18.2.4菱形的判定

1、第十八章 平行四边形,18.2 特殊的平行四边形,第3课时 菱形的判定,1,课堂讲解,由对角线的位置关系判定菱形 由边的数量关系判定菱形,2,课时流程,逐点 导讲练,课堂小结,作业提升,(1)菱形具有平行四边形的一切性质；,(2)菱形的四条边都相等；,(3)菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角 线平分一组对角；,菱形的性质,1,知识点,由对角线的位置关系判定菱形,知1导,同学们想一想，我们在学习平行四边形的判定和矩形的判定时，我们首先想到的第一种方法是什么？那么类比着它们，菱形的第一种判定方法是什么？,根据定义得：一组邻边相等的平行四边形是菱形.,知1导,一组邻边相等,还有其它的方法吗？,

2、知1导,用一长一短两根细木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可以转动的十字，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形. 转动木条，这个四边形什么时候变成菱形?,猜想一：对角线互相垂直的平行四边形是菱形,知1导,证明：,判定一：对角线互相垂直的平行四形是菱形.,D,C,B,A,已知：在 ABCD中有对角线ACBD， 且相交于点O 求证： ABCD是菱形,四边形ABCD是平行四边形. BO=DO 又AO=AO，AOD=AOB AODAOB. AD=AB ABCD是菱形,O,归 纳,知1导,对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 提示：此方法包括两个条件 (1)是一个平行四边形； (2)两条对角线互相垂

3、直. 对角线互相垂直且平分的四边形是菱形.,例1 如图，ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且 AB=5，AO=4，BO=3.求证： ABCD 是菱形.,知1讲,AB=5，AO=4，BO=3， AB2=AO2+BO2. OAB是直角三角形， ACBD. ABCD 是菱形.,证明：,总 结,知1讲,证明一个四边形是菱形的方法： 若已知要证的四边形的对角线互相垂直，则要 考虑证明这个四边形是平行四边形,1,如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构 成的四边形ABCD是一个菱形吗？为什么？,知1练,四边形ABCD是一个菱形 理由：由题意易得 ABBCCDAD， 所以四边形ABCD是菱形,解：

4、,2,【2016海南】如图，四边形 ABCD 是轴对称图形，且直线 AC 是对称轴，BD与AC交于点O，ABCD，则下列结论： ACBD；AD BC； 四边形 ABCD 是菱形； ABDCDB. 其中正确的是_(只填写序号).,知1练,3,【2017泰安】如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是边CD上一点，且BCEC，CFBE交AB于点F，P是EB延长线上一点，下列结论：BE平分CBF；CF平分DCB；BCFB；PFPC，其中正确结论的个数为() A1 B2 C3 D4,知1练,D,2,知识点,由边的数量关系判定菱形,知2导,我们知道，菱形的四条边相等. 反过来，四条边 相等的四边形是菱形吗

5、?,思考,知2讲,例2 如图，在四边形ABCD中，ADBC，ABCD， 点E，F，G，H分别是AD，BD，BC，AC的中 点试说明：四边形EFGH是菱形,由于点E，F，G，H分别是AD，BD， BC，AC的中点，可知EH，HG， GF，FE分别是ACD，ABC，BCD，ABD 的中位线，又ABCD，EHHGGFFE， 根据“四条边相等的四边形是菱形”可得四边形 EFGH是菱形,导引：,知2讲,点E，H分别为AD，AC的中点， EH为ACD的中位线，EH CD. 同理可证：EF AB，FG CD，HG AB. ABCD， EHEFFGHG， 四边形EFGH是菱形,解：,总 结,知2讲,有较多线段

6、相等的条件时，我们可考虑通过证明 四条边相等来证明这个四边形是菱形注意：本例也 可以通过先证四边形EFGH是平行四边形，再证一组 邻边相等，只不过步骤复杂一点，读者不妨试一试,要证明一个四边形是菱形， 一般先证明它是平行四边 形，再证明它的一组邻边 相等或对角线互相垂直,知2讲,例3 如图，在ABC中，ACB90，AD平分BAC 交BC于点D，CHAB于点H，交AD于点F，DE AB于点E，那么四边形CDEF是菱形吗？说说你的 理由,导引：,四边形CDEF是菱形理由如下： CHAB，DEAB，CFDE，4590. ACB90，2390，DCAC. 又AD平分BAC，DEAB， 34，DCDE，

7、25. 又15，12. CFCD，CFDE，即CF DE. 四边形CDEF是平行四边形 又DCDE，四边形CDEF是菱形,知2讲,解：,总 结,知2讲,判定菱形的方法： 若用对角线进行判定：先证明四边形是平行四边形， 再证明对角线互相垂直，或直接证明四边形的对角 线互相垂直平分； 若用边进行判定：先证明四边形是平行四边形，再 证明一组邻边相等，或直接证明四边形的四条边都 相等,知2练,一个平行四边形的一条边长是9，两条对角线的长分别是12和 ，这是一个特殊的平行四边形吗？为什 么？求出它的面积.,1,这是一个特殊的平行四边形，是菱形 如图，在平行四边形ABCD中， AB9，BD12，AC 所以

8、OBOD6， OAOC,解：,知2练,因为62( )292，即OB2OA2AB2， 所以AOB是直角三角形， 所以AOBO，即ACBD， 所以平行四边形ABCD是菱形 S菱形ABCD ACBD 6 1236 .,2,如图，四边形ABCD的对角线AC，BD互相垂直，则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的是() ABABC BAC，BD互相平分 CACBD DABCD,知2练,B,3,【2017河南】如图，在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件不能判定ABCD是菱形的只有() AACBD BABBC CACBD D12,知2练,C,4,【中考遵义】如图，将ABCD沿AE翻折，使点B

9、恰好落在AD上的点F处，则下列结论不一定成立的是() AAFEF BABEF CAEAF DAFBE,知2练,C,5,【2017临沂】如图，在ABC中，点D是边BC上的点(与B，C两点不重合)，过点D作 DEAC，DFAB，分别交AB， AC于E，F两点，下列说法正确的 是() A若ADBC，则四边形AEDF是矩形 B若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形 C若BDCD，则四边形AEDF是菱形 D若AD平分BAC，则四边形AEDF是菱形,知2练,D,6,【2016雅安】如图，四边形ABCD的四边相等，且面积为120 cm2，对角线AC 24 cm，则四边形ABCD的周长为 () A52 cm B40 cm C39 cm D26 cm,知2练,A,7,如图，在ABC中，AD是角平分线，DEAC交AB于点E，DFAB交AC于点F.如果AE4 cm，那么四边形AEDF的周长为() A12 cm B16 cm C20 cm D22 cm,知2练,B,8,如图，分别以RtABC的斜边AB和直角边AC为边向ABC外作等边三角形ABD和等边三角形ACE，F为AB的中点，DE与AB