广西贵港市2023-2024学年高考考前提分数学模拟卷含解析

广西贵港市2023-2024学年高考考前提分数学

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知三棱锥Q-ABC的体积为2,ABC是边长为2的等边三角形，且三棱锥O-ABC的外接球的球心。恰好

是CD中点，则球。的表面积为（）

2.已知抛物线y2=2px（p〉0）,尸为抛物线的焦点且MN为过焦点的弦，若|。尸|=1,|MN|=8,贝！|。肱V的面

积为（）

A.2^2B・3^2C.4^2D・——

3.在ABC中，AD为5C边上的中线，石为AD的中点，且|AB|=1,|AC|=2,ZBAC=120°,贝！1|班|二（）

「

A.叵B.电V3

V-Z•-------

4.设点A,B,C不共线，贝!]“（43+4。）_13。”是“[4^=,。卜（

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件

5.《普通高中数学课程标准（2017版）》提出了数学学科的六大核心素养.为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素

养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图（如图，每项指标值满分为5分，分值

高者为优），则下面叙述正确的是（）

直观想敛

数学建枳数学运算

迎辑推理数据分析

敷学抽徵甲

乙

A.甲的数据分析素养高于乙

B.甲的数学建模素养优于数学抽象素养

C.乙的六大素养中逻辑推理最差

D.乙的六大素养整体平均水平优于甲

22

6.已知双曲线E:二—二=1（。〉0］〉0）满足以下条件：①双曲线E的右焦点与抛物线V=4%的焦点尸重合；②

双曲线E与过点P（4,2）的幕函数/（%）=/的图象交于点Q,且该塞函数在点。处的切线过点F关于原点的对称点.则

双曲线的离心率是（）

7.已知。_L£,根B=1,贝！J“m_LiT是“m_L产的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

8.在直角坐标平面上，点P（x,y）的坐标满足方程2x+y2=。，点。（。力）的坐标满足方程

〃+〃+64—85+24=0则上心的取值范围是（）

-4-77-4+776-776+77

A.[-2,2]

9.若函数/（x）=（Y-力x+2）/（e=2.71828…为自然对数的底数）在区间［1,2］上不是单调函数，则实数机的取值

范围是（）

510510

2'T2'T

10.“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样.为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面

积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷200个点，己知恰有80个点落在阴影部分据此

可估计阴影部分的面积是（）

11.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）

A.48+12V2B.60+120C.72+120D.84

2i

12.若复数z=l+（i为虚数单位），贝!|z的共轨复数的模为)

1+7

A.好B.4C.2

D.75

2

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

_____JT

13.如图，已知扇形的半径为1,面积为则。A3=.

14.若函数/（x）="-以＞0恒成立，则实数。的取值范围是.

15.记S“为数列｛4｝的前几项和，若贝”7=.

16.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为5:5:4,现按年级采用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的高

三年级为12人，则抽取的样本容量为_______人.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)在AABC中，。、b、c分别是角4、B、。的对边，S.(a+b+c\a+b-c)=3ab.

(1)求角C的值；

(2)若c=2,且AABC为锐角三角形，求4+5的取值范围.

18.(12分)已知函数/(x)=xlnx-2ox2+3x-a,aeZ.

(1)当。=1时，判断x=l是否是函数f(x)的极值点，并说明理由；

(2)当尤＞0时，不等式/(x)W0恒成立，求整数。的最小值.

19.(12分)在本题中，我们把具体如下性质的函数/(x)叫做区间。上的闭函数：①/Xx)的定义域和值域都是。；

②/(x)在。上是增函数或者减函数.

(1)若/(x)=tan3x)在区间［-1,1］上是闭函数，求常数。的值；

(2)找出所有形如/(x)=alog3X+b6的函数(。力都是常数)，使其在区间口9］上是闭函数.

20.(12分)已知椭圆C《+y2=l,点P(的%)为半圆£+y2=3(y»0)上一动点，若过P作椭圆C的两切线分

别交x轴于"、N两点.

(1)求证：PM1PN；

(2)当天e-1,1时，求|网的取值范围.

21.(12分)自湖北武汉爆发新型冠状病毒惑染的肺炎疫情以来，武汉医护人员和医疗、生活物资严重缺乏，全国各

地纷纷驰援.截至1月30日12时，湖北省累计接收捐赠物资615.43万件，包括医用防护服2.6万套N95口罩47.9万

个，医用一次性口罩172.87万个，护目镜3.93万个等.中某运输队接到给武汉运送物资的任务，该运输队有8辆载重

为6f的A型卡车，6辆载重为10f的B型卡车，10名驾驶员，要求此运输队每天至少运送720f物资.已知每辆卡车每

天往返的次数：A型卡车16次，3型卡车12次；每辆卡车每天往返的成本：A型卡车240元，5型卡车378元.求每

天派出A型卡车与5型卡车各多少辆，运输队所花的成本最低？

22.(10分)如图，在四棱锥尸-ABCD中，底面ABC。是平行四边形，平面ABC。，E是棱PC上的一点,

满足K4//平面

(I)证明：PE=EC

(II)设。£>=4£>=5£>=1,AB=亚,若尸为棱P5上一点，使得直线小与平面所成角的大小为30。,

求的值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A

【解析】

根据。是CD中点这一条件，将棱锥的高转化为球心到平面的距离，即可用勾股定理求解.

【详解】

解：设。点到平面ABC的距离为力，因为。是CD中点，

h

所以。到平面ABC的距离为不，

2

三棱锥。一ABC的体积V=』SA.•/z=L』x2x2xsin60°/=2,解得〃=2・6，

332

作OO'，平面ABC,垂足。为ABC的外心，所以C。'=2叵，且。。'=2=6,

32

所以在RfCO'O中，OC7co,2+002=g,此为球的半径，

1352开

S=4%R~=4乃—=----

故选：A.

【点睛】

本题考查球的表面积，考查点到平面的距离，属于中档题.

2、A

【解析】

根据I0F\=1可知丁=4x,再利用抛物线的焦半径公式以及三角形面积公式求解即可.

【详解】

由题意可知抛物线方程为丁=4x,设点"（不％）点N（%,%），则由抛物线定义

知,MN|=|MF|+1NF|=玉+%+2,|MN|=8则再+%=6.

由y?=4%得y；=4%],yf—4%2贝!I靖+£=24.

又为过焦点的弦，所以为%=T，则昆一%|=&+/-2乂％=4拒，所以SOMN=J。用也一R=2后.

故选：A

【点睛】

本题考查抛物线的方程应用，同时也考查了焦半径公式等.属于中档题.

3、A

【解析】

31

根据向量的线性运算可得E3=zA3—彳AC,利用|班『=2及IAB|=1,1AC1=2,ABAC=120°计算即可.

【详解】

因为E3=E4+AB=—；AD+AB=—；xg（AB+AC）+AB=；AB—

-29*23112

所以|E3|29=E8=——AB-2X-X-ABAC+—AC

164416

19

16

所以|E5|=?,

故选：A

【点睛】

本题主要考查了向量的线性运算，向量数量积的运算，向量数量积的性质，属于中档题.

4、C

【解析】

利用向量垂直的表示、向量数量积的运算，结合充分必要条件的定义判断即可.

【详解】

由于点A,B,C不共线，贝！I

?2

(AB+AC)±BC(AB+AC)-BC=0(AB+AC)•(AC-AB)=AC-AB^Q^Ac=AB

网=""；

故“(AB+A。±BC-^\AB\=,叶，的充分必要条件.

故选：C.

【点睛】

本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查向量垂直的表示，考查向量数量积的运算，属于基础题.

5、D

【解析】

根据雷达图对选项逐一分析，由此确定叙述正确的选项.

【详解】

对于A选项，甲的数据分析3分，乙的数据分析5分，甲低于乙，故A选项错误.

对于B选项，甲的建模素养3分，乙的建模素养4分，甲低于乙，故B选项错误.

对于C选项，乙的六大素养中，逻辑推理5分，不是最差，故C选项错误.

对于D选项，甲的总得分4+5+3+3+4+3=22分，乙的总得分5+4+5+4+5+4=27分，所以乙的六大素养整

体平均水平优于甲，故D选项正确.

故选：D

【点睛】

本小题主要考查图表分析和数据处理，属于基础题.

6、B

【解析】

由已知可求出焦点坐标为(1,0)，(-1,0),可求得幕函数为/(x)=«，设出切点通过导数求出切线方程的斜率，利用斜率

相等列出方程，即可求出切点坐标，然后求解双曲线的离心率.

【详解】

依题意可得，抛物线y2=4x的焦点为b(1,0),歹关于原点的对称点(—1,0)；2=4"，a=%，所以/(%)=，=«,

'°)=5,设0(飞，后)，贝=解得％=1，'。(1，1)，可得，一)=1，又。=1，c2^a2+b2,

/7_e=-=1=^+1

可解得a=1故双曲线的离心率是,一％一年二7一二—.

2

故选B.

【点睛】

本题考查双曲线的性质,已知抛物线方程求焦点坐标，求褰函数解析式，直线的斜率公式及导数的几何意义,考查了学生分

析问题和解决问题的能力，难度一般.

7、B

【解析】

构造长方体A5CD-AI1GD1,令平面a为面ADDiAi,底面A5CD为0,然后再在这两个面中根据题

意恰当的选取直线为m,n即可进行判断.

【详解】

如图，取长方体A5CD-451GD1,令平面a为面AODMi,底面A5CD为0,直线A£>=直线/。

若令ADI=7〃，AB=n,则ZM_L〃，但0i不垂直于/

若mL,由平面平面AD2A可知，直线机垂直于平面0,所以用垂直于平面口内的任意一

条直线”

.\m_Ln是胆_1_/的必要不充分条件.

故选：B.

【点睛】

本题考点有两个：①考查了充分必要条件的判断，在确定好大前提的条件下，从加J_〃=加JU?和

两方面进行判断；②是空间的垂直关系，一般利用长方体为载体进行分析.

8、B

【解析】

由点P（x,y）的坐标满足方程炉-2》+产=0,可得尸在圆（龙—iy+y2=i上，由。（a,»坐标满足方程

〃+〃+6a—86+24=0,可得。在圆（x+3）?+（y—4了=1上，则三=左加求出两圆内公切线的斜率，利用数

形结合可得结果.

【详解】

点P（羽y）的坐标满足方程%2-2x+r=0,

在圆（九-1）2+y2=］上，

Q（a,b）在坐标满足方程储+/+6a—8b+24=0,

・•.Q在圆（x+3y+（y—4）2=1上，

则T=作出两圆的图象如图，

x-a

设两圆内公切线为A5与CD,

由图可知七B4左〈左CD，

设两圆内公切线方程为y=kx+m,

y/1+k2

圆心在内公切线两侧，+7”=-（-3k+加一4）,

可得〃/=左+2,

-4±77

化为3左2+8左+3=0,

3~

即人=-4-屿k=一4+近

1^AB3，83

-4-A/7y—b-4+A/7

—=kpc,

3x-a3

【点睛】

本题主要考查直线的斜率、直线与圆的位置关系以及数形结合思想的应用，属于综合题.数形结合是根据数量与图形

之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，尤其在解决选择题、填空题时发挥着

奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是运用这种方法的关键是正确作出曲线图象，充分利用数

形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解.

9、B

【解析】

求得了(%)的导函数/'(X),由此构造函数g(x)=X2+(2-m)x+2-相，根据题意可知g(x)在(1,2)上有变号零点.

由此令g(£)=0,利用分离常数法结合换元法，求得机的取值范围.

【详解】

(尤)=e*［尤2+(2)x+2,

设g(x)=f+(2-m)x+2-m,

要使/(%)在区间［1,2］上不是单调函数,

即g(x)在(1,2)上有变号零点，令g(%)=0,

则x2+2x+2=m(x+l),

令/=x+l«2,3),则问题即机=/+1在/e(2,3)上有零点，由于f+』在(2,3)上递增，所以，〃的取值范围是

故选:B

【点睛】

本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查方程零点问题的求解策略，考查化归与转化的数学思想方法，属于

中档题.

10、D

【解析】

直接根据几何概型公式计算得到答案.

【详解】

根据几何概型：0=»=理~,故5=史.

92005

故选：D.

【点睛】

本题考查了根据几何概型求面积，意在考查学生的计算能力和应用能力.

11、B

【解析】

画出几何体的直观图，计算表面积得到答案.

【详解】

该几何体的直观图如图所示：

反（2+4）x2l厂

故S=2x6+2x6+^^；—x2+4x6+6x20=64+12。

故选：B.

【点睛】

本题考查了根据三视图求表面积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.

12、D

【解析】

由复数的综合运算求出z,再写出其共物复数，然后由模的定义计算模.

【详解】

2i2/(1-/)..二

Z=l+-—；=1+T-——T—V=2+Z,.\z=2-z,.\z=V5.

1+Z(1+2)(1-2)

故选：D.

【点睛】

本题考查复数的运算，考查共朝复数与模的定义，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、-之

2

【解析】

根据题意，利用扇形面积公式求出圆心角NAO3,再根据等腰三角形性质求出|AB|=JL利用向量的数量积公式求

UUU1UUIU

出O4AB-

【详解】

jT1

设角NAOS=6,则2=—CxV,

32

271

3—------9

3

所以在等腰三角形AQ45中，|AB|二g,

贝(]04・45=1乂6><©0$150°=—3.

2

3

故答案为：-7.

【点睛】

本题考查扇形的面积公式和向量的数量积公式，属于基础题.

14^0<a<e

【解析】

若函数/(x)=e、—奴〉0恒成立，即/(x)而°〉。，求导得尸(x)=e*—a,在a>O,a=O,a<。三种情况下，分别讨

论函数单调性，求出每种情况时的了(©就”，解关于。的不等式，再取并集，即得。

【详解】

由题意得，只要/(X)mm〉。即可，

/'(%)=ex-a,

当a>0时，令/'(x)=O解得％=lna,

令广⑴<0,解得X<lna,/(X)单调递减，

令尸(x)>。，解得尤>lna,单调递增，

故/(X)在x=lna时，/(x)有最小值，/OXn=/Qna)=a(l—lna),

若/(x)>0恒成立，

则a(l-lna)>。，解得0<a<e；

当。=0时，/(x)=e'>0恒成立；

当。<0时，f\x)=ex-a,/(元)单调递增，Qx-"⑺―,不合题意,舍去.

综上，实数a的取值范围是0Wa<e.

故答案为：0Wa<e

【点睛】

本题考查恒成立条件下，求参数的取值范围，是常考题型。

15、-254

【解析】

利用%,=S„-5,1(”22)代入即可得到"-2=2(5“_1-2)(〃22),即｛3-2｝是等比数列，再利用等比数列的通项

公式计算即可.

【详解】

由已知a.=才—1,得%=,—1,即S"—5"_1=才一1,所以S〃-2=2(S,I—2)022)

q

又％=年—1,即百=-2,Si—2=—4,所以｛S“-2｝是以-4为首项，2为公比的等比数

歹U,所以S〃一2=—4x2'i,即S“=2—2用，所以$7=2-28=—254。

故答案为：-254

【点睛】

本题考查已知S,,与的关系求S“，考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题.

16、42

【解析】

根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论.

【详解】

设抽取的样本为",

45+5+4

则由题意得一=土上一，解得〃=42.

12n

故答案为：42

【点睛】

本题考查了分层抽样的知识，算出抽样比是解题的关键，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)C=1.(2)(273,4].

【解析】

(1)根据题意，由余弦定理求得cosC=L,即可求解C角的值；

2

(2)由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到a+6=4sin[A+W],再根据AABC为锐角三角形，求得

-<A<-,利用三角函数的图象与性质，即可求解.

62

【详解】

(1)由题意知(a+人+。)(〃+人一c)=3〃/?,+/—02=，

〃2右2_21

由余弦定理可知，cosC=-~~

lab2

TT

又♦；Cw(O,兀)，；・C=一.

3

ab244

(2)由正弦定理可知，sinAsinB.兀3，即。=—J^sin=—J^sinB

sin133

/.a+b=^^(sinA+sinB)=[逝sinA+sin[5—

=2gsinA+2cosA=4sin(A+k],

八4兀

O<A<—

2

又•••AABC为锐角三角形，.•/:,即，

八T-*2-/7C.7C

0<B=------A<—

[32

则工(A+工〈二，所以2君<4sin[A+-]«4,

363I6J

综上a+力的取值范围为(2百,4].

【点睛】

本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边

转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式

求三角函数值.利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结

合正、余弦定理解题.

18、(1)x=l是函数Ax)的极大值点，理由详见解析；(2)1.

【解析】

(1)将。=1直接代入，对/(x)求导得/'(x)=lnx—4x+4,由于函数单调性不好判断，故而构造函数，继续求导，

判断导函数/'(X)在x=l左右两边的正负情况，最后得出，x=l是函数/(%)的极大值点；

(2)利用题目已有条件得aNl,再证明a=l时，不等式恒成立，即证Inx-2x+3-工<0,从而可知整

数。的最小值为1.

【详解】

解：(1)当a=l时,/'(x)=lnx-4x+4.

11_4v

令尸(%)=/<1)=lnx—4x+4,则E'(x)=__4=——-

X%

当时，F'(x)<o.

4

即尸(%)在，,+j内为减函数，且广⑴=0

.,.当时，/'(%)>0；当为6(1,+00)时，/,(x)<0.

.../(%)在内是增函数，在(L+8)内是减函数.

综上，x=l是函数/(%)的极大值点.

(2)由题意，得了(1)<0,即aNl.

现证明当a=l时，不等式成立，即_dnx—2/+3%—1<0.

即证Inx—2x+3——<0

令g(x)=lnx-2x+3——

—2x2+x+1-(2x+l)(x-1)

.•.当xe(0,l)时，且'(X)>0；当％€(1,+8)时，g'(x)<0.

Ag(x)在(0,1)内单调递增，在(1,十》)内单调递减,

g(x)的最大值为g(1)=0.

・,•当1>0时，Inx—2犬+3—<0.

即当x>0时，不等式成立.

综上，整数。的最小值为1.

【点睛】

本题考查学生利用导数处理函数的极值，最值，判断函数的单调性，由此来求解函数中的参数的取值范围，对学生要

求较高，然后需要学生能构造新函数处理恒成立问题，为难题

19、(1)±5；(2)/(%)=31og3x+A/^.

【解析】

(1)依据新定义，/(X)的定义域和值域都是［-1,1］,且在［-1,1］上单调，建立方程求解；(2)依据新定义，讨

论“X)的单调性，列出方程求解即可。

【详解】

[-0,0仁

(1)当口>0时，由复合函数单调性知，/(x)=tan(0x)在区间［-1,1］上是增函数，即有tan(-0)=-1，解

tanG=l

f，£）

717T

同理，当①<0时，有<tan（一@）=1,解得co=——,综上，（v=±—o

44

tanco=-l

(2)若/(兄)在工9］上是闭函数,则/(%)在［1,9］上是单调函数，

f(1)=b=1［a=3

①当/(%)在［1,9］上是单调增函数，贝!I,,二二一7C，解得7「检验符合；

f(9)=2a+3b=9［b=l

f(1)=b=9［a——13

②当/(x)在［1,9］上是单调减函数，贝！|:「解得，八，

/(9)=2〃+3Z?=l［b=9

/(x)=-13Iog3%+9«在［1,9］上不是单调函数，不符合题意。

故满足在区间工9］上是闭函数只有/(x)=31og3X+«。

【点睛】

本题主要考查学生的应用意识，利用所学知识分析解决新定义问题。

20、(1)见解析；(2)［26,2#］.

【解析】

(1)分两种情况讨论：①两切线PM、PN中有一条切线斜率不存在时，求出两切线的方程，验证结论成立；②两

切线PM、PN的斜率都存在，可设切线的方程为>-%=左(1—%)，将该直线的方程与椭圆的方程联立，由A=0

可得出关于左的二次方程，利用韦达定理得出两切线的斜率之积为-1,进而可得出结论；

(2)求出点〃、N的坐标，利用两点间的距离公式结合韦达定理得出换元

f=2—片目1,2］,可得出MN|=2j2j+；1-",利用二次函数的基本性质可求得的取值范围.

【详解】

(1)由于点P在半圆d+y2=3(y»0)上，则需+$=3.

①当两切线PW、PN中有一条切线斜率不存在时，可求得两切线方程为了=&，丁=1或%=-血，y=l,此时

PM1PN；

②当两切线。加、PN的斜率都存在时，设切线的方程为y—%=左(*—%)(PM、PN的斜率分别为左、左2)，

y22

<T：^°^°^(i+2k)x+4k(y0-kx0)x+2(y0-kx0^-2=0

2222

A=16Z:(y0-fcc0)-4(l+2Z:)[2(y0-fcc0)-2]=0,

2

(XQ-l)k-2x0y0k+(Jo-1)=0,=—1,:.PMLPN.

综上所述，PM±PN；

(、

(2)根据题意得知％一普,0、NxQ--^-,0,

(KJl左2J

%-k?

\MN\==

k]k2kxk2

令：=2一无；目1,2],则|MN|=2J1+2)(，+l)=21

8

所以，当1=1时，I也N|=2几，当！=!时，|MV|.=26

tIImax(2।Imin

因此，的取值范围是［26,2jT|.

【点睛】

本题考查椭圆两切线垂直的证明，同时也考查了弦长的取值范围的计算，考查计算能力，属于中等题.

21、每天派出A型卡车8辆，派出8型卡车。辆，运输队所花成