数学必修4平面向量综合练习题答案

1、数学必修4平面向量综合练习题一、选择题 【共12道小题】1、下列说法中正确的是( ) A.两个单位向量的数量积为1 B.若ab=ac且a0,则b=cC. D.若bc,则(a+c)b=ab参考答案与解析:解析：A中两向量的夹角不确定;B中若ab,ac,b与c反方向则不成立;C中应为;D中bcbc=0,所以(a+c)b=ab+cb=ab. 答案：D主要考察知识点:向量、向量的运算2、设e是单位向量,=2e,=-2e,|=2,则四边形ABCD是( ) A.梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形参考答案与解析:解析：,所以|=|,且ABCD,所以四边形ABCD是平行四边形.又因为|=|=2,所以四边形A

2、BCD是菱形. 答案：B主要考察知识点:向量、向量的运算3、已知|a|=|b|=1，a与b的夹角为90,且c=2a+3b，d=ka-4b,若cd,则实数k的值为( ) A.6 B.-6 C.3 D.-3参考答案与解析:解析：cd,cd=(2a+3b)(ka-4b)=0,即2k-12=0,k=6. 答案：A主要考察知识点:向量、向量的运算4、设02,已知两个向量=(cos，sin),=(2+sin，2-cos)，则向量长度的最大值是( ) A. B. C. D.参考答案与解析:解析：=(2+sin-cos,2-cos-sin), 所以|=.答案：C主要考察知识点:向量与向量运算的坐标表示5、设向

3、量a=(1,-3)，b=(-2,4)，c=(-1,-2)，若表示向量4a、4b-2c、2(a-c)、d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为( ) A.(2,6) B.(-2,6) C.(2,-6) D.(-2,-6)参考答案与解析:解析：依题意,4a+4b-2c+2(a-c)+d=0,所以d=-6a+4b-4c=(-2，-6). 答案：D主要考察知识点:向量与向量运算的坐标表示6、已知向量a=(3，4)，b=(-3，1)，a与b的夹角为,则tan等于( ) A. B.- C.3 D.-3参考答案与解析:解析：由已知得ab=3(-3)+41=-5，|a|=5，|b|=， 所以cos=.由于

4、0，,所以sin=.所以tan=-3.答案：D主要考察知识点:向量与向量运算的坐标表示7、向量a与b不共线,=a+kb,=la+b(k、lR),且与共线,则k、l应满足( ) A.k+l=0 B.k-l=0 C.kl+1=0 D.kl-1=0参考答案与解析:解析：因为与共线,所以设=(R),即la+b=(a+kb)=a+kb,所以(l-)a+(1-k)b=0. 因为a与b不共线,所以l-=0且1-k=0,消去得1-lk=0,即kl-1=0.答案：D主要考察知识点:向量、向量的运算8、已知平面内三点A(-1,0),B(5,6),P(3,4),且AP=PB,则的值为( ) A.3 B.2 C. D

5、.参考答案与解析:解析：因为=,所以(4，4)=(2，2).所以=. 答案：C主要考察知识点:向量与向量运算的坐标表示9、设平面向量a1，a2，a3的和a1+a2+a3=0，如果平面向量b1，b2，b3满足|bi|=2|ai|，且ai顺时针旋转30后与bi同向，其中i=1，2，3，则( ) A.-b1+b2+b3=0 B.b1-b2+b3=0C.b1+b2-b3=0 D.b1+b2+b3=0参考答案与解析:解析：根据题意,由向量的物理意义,共点的向量模伸长为原来的2倍,三个向量都顺时针旋转30后合力为原来的2倍,原来的合力为零,所以由a1+a2+a3=0,可得b1+b2+b3=0. 答案：D主

6、要考察知识点:向量、向量的运算10、设过点P(x，y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A、B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若,且=1,则P点的轨迹方程是( ) A.3x2+y2=1(x0,y0) B.3x2y2=1(x0,y0)C.x2-3y2=1(x0,y0) D.x2+3y2=1(x0,y0)参考答案与解析:解析：设P(x,y),则Q(-x,y).设A(xA),xA,B(0,yByB0,=(x,y-yB)=(xAx,-y). =2PA,x=2(xA,x),y-yB=2y,xA=x,yB=3y(x0,y0).又=1,(-x,y)(-xA,yB)=1,(-x,y)(x,

7、3y)=1,即x2+3y2=1(x0,y0).答案：D主要考察知识点:向量、向量的运算11、已知ABC中，点D在BC边上，且，若,则r+s的值是( ) A. B.0 C. D.-3参考答案与解析:解析：ABC中，=()=-，故r+s=0. 答案：B主要考察知识点:向量、向量的运算12、定义ab=|a|b|sin，是向量a和b的夹角，|a|、|b|分别为a、b的模，已知点A(-3,2)、B(2,3),O是坐标原点，则等于( ) A.-2 B.0 C.6.5 D.13参考答案与解析:解析：由题意可知=(-3,2),=(2,3), 计算得=-32+23=0，另一方面=|cos，cos=0,又(0,)

8、，从而sin=1，=|sin=13.答案：D主要考察知识点:向量与向量运算的坐标表示二、填空题 【共4道小题】1、已知a+b+c=0,且|a|=3,|b|=5,|c|=7,则向量a与b的夹角是_.参考答案与解析:解析：由已知得a+b=-c,两边平方得a2+2ab+b2=c2,所以2ab=72-32-52=15.设a与b的夹角为,则cos=, 所以=60.答案：60主要考察知识点:向量、向量的运算2、若=2e1+e2,=e1-3e2,=5e1+e2,且B、C、D三点共线,则实数=_. 参考答案与解析:解析：由已知可得=(e1-3e2)-(2e1+e2)=-e1-4e2, =(5e1+e2)-(e

9、1-3e2)=4e1+(+3)e2.由于B、C、D三点共线,所以存在实数m使得,即-e1-4e2=m4e1+(+3)e2.所以-1=4m且-4=m(+3),消去m得=13.答案：13主要考察知识点:向量、向量的运算3、已知e1、e2是夹角为60的两个单位向量,则a=2e1+e2和b=2e2-3e1的夹角是_. 参考答案与解析:解析：运用夹角公式cos=，代入数据即可得到结果. 答案：120主要考察知识点:向量、向量的运算4、如图2-1所示，两射线OA与OB交于O，则下列选项中向量的终点落在阴影区域内的是_. 图2-1 + + -参考答案与解析:解析：由向量减法法则可知不符合条件,显然满足，不满

10、足. 答案：主要考察知识点:向量、向量的运算三、解答题 【共6道小题】1、如图2-2所示，在ABC中,=c,=a,=b,且ab=bc=ca，试判断ABC的形状.图2-2参考答案与解析:解：ab=bc,b(a-c)=0. 又b=-(a+c),-(a+c)(a-c)=0,即c2-a2=0.|c|=|a|.同理,|b|=|a|,故|a|=|b|=|c|,所以ABC为等边三角形.主要考察知识点:向量、向量的运算2、如图2-3所示,已知|=|=1，、的夹角为120,与的夹角为45,|=5,用，表示.(注：cos75=) 图2-3参考答案与解析:解：设=+, 则=(+)=+=+cos120=.又=|cos

11、45=5cos45=,=,=(+)=+=cos120+=+.又=|cos(120-45)=5cos75=,+=.=,=.=+.主要考察知识点:向量、向量的运算3、在四边形ABCD中(A、B、C、D顺时针排列),=(6，1)，=(-2，-3).若有,又有,求的坐标. 参考答案与解析:解：设=(x,y),则=(6+x,1+y),=(4+x,y-2),=(-x-4,2-y),=(x-2,y-3). 又及,所以x(2-y)-(-x-4)y=0, (6+x)(x-2)+(1+y)(y-3)=0. 解得或=(-6,3)或(2,-1).主要考察知识点:向量与向量运算的坐标表示4、已知平面向量a=(,-1),

12、b=(,). (1)证明ab;(2)若存在不同时为零的实数k、t,使得x=a+(t2-3)b,y=-ka+tb,且xy,求函数关系式k=f(t).参考答案与解析:(1)证明：因为ab=(，-1)(，)=+(-1)=0，所以ab. (2)解：由已知得|a|=2，|b|=1,由于xy,所以xy=0,即a+(t2-3)b(-ka+tb)=0.所以-ka2+tab-k(t2-3)ba+t(t2-3)b2=0.由于ab=0,所以-4k+t(t2-3)=0.所以k=t(t2-3).由已知k，t不同时为零得k=t(t2-3)(t0).主要考察知识点:向量与向量运算的坐标表示5、已知a、b、c是同一平面内的三个向量,其中a=(1,2). (1)若|c|=,且ca,求c的坐标;(2)若|b|=,且a+2b与2a-b垂直,求a与b的夹角.参考答案与解析:解：(1)设c=(x，y),|c|=,即x2+y2=20, ca,a=(1，2),2x-y=0,即y=2x. 联立得或c=(2,4)或(-2,-4).(2)(a+2b)(2a-b),(a+2b)(2a-b)=0,即2a2+3ab-2b2=0.2|a|2+3ab-2|b|2=0. |a|2=5，|b|2=,代入式得ab=.cos=-1.又0，=.主要考察知识点:向量与向量运算的坐标表示6、如图2-4所示,已知AOB,其中=a,=b,而M、N