可测函数的构造

1、最新资料推荐3可测函数的构造已知可测集上的连续函数一定是可测函数 , 反之 , 可测函数是“基本上”（指去掉一个测度可 任意小 的某点集外）连续的函数 , 即下列定理：定理 1（ Lusin 定理） 设 f ( x) 是 E (不要求 mE) 上 a.e. 有限的可测函数 ,则对0,存在 闭子集 EE,使 f ( x) 在 E上是连续函数 , 且 m( EE ), 即在 E 上 a.e. 有限的可测函数是“基本上 连续”的函数。证明（ 1）设 f ( x) 是简单函数。n设 EEi , 各 Ei可测且互不相交 , f (x) ci , xEi 。i 10 ,由 Ei 可测 , 知存在闭子集Fi

2、Ei , 且 m( EiFi )。nn令 EFi , 则 E 为闭集 , 且 EE,i 1nnm(E E ) m(UEiU Fi )i 1i 1nnnm(U (EiFi )m(EiFi )ni 1i 1i 1( 由于 EiFi 互不相交 ,所以有限多个闭集之并仍为闭集) 。1最新资料推荐n对 x0 E U Fi ,i0 , 使得i 1x0Fi0 , f ( x0 ) ci0 。因为 Fi 互不相交 , 所以 x0UFi , 故i i 0x0C(U Fi ) （开集），i i0所以x0 的一个邻域 U ( x0 )C(Fi ), 故有ii0U ( x0 )(Fi ),ii0所以U (x0 ) E

3、U ( x0 ) Fi0 ，当 xU (x0 ) I E 时 ,f( )f(x0)ci00，xci0故 f (x) 在 E 上连续。（ 2）设 mE,f ( x) 为可测函数。由 f ( x) 可测知 , 存在一列简单函数n ( x), 使得f ( x)limn ( x) 。n由 mE及叶果洛夫定理知,0,一定存在 可测子集E0*E，使得n ( x) 一致收敛于f ( x) ,（在 E0* 上） , 且2最新资料推荐m( EE0* )。2对每个i(x),由 (1)知 ,闭子集 EiE0* ,使得i( x) 在 Ei上连续 ,且m(E0*Ei )2i 1。令 EEi , 则 E 闭， 且 E E

4、(E E0* ) U ( E0*E ) (画图 )i1m(EE )m( EE0* ) U (E0*E )m(E E0* ) m( E0*E )2m(U (E0*Ei )i 12m( E0*Ei)i 12i 1 2i 1。由 n ( x) 在 En 上连续 , 知n ( x) 在 E上连续。又n ( x) 在 E( E0* )上一致收敛于f (x) ,故 f (x) 在 E 上连续。(3) 设 mE, f ( x) 为可测函数，则E UEi ，i 1其中 Ei (i1,2,L ) 互不相交且 有界可测 。3最新资料推荐由 f (x) 在 E 上可测 , 故 f (x) 在 Ei 上可测。又 mE

5、i, 由（ 2）可知闭子集 E iEi , f (x) 在 E i 上连续，且m(EiE i )2i (i 1,2,L ）。令 EE i , 则i1m(E E ) m(UEiU E i )i 1i 1m(U( EiE i ) (因为 U EiUE iU( Ei E i ) )i 1i 1i 1i 1m( EiE i ),i 1且 E 为闭集（利用互不相交的闭集的并是闭集） 。下证 f ( x) 在 E 上连续。x0E , i , 使得 x0E i , 由 f ( x) 在 E i 上连续 , 知U 1( x0 ), 当x U 1 ( x0 ) I E i 时 , 有 f (x) f ( x0

6、)。又 UE l , E i 为互不相交的l i闭集，所以 x0C U E l , 因此又存在邻域 U 2 (x0 )C U E l 。令l il iU (x0 ) U 1( x0 ) I U 2 ( x0 ) ，4最新资料推荐则当 xU ( x0 ) I EU ( x0 ) I E iU 1 (x0 ) I E i 时，有f ( x)f (x0 )注 1 上述证明方法值得注意。 先考虑简单函数， 然后再往一般函数过渡，这在许多场合下是行之有效的方法。注 2鲁津定理使我们对可测函数的结构有了进一步的了解，它揭露了可测函数与连续函数的关系。在应用上通过它常常可以把有关的可测函数问题归结为连续函数

7、的问题。注 3有的著者用鲁津定理所反映的重要性质来定义可测函数, 事实上这两种定义是等价的 ,因为鲁津定理的逆命题也是成立的。再给出鲁津定理的另一种形式。定理2设 f ( x) 是 ER1 上 a.e.有限的可测函数 , 则对0,存在闭集 FE 及整个 R1 上的连续函数g( x) （ F 及 g( x) 依赖于）,使在 F 上 f (x) g( x) ,且 m( EF ), 此外还可要求sup g (x)sup f ( x) 及 infg (x) inf f ( x) 。R1FR1F证 明由 定 理 1,存 在 闭 集 FE , 使 f ( x) 在 F 上 连 续 且m(E F )。现在的

8、问题在于把闭集 F上的连续函数 延拓成 整个 R1 上的连续函数。因为 R1 F 为直线上的开集, 故R1FU(ai , bi ),i1所以令5最新资料推荐f (x),xF ,f (ai )f (bi )f (ai ) (xai ), x(ai ,bi ), ai ,bi有限 ,g( x)biaif (ai ),x(ai ,bi ), bi,f (bi ),x(ai ,bi ), ai,则 g(x) 符合要求。 ( 注意各 ( ai ,bi ) 的有限端点属于 F , 所以这里 f ( ai )和 f (bi ) 是有意义的。 )事实上 , 由 g( x) 作法 , 当 xF 时 , 有 g(

9、 x)f ( x) , 并且成立sup g( x)sup f (x) 及 infg( x) inf f ( x) 。R1FR1F下证 g( x) 是 R1 上的连续函数。显然CF （为开区间之并）中的点都是 g (x) 的连续点 ,下证 F 中的点也是 g( x) 的连续点 。任取 x0F ,0 , 由 f ( x) 在 F 上连续 , 必有0 , 使得当x (x0, x0)F 时 , 有f ( x)f ( x0 )。下面分两种情况证明g(x) 在 x0 点左连续。情况 1 ( x0, x0 )F注意到 x0F ，故x0 必是 CF 的某个构成区间(ai , bi ) 的右端点 ,又由于 g(

10、 x) 在 ( ai , bi ) 中是线性函数 , 所以 g( x) 在 x0 点左连续。6最新资料推荐情况 2 ( x0, x0 )F设 ?, x) F那么当?x ( x0, I F ( x0, x0) I F0x x, x0时 , 有g( x) f ( x),g (x0 )f ( x0 ) 。因此g( x) g( x0 )f ( x)f ( x0 ),（ 1）而 当x x, x0 I CF时,必 有CF的 构 成 区 间(ak , bk ) , 使 得?x (a, b )( x, x)。由于a , b x, x F ,由（1）式有kk? 0kk 都属于? 0g(ak )g( x0 ),g(bk )g( x0 )。因为 g( x) 的值介于 g( ak ) 与 g(bk ) 之间 , 因此g( x)g(