正交矩阵的性质和应用

1、目 录摘要（关键词）1Abstract（Key words） 11 前言12 正交矩阵的性质13 正交矩阵的相关命题34 正交矩阵的应用54.1 正交矩阵在解析几何上的应用6 4.2 正交矩阵在拓扑学和近似代数中的应用7 4.3 正交矩阵在物理学中的应用9 5 后记10参考文献10致谢11关于正交矩阵的性质及应用研究摘要:正交矩阵是数学中一类特殊的矩阵，同时它还具有一些非常特殊的性质和广泛的应用.目前也有很多关于正交矩阵文献，但是其中大部分都是研究关于正交矩阵性质，而关于正交矩阵的应用很少提及.本文的主要任务就是利用正交矩阵的定义，并以矩阵性质，行列式性质为主要工具，归纳正交矩阵的性质，并探讨

2、正交矩阵在解析几何、拓扑学、近似代数及物理学上的应用.关键词:正交矩阵；行列式；性质；应用Abstract: Orthogonal matrix is a kind of special matrix in mathematics. Meanwhile, it also has some very special properties and it is widely used. At present, there are many literatures about orthogonal matrix, but most of them are about the properties of

3、 orthogonal matrix. However, the application of orthogonal matrix is seldom mentioned. The main task of this paper is to induce the properties of orthogonal matrix and explore the applications of it in analytic geometry, topology, approximate algebra and physics by using the definition of orthogonal

4、 matrix and utilizing the properties of matrix and determinant as the main tool.Key words: Orthogonal matrix; determinant; property; application 1前言我们在讨论标准正交基的求法后，由于标准正交基在欧氏空间中占有特殊的地位，从而讨论一组标准正交基到另一组标准正交基的基变换公式。那么由一组标准正交基到另一组标准正交基的过渡矩阵是什么样的，它有什么性质呢？我们由上面的问题引出了关于正交矩阵的定义。正交矩阵是一种特殊的矩阵，因此对于正交矩阵的性质及分类的探讨

5、具有非常重要的意义。而这篇文章就是针对正交矩阵所具有的一系列性质，以及正交矩阵在数学领域，结构化学基础及力学领域的一系列应用。2正交矩阵的性质本文在探讨正交矩阵的性质时除特殊强调外都是指数域上的矩阵，用表示数域上阶方阵的集合，用表示单位矩阵，用、分别表示矩阵的行列式、逆矩阵（当可逆时）、伴随矩阵、转置矩阵.定义2.1 阶实矩阵A，若有 ，则称为正交矩阵. 等价定义1: 阶实矩阵A，若有 ，则称为正交矩阵； 等价定义2: 阶实矩阵A，若有 ，则称为正交矩阵； 等价定义3: 阶实矩阵A的n个行（列）向量是两两正交的单位向量 ，则称为正交矩阵.性质2.1 为正交矩阵，则其行列式的值为或.证明： 由正

6、交矩阵的定义知, 两边同取行列式，得，又由于，则， 即性质2.2 为正交矩阵，的任一行(列)乘以得到的矩阵仍为正交矩阵.证明： 设，其中是的单位正交向量组.显然也是的单位正交矩阵，则由正交矩阵的等价定义3知成立.性质2.3 为正交矩阵,的任两行(列)互换得到的矩阵仍为正交矩阵.证明： 设其中 是的单位正交向量组.显然也是的单位正交矩阵，则由正交矩阵的等价定义3知成立.性质2.4 为正交矩阵，则、也是正交矩阵.证明： 为正交矩阵, 为正交矩阵,为正交矩阵.性质2.5 为正交矩阵,则也是正交矩阵.证明： 为正交矩阵，则,由正交矩阵的等价定义2知，为正交矩阵. 性质2.6 、均为正交矩阵,则它们的积

7、也是正交矩阵.证明：、为正交矩阵，,由于,由正交矩阵的等价定义2知，为正交矩阵.性质2.7 、均为正交矩阵,则也是正交矩阵.证明：、为正交矩阵，,由于所以为正交矩阵.证明同上.性质2.8 、均为正交矩阵,则也是正交矩阵.证明：、为正交矩阵，,由于,所以为正交矩阵.证明同上.性质2.9 、均为正交矩阵,则也是正交矩阵.证明：、为正交矩阵，,由于所以为正交矩阵. 性质2.10 、均为正交矩阵,则也是正交矩阵.证明：、为正交矩阵，,由于所以为正交矩阵.性质2.11 、均为正交矩阵,则也是正交矩阵.证明：、为正交矩阵，,则有 ，则有结论为正交矩阵成立.性质2.12 为正交矩阵，是的特征值，则也是的特征

8、值.证明：为正交矩阵，有,那么有，则是的特征值，则也是的特征值.性质2.13 为正交矩阵,它的特征值为，并且属于的不同特征值的特征向量两两相互正交.证明：设为的特征值，是的属于特征值的特征向量，,两边同时取转置得，,所以,因为为正交矩阵，所以,而，则，即. 另外，设是的属于特征值的特征向量.由于，,可得,所以，又，因此可得，则，即与正交.性质2.14 为上（下）三角的正交矩阵，那么矩阵必为对角矩阵，且对线上的元素值为.证明：设为上三角的正交矩阵，那么必为上三角矩阵且，因此为对角矩阵.又由于，则矩阵的对角线上的元素为.性质2.15 为正交矩阵，那么矩阵的一切阶主子式之和与一切相应阶主子式之和或者

9、相等或互为相反数.性质2.16 为阶正交基础循环矩阵，那么矩阵的全部特征根为实根，并且是个次单根.证明：设为基础循环矩阵可知的特征多项式为,那么它的特征根为,故为次单根.3 正交矩阵的相关命题命题3.1 、为正交矩阵，如果为反对称矩阵，则也是正交矩阵，且.证明：由于、为正交矩阵，则,，为反对称矩阵，则 因此为正交矩阵.且.命题3.2 、为正交矩阵，且,则不可逆.证明：由于、为正交矩阵，则，,又因为 ，则,得,因此不可逆. 命题3.3 、为奇数阶的正交矩阵，且,则不可逆.证明：由于、为正交矩阵，则有，,，由于 、为奇数阶，则,即,因此不可逆.命题3.4 、为奇数阶的正交矩阵，则必不可逆.证明：由

10、于、为正交矩阵，则有，,由于、为奇数阶的矩阵，则,即必不可逆. 命题3.5 为正交矩阵，且，则不可逆，且为特征值. 证明：因为知，,由定理3.2.1知，,故不可逆.又，故,所以为特征值. 命题3.6 为奇数阶正交矩阵，且，则不可逆，且为特征值. 证明：因为知，,由定理3.2.1知，,故不可逆.又，故,所以为特征值. 命题3.7 为对称矩阵，为反对称矩阵，、可交换，可逆，则及都为正交矩阵. 证明：由题意知,则,因为可逆，那么也可逆.即,，则为正交矩阵.同理可证也为正交矩阵. 命题3.8 为反对称矩阵，则及都为正交矩阵,并且其特征值不为. 证明：为对称矩阵，为反对称矩阵，则由定理3.3知及都为正交

11、矩阵.由于反对称矩阵的特征值只为零或纯虚数，因此的特征值不是.则,因此可逆 ，由于及都为正交矩阵，令，那么有,可知可逆，且,因此不是的特征值.同理不是的特征值. 命题3.9 矩阵,矩阵为正交矩阵，且,则，. 证明：由于为正交矩阵，则，那么,知与相似，则有它们的迹相等.即,故. 命题3.10 矩阵为阶正交矩阵，并且的特征值不为，则一定存在反对称矩阵、使得 证明：由于的特征值不为，则,所以可逆.矩阵为阶正交矩阵，取,由于,那么可以得到和，因此可逆，从而；下证矩阵为反正交矩阵：，则有,则为反对称矩阵，则取，同理可证为反对称矩阵，且满足4 正交矩阵的应用在对正交矩阵的性质有一定的了解之后，下面我们开始

12、讨论正交矩阵在不同领域上的应用问题.4.1正交矩阵在解析几何上的应用 在讨论正交矩阵在解析几何上的应用时，我们先从正交矩阵的性质出发，转化到转化到正交变换，进而研究正交矩阵在解析几何上的简单应用. 由定义2.11等价定义3知正交矩阵的行（列）向量组为标准正交向量组.引入上的正交变换定义定义4.1 阶正交矩阵，对于,称到的线性变换:为上的正交变换.对于上的线性变换，将上的点映射为上的点，现将变换写成矩阵的形式，由于矩阵是正交矩阵，因此上述变换是正交变换.下面我们看一下这个变换在平面直角坐标系下的几何意义，如图所示：yrr xO在一个平面直角坐标系中,设点的极坐标为,由极坐标变换知由得 ，可知点的

13、极坐标是,这说明将向径按逆时针方向旋转角度，即可得到向径(如图所示)因此这个正交变换是平面上将向径绕坐标原点按逆时针方向旋转角的一个变换.因此同理，如果用左乘向量，那么可以表示成将这个向量按照逆时针的方向旋转角度.正交变换在解析几何里面有重要的性质：定理4.1 设为n阶正交矩阵,是中的任意向量，则有,即正交变换保持向量的内积不变性.证明：由于,而正交矩阵满足,因此,即正交变换保持向量的范数不变.证明：在中令,便得,两边开平方，既得.4.2正交矩阵在拓扑学和近似代数中的应用将所有的阶正交矩阵做成的集合记作,在近似代数和拓扑的角度来说，它将构成一拓扑群，我们将进一步证明它也是一个不连通的紧致群.首

14、先我们证明构成拓扑群.在证明构成拓扑群之前，我们先介绍一下有关的概念.定义4.2 设是任意集合,是的子集构成的子集族，并且满足下列条件：结合与空集属于； 中任意个集中的并集属于；中任意有穷个集的交集属于.那么称是上的一个拓扑，集合上定义了拓扑，称是一个拓扑空间.定义4.3 如果是一个拓扑空间，并赋予群的机构，使得群的在 乘法运算 ： ; 求逆运算 ： .上是连续的映射，那么就称为拓扑群. 根据定义4.3，我们将证明所有的阶正交矩阵做成的集合构成拓扑群的证明分成三步来实现：首先证明所有的阶正交矩阵做成的集合构成一个拓扑空间；其次证明所有的阶正交矩阵做成的集合构成一群；最后证明所有的阶正交矩阵做成

15、的集合构成一个拓扑群.证明：设表示全部具有实元素的阶矩阵所构成的集合，用表示的一个代表元素.我们把等同于维欧氏空间,可以理解为将对应成的点,是点集的子集族，则和空集都属于，中任意一个集合的并集都属于，中有穷个集合的交集也属于，可得构成一个拓扑空间.进而成为一拓扑空间.是所有实元素的阶正交矩，因此是的子集合，因此由的拓扑可以引出这个子集的拓扑，从而构成的一个子拓扑空间.对于任意的,因为矩阵的乘法满足结合率则有存在对于任意,有任意，存在,使得因此正交矩阵做成的集合对于乘法运算可构成群.对于中的拓扑空间的拓扑，定义矩阵的乘法运算：,设对于任意,乘积的第个元素是,现在具有乘积空间(个因子)的拓扑，现在

16、对于任意满足的,都通过投影映射,将和的乘积映射为它的第个元素，则为和的元素的多项式，因此连续，投影映射也是连续的.因此可以证明映射是连续的.由于具有的子空间拓扑，是的一个拓扑空间.由上面的讨论知，映射也是连续的. 中的可逆矩阵，定义求逆矩阵的映射,对于任意的;合成映射,可以理解为将任意映射为的第个元素，由于矩阵为正交矩阵，由性质2.1知可逆，那么有,因此,即,又因为的行列式和的代数余子式都是内的元素多项式，并且,所以是连续的，因此求逆映射为连续函数. 因此，又是一个拓扑空间，并构成群，对群的乘法与求逆运算都是拓扑空间上的连续映射，因此所有的阶正交矩阵做成的集合构成一个拓扑群.且称它为正交群.其

17、次证明是一个紧致群，证明之前给出有关的定义定理.定义4.4 设为拓扑群，的拓扑为维实（或复）解析流行，且映射,对于任意,为解析流行到上的解析映射，那么称为维群.定理4.2 欧氏空间内的有界闭集是紧致子集.证明：设是所有具有实元素的阶矩阵做成的集合， 对于任意的,对应的维欧氏空间的点,可作为维欧氏空间.为元素的解析函数，为中的开子集，由诱导拓扑可知为解析流形，并且对于矩阵的乘法和求逆运算都解析，故为维群.为的闭子集，根据诱导拓扑为子流行，为群.想要证明紧致，根据定理内容，只需要证明等同于时,相当于内的有界闭集.设任意的,由于,有 对任意的,定义映射 那么为系数各集合的交集 由于都是连续映射，因此

18、上述的集合都是闭集，则是的有界闭集，则的紧闭性得证.由于在拓扑结构上是紧闭的群，我们称它为紧群，因此是紧群.最后证是不连通的证明：设是全部行列式为的正交矩阵所构成的集合，为所有行列式为的正交矩阵所构成的集合.由于是连续映射，又由于单点集是的闭集,为的闭集，同样可证为闭集.由于, ,而和是闭集，根据不连通的定义可直接证明是不连通的，在这里我们就不做详细说明了.4.3正交矩阵在物理学中的应用 物理学中每一个刚体运动都对应着一个正交矩阵，三维空间中的一条曲线经过刚体运动，它的曲率和挠率一直是不变的，在物理学中称它们为运动不变量.下面我们来考察曲线在做刚体运动时的量.设曲线与曲线只差一个运动，从曲线到变换设为 ， 其中是三阶正交矩阵，且为常数.对两边分别求阶导数，可以得，从而有,又是正交矩阵，则有 成立.另一方面，由一阶到三阶导数可以构成矩阵，现取 可类似的讨论.因为 将 带入到 的右边，得到 对照以上三个式子可得： 由于正交矩阵的性质，,且 将上边三个式子左右两边分别平方之后相加得：将上式写成矢量函数