18.2.3菱形及其性质

1、第十八章 平行四边形,18.2 特殊的平行四边形,第3课时 菱形及其性质,1,课堂讲解,菱形的定义 菱形边的性质 菱形对角线的性质 菱形的对称性,2,课时流程,逐点 导讲练,课堂小结,作业提升,平行四边形的性质：,平行四边形的对边平行；,平行四边形的对边相等；,平行四边形的对角相等；,平行四边形的邻角互补；,平行四边形的对角线互相平分；,温故知新,1,知识点,菱形的定义,知1导,在平行四边形中，如果内角大小保持不变仅改变边的长度，能否得到一个特殊的平行四边形？,平行四边形,菱形,知1讲,有一组 的 叫做,邻边相等,平行四边形,A,D,C,B,四边形ABCD是平 行四边形 AB=BC 四边形AB

2、CD是菱形,菱形.,知1讲,感受生活,你能举出生活中你看到的菱形吗？,知1讲,生活,感受,例1 已知：如图，在ABC中，CD平分ACB交AB 于点D，DEAC交BC于点E，DFBC交AC于 点F. 四边形DECF是菱形吗？为什么？,知1讲,因为DEFC，DFEC，所 以四边形DECF为平行四边 形，再根据有一组邻边相等 的平行四边形是菱形求证即 可,导引：,知1讲,四边形DECF是菱形理由如下： DEFC，DFEC， 四边形DECF为平行四边形 由ACDE，知23. CD平分ACB， 12，13，DEEC， 平行四边形DECF为菱形(有一组邻边相等的平 行四边形是菱形),解：,总 结,知1讲,

3、本题考查了菱形的定义，菱形的定义也可 以作为菱形的判定方法,1,如图，若要使平行四边形ABCD成为菱形，则需 要添加的条件是() AABCD BADBC CABBC DACBD,知1练,C,2,如图，在ABC中，ABAC，D是BC上一点，DEAC交AB于点E，DFAB交AC于点F，要使四边形AEDF是菱形，只需添加的条件是() AADBC BBADCAD CBDDC DADBD,知1练,B,2,知识点,菱形的边的性质,知2导,菱形具有平行四边形的所有性质此外，菱形 还具有哪些特殊性质呢? 根据菱形的轴对称性，你 发现菱形的四条边具有什么大小关系?,问 题,菱形的四条边都相等.,知2讲,例2 如

4、图所示，菱形ABCD中，B60，AB2， E、F分别是BC、CD的中点，连接AE、EF、 AF，则AEF的周长为( ) A B C D3,在菱形ABCD中，因为B60，连接AC，则 ABC是等边三角形，又因为E分别是BC的中点， 所以AE垂直于BC，因此AE ，所以 AEF的周长为 ，故选B.,B,分析：,总 结,知2讲,在菱形中作辅助线经常连接对角线，构造 三角形来做题，能够迎刃而解.,1,边长为3 cm的菱形的周长是() A6 cm B9 cm C12 cm D15 cm,知2练,C,2,【中考兰州】如图，在菱形ABCD中，AB4，B60，AEBC，AFCD，垂足分别为E，F，连接EF，则

5、AEF的面积是() A4 B3 C2 D.,知2练,B,3,【2016重庆】如图，在边长为6的菱形ABCD中，DAB60，以点D为圆心，菱形的高DF为半径画弧，交AD于点E，交CD于点G，则图中阴影部分的面积是() A18 9 B183 C9 D18 3,知2练,A,4,【2016鄂州】如图，菱形ABCD的边AB8，B60，P是AB上一点，BP3，Q是CD边上一动点，将梯形APQD沿直线PQ折叠，A的对应点为A. 当CA的长度最小时，CQ的长为() A5 B7 C8 D.,知2练,B,3,知识点,菱形的对角线的性质,知3导,因为菱形是平行四边形，所以它具有平行四边形的 所有性质.由于它的一组邻

6、边相等，它是否具有一般平行 四边形不具有的一些特殊性质呢？,思考,菱形的两条对角线AC与BD之间具有什么位置关系?,归 纳,知3导,对于菱形，我们仍然从它的对角线等方面进行研 究.可以发现并证明(请你自己完成证明)，菱形还有以 下性质： 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线 平分一组对角.,知3导,问 题,菱形的面积如何计算呢？,菱形的面积有两种计算方法： 一种是底乘以高的积； 另一种是对角线乘积的一半.所以在求菱形的面积 时，要灵活运用使计算简单.,由于菱形的四条边都相等， 所以要求其周长就要先求 出其边长由菱形的性质 可知，其对角线互相垂直平分，因此可以在直角 三角形中利用勾股定理来

7、进行计算,知3讲,例3 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于 点O，BD12 cm，AC6 cm.求菱形的周长,导引：,四边形ABCD是菱形， ACBD，AO AC，BO BD. AC6 cm，BD12 cm， AO3 cm，BO6 cm. 在RtABO中，由勾股定理， 得AB 菱形的周长4AB,知3讲,解：,总 结,知3讲,菱形的对角线将菱形分成四个全等的直角三角 形，我们通常将菱形问题中求相关线段的长转化为 求直角三角形中相关线段的长，再利用勾股定理来 计算,知3讲,如图，菱形花坛ABCD的边长为20 m，ABC=60，沿着菱形的对角线修建了两条小 路AC和BD. 求两条小路的长

8、(结果保留小数点后 两位)和花坛的面积(结果保留小数点后一位).,例4,花坛ABCD的形状是菱形， ACBD，ABO = ABC = 60= 30. 在RtOAB中，AO = AB = 20=10， 花坛的两条小路长AC = 2AO =20 (m)， BD = 2BO=20 34. 64 (m). 花坛的面积S四边形ABCD=4SOAB = ACBD=200 346. 4 (m2).,知3讲,解：,总 结,知3讲,菱形的面积有三种计算方法： (1)将其看成平行四边形，用底与高的积来求； (2)对角线分得的四个全等直角三角形面积之和； (3)两条对角线乘积的一半 说明：读者可利用(1)(2)两种

9、方法试一试；注意应 用(3)这种方法时不要忽视“一半”,1,四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于 点O，且AB = 5，AO = 4. 求AC和BD的长.,知3练,如图所示，因为四边形ABCD是菱形， 所以ACBD，且AOCO，OBOD. 又因为AB5，AO4， 所以在RtAOB中，OB 所以BD2OB236，AC2AO248.,解：,2,已知菱形的两条对角线的长分别是6和8，求菱形的周长和面积.,知3练,如图，由已知得，在菱形ABCD中，AC8，BD6.所以OAOC4，OBOD3.又由题意知ACBD，所以在RtOAB中，AB 又因为ABBCCDAD，所以菱形的周长为ABBCCDAD4

10、AB4520， 菱形的面积为 ACBD 8624.,解：,3,【 2017南充】已知菱形的周长为4 ，两条对角线的和为6，则菱形的面积为() A2 B. C3 D4,知3练,D,4,【 2017河北】求证：菱形的两条对角线互相垂直 已知：如图，四边形ABCD是菱形，对 角线AC，BD交于点O. 求证：ACBD. 以下是排乱的证明过程： 又BODO；AOBD，即ACBD； 四边形ABCD是菱形；ABAD. 证明步骤正确的顺序是() A B C D,知3练,B,5,【2017长沙】如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6 cm，8 cm，则这个菱形的周长为() A5 cm B10 cm C

11、14 cm D20 cm,知3练,D,知4导,4,知识点,菱形的对称性,我们已经知道菱形是特殊的平行四边形，因此菱形是中心对称图形，想一想 菱形是不是轴对称图形？如果是轴对称图形，对称轴各几条？,菱形是轴对称图形，对称轴有两条.,归 纳,知4导,菱形是轴对称图形，它有两条对称轴. 对 称轴是分别经过两组对角顶点的两条直线,例5 如图，在菱形ABCD中，E，F分 别是CB，CD上的点，且BEDF. (1)求证：AEAF. (2)若B60，点E，F分 别是BC，CD的中点，求证：AEF为等边三角形.,知4讲,(1)要证AEAF，只需证AEBAFD，由BE DF及菱形的相关性质进行证明即可(2)如图

12、，要 证AEF为等边三角形，由AEAF知，只需证EAF 60即可，要证EAF60，只需证12 30即可，这可由菱形及等边三角形相关知识证出,导引：,知4讲,(1)四边形ABCD是菱形， ABAD，BD. 又BEDF， ABEADF，AEAF. (2)如图，连接AC. 四边形ABCD是菱形，ABBC. 又B60，ABC为等边三角形 BAC60. E为BC的中点，1 BAC30. 同理230，EAF60. 又AEAF，AEF为等边三角形,证明：,总 结,知4讲,菱形的每条对角线把菱形分成两个全等的等腰三 角形(特殊时为两个全等的等边三角形)，两条对角线 把菱形分成四个全等的直角三角形所以有关菱形的 一些证明与计算问题常常与特殊的三角形的有关问题 综合在一起,1,菱形是轴对称图形，其对称轴的条数为() A2条 B4条 C6条 D8条,知4练,A,2,【20