，叠加性。 叠加性：叠加性： 均匀性均匀性( (齐次性齐次性) )： 1.定义 一一线性系统与非线性系统线性系统与非线性系统 tete 2211 H trtr 2211 )()()()( 22112211 tttt rree H te2 tr 2 H )( 1 te tr 1 线性特性线性特性 先线性运算，再经系统先经系统，再线性运算先线

14、性运算，再经系统先经系统，再线性运算 若若 tfHCtfHCtfCtfCH 22112211 注意：注意：外加激励与系统非零状态单独处理外加激励与系统非零状态单独处理。 则系统则系统 是线性系统是线性系统,否则是非线性系统。否则是非线性系统。 H 1 C 2 C tf1 tf2 tfC 11 tfC 22 tfCtfCH 2211 H H tf1 tf2 tfH 1 tfH 2 1 C 2 C tfHC 11 tfHC 22 tfHCtfHC 2211 H 2.2. 判断方法判断方法 判断下述微分方程所对应的系统是否为线性系统判断下述微分方程所对应的系统是否为线性系统? 0 )(5)(10 d

15、 )(d ttetr t tr 分析：根据线性系统的定义，证明此系统是否具有分析：根据线性系统的定义，证明此系统是否具有 均匀性和叠加性。可以证明：均匀性和叠加性。可以证明： 所以所以此系统为此系统为非线性系统非线性系统。 请看下面证明过程请看下面证明过程 系统不满足均匀性系统不满足均匀性 系统不具有叠加性系统不具有叠加性 例例1 1 设信号设信号e(t)作用于系统，响应为作用于系统，响应为r(t) )1(0 )(5)(10 d )(d ttAetAr t tAr 原方程两端乘原方程两端乘A： )2(0 )(5)(10 d )(d ttAetr t tr A (1),(2)两式矛盾两式矛盾。故

16、此系统故此系统不满足均匀性不满足均匀性 当当Ae(t)作用于系统时，作用于系统时，若此系统具有线性若此系统具有线性，则则 证明均匀性证明均匀性 )4(0510 d d )3(0510 d d 22 2 11 1 ttetr t tr ttetr t tr ) 5 (0510 d d 212121 ttetetrtrtrtr t )6(01010 d d 212121 ttetetrtrtrtr t (5)、(6)式矛盾，该系统为式矛盾，该系统为不具有叠加性不具有叠加性 假设有两个输入信号假设有两个输入信号 分别激励系统，则由分别激励系统，则由 所给微分方程式分别有：所给微分方程式分别有： )(

17、)( 21 tete及及 当当 同时作用于系统时，若该系统为线性同时作用于系统时，若该系统为线性 系统，应有系统，应有 )()( 21 tete (3)+(4)得得 证明叠加性证明叠加性 一个系统一个系统，在零初始条件下在零初始条件下，其输出响应与输入信号其输出响应与输入信号 施加于系统的时间起点无关施加于系统的时间起点无关，称为非时变系统称为非时变系统，否则否则 称为时变系统称为时变系统。 认识认识: : 电路分析上看电路分析上看: :元件的参数值是否随时间而变元件的参数值是否随时间而变 从方程看从方程看: :系数是否随时间而变系数是否随时间而变 从输入输出关系看从输入输出关系看: :时不变

18、性时不变性 1.定义 二时变系统与时不变系统二时变系统与时不变系统 )(te )( 0 tte )(tr )( 0 ttr H )(te tt TOO )(tr t )( 0 tte O 0 tTt 0 t O )( 0 ttr 0 t 时不变性时不变性 先时移，再经系统先经系统，再时移先时移，再经系统先经系统，再时移 H tf tfH DE ty DE tf H tfH tf ty 若若 则系统则系统 是非时变系统是非时变系统, ,否则是时变系统否则是时变系统。 tytfH H 2.2. 判断方法判断方法 例例2 2 判断下列两个系统是否为非时变系统。判断下列两个系统是否为非时变系统。 1.

19、系统的作用是对输入信号作余弦运算系统的作用是对输入信号作余弦运算。 )()()1( 0 0 ttete t 时移时移 0 )(cos)( 011 tttetr 经过系统经过系统 )(cos)()2(tete 经过系统经过系统 所以所以此系统为时不变系统此系统为时不变系统。 trtr 1211 0cos ttetr 系统系统1 1： 0cos tttetr 系统系统2 2： 0 )(cos)( 012 0 tttetr t时移时移 )()()1( 0 0 ttete t 时移时移 0cos)()( 021 ttttetr 经过系统经过系统 ttetecos)()()2( 经过系统经过系统 0)c

20、os()()( 0022 0 tttttetr t 时移时移 此系统为时变系统此系统为时变系统。 )()( 2221 trtr 系统作用系统作用:输入信号乘输入信号乘cost 0cos tttetr系统系统2 2： 判断系统是否为线性非时变系统判断系统是否为线性非时变系统。 tftty 是否为线性系统？是否为线性系统？是否为时不变系统？是否为时不变系统？ 可见可见, ,先线性运算，再经系统先经系统，再线性先线性运算，再经系统先经系统，再线性 运算运算, ,所以此系统是线性系统。所以此系统是线性系统。 1 C 2 C tf1 tf2 tfC 11 tfC 22 tfCtfCt 2211 H H

21、tf1 tf2 tft 1 tft 2 1 C 2 C tftC 11 tftC 22 ttfCttfC 2211 H 例例3 3 H tf tft DE tft DE tf H tft tf 可见可见，时移时移、再经系统再经系统 经系统经系统、再时移再时移，所以所以 此系统是时变系统此系统是时变系统。 是否为时不变系统呢？是否为时不变系统呢？ 线性时不变系统满足微分特性线性时不变系统满足微分特性、积分特性积分特性 利用线性证明利用线性证明，可可推广推广至高阶至高阶。 系统系统 te tr 系统系统 t te d d t tr d d 系统系统 tte t d ttr t d 三线性时不变系统

22、的微分特性三线性时不变系统的微分特性 1. 定义定义 因果系统是指当且仅当输入信号因果系统是指当且仅当输入信号激励系统激励系统时时，才会出才会出 现输出现输出（响应响应）的系统的系统。也就是说也就是说，因果系统的输出因果系统的输出 （响应响应）不会出现在输入信号激励系统不会出现在输入信号激励系统以前的以前的时刻时刻。 系统的这种特性称为系统的这种特性称为因果特性因果特性。 符合因果性的系统称为因果系统符合因果性的系统称为因果系统(非超前系统非超前系统)。 输出不超前于输入输出不超前于输入 2.判断方法 四四. .因果系统与非因果系统因果系统与非因果系统 )()()(tutete 0)(, 0 tet相当于相当于 表示为：表示为： 非因果系统的概念与特性也有实际的意义，如信非因果系统的概念与特性也有实际的意义，如信 号的压缩、扩展，语音信号处理等。号的压缩、扩展，语音信号处理等。 若信号的自变量不是时间，如位移、距离、亮度若信号的自变量不是时间，如位移、距离、亮度 等为变量的物理系统中研究因果性显得不很重要。等为变量的物理系统中研究因果性显得不很重要。 t = 0接入系统