北京数学中考一模新定义创新题(带答案)

1、.西城 29、给出如下规定：两个图形G1 和 G2 ，点 P 为 G1 上任一点，点 Q 为 G2 上任一点，如果线段 PQ 的长度存在最小值，就称该最小值为两个图形G1 和 G2 之间的距离在平面直角坐标系 xOy 中， O 为坐标原点（ 1）点 A 的坐标为 A （1，0）则点 B（2，3）和射线 OA 之间的距离为 _，点 C（-2,3）和射线 OA 之间的距离为 _；（ 2）如果直线 y=x 和双曲线 yk 之间的距离为 2 ，那么 k=_；（可在图 1 中进行研究）x（ 3）点 E 的坐标为（ 1， 3 ），将射线 OE 绕原点 O 逆时针旋转 60 ，得到射线 OF，在坐标平面内所

2、有和射线 OE，OF 之间的距离相等的点所组成的图形记为图形 M 请在图 2 中画出图形 M ，并描述图形 M 的组成部分；（若涉及平面中某个区域时可以用阴影表示）将射线 OE,OF 组成的图形记为图形 W，抛物线 yx22 与图形 M 的公共部分记为图形 N，请直接写出图形 W 和图形 N 之间的距离yy5544332211x54321O 12x54321O 1 2 3 4 53 4 51122334455解析：29.解：（ 1） 3， 13 （每空各 1 分）（ 2） -1；（ 3）如图 9，过点 O 分别作射线 OE,OF 的垂线 OG、OH，则图形 M 为：y 轴正半轴， GOH的边及

3、其内容的所有点（图中的阴影部分）.说明：（画图 2 分，描述 1 分）（图形 M 也可以描述为： y 轴正半轴，直线 y3 x 下方与直3.线 y 433 x 下方重叠的部分（含边界） ）3y5432F E1Ox5432112345H1G2345东 城29 定 义 符 号 min a, b的 含 义 为： 当 a b 时 , min a, bb ； 当 ab 时 ,mina, ba 如： min 1 ,22 ， min 1, 21(1)求 minx2 -1,-2 ;(2)已知 min x22x k, 33 , 求实数 k 的取值范围 ;(3) 已知当2 x 3 时， min x22x 15,

4、m( x 1)x22x 15 .直接写出实数 m 的取值范围 .解析：29解：（ 1） x20 ， x2 -1 -1 . x2 -1 -2 . minx2 -1,-22 . 2 分(2) x22xkx 12k 1 , x121k1.k. min x22x k, 3 3 ， k1 3 . k 2 . 5 分(3)3m7 . 8 分朝阳 29定义 :对于平面直角坐标系xOy 中的线段 PQ 和点 M，在 MPQ 中，当 PQ 边上的高为 2 时，称 M 为 PQ 的 “等高点 ”，称此时 MP+MQ 为 PQ 的“等高距离 ”（ 1）若 P(1，2)，Q(4，2) 在点 A(1，0)，B( 5 ，

5、 4)，C（0，3）中， PQ 的“等高点 ”是；2若 M（t，0）为 PQ 的“等高点 ”，求 PQ 的“等高距离 ”的最小值及此时t 的值 .（ 2）若 P(0，0)，PQ=2，当 PQ 的“等高点 ”在 y 轴正半轴上且 “等高距离 ”最小时，直接写出点 Q 的坐标解析：29. 解 :（、2 分1） A B （ 2）如 ，作点 P 关于 x 的 称点 P， 接 PQ， PQ 与 x 的交点即 “等高点”M，此 “等高距离”最小，最小 段PQ 的 . 3 分 P (1， 2)， P(1， 2). 直 PQ 的表达式 ykx b ，根据 意，有.kb2k434kb，解得2b10 .3直 PQ

6、 的表达式 y4 x10. 4 分33当 y0 ，解得5x.2即 t55 分. 2根据 意，可知PP4， PQ 3， PQ PP， PQPP2 PQ2 5.“等高距离”最小 5.6 分（ 3）Q（ 45 ， 25 ）或 Q（ - 45，25 ）. 8 分5555海淀 29在平面直角坐标系xOy 中，对于点 P(a,b) 和点 Q(a ,b ) ，给出如下定义：若 bba，则称点 Q 为点 P 的限变点例如：点2,3 的限变点的坐标是2,3 ，点 2,5,1b ,a1的限变点的坐标是2, 5 （ 1）点 3,1 的限变点的坐标是 _；在点 A 2, 1， B 1,2 中有一个点是函数 y2 图象

7、上某一个点的限变点，x这个点是 _（ 2）若点 P 在函数 yx 3( 2 x k, k2)的图象上，其限变点Q 的纵坐标 b的取值范围是5 b 2 ，求 k 的取值范围；y622txt2t 的图象上，其（ 3）若点 P 在关于 x 的二次函数 y x54限变点 Q 的纵坐标 b 的取值范围是 b m 或 bn ，其中 mn 令3216 5 4 3 2 1O 123456 x1.23456.s m n ，求 s关于 t 的函数解析式及 s 的取值范围解析：29 (本小 分8 分 )解：（ 1）(3,1) ； 1分点 B 2分x（ 2）依 意， yx 3( x 2) 象上的点 P 的限 点必在函

8、数3,x 1y的 象上x3, 2 x1b 2 ，即当 x1 ， b 取最大 2当 b2 ，2x3 x5 3分y4321当 b5 ， 5x 3 或 5x 3x 2 或 x 8 4 分Q5b 2 ，由 象可知，k 的取 范 是5 k8 5分（ 3） Q yx22txt 2t( xt )2t ， 点坐 (t ,t ) 6分若 t1 ， b 的取 范 是b m 或 b n ，与 意不符若 t1 ，当 x1 ， y 的最小 t ，即 mt ；4321 O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x 1234567当 x1 ， y 的 小于(1t) 2t ，即 n(1t )2t .22s m n t (1 t

9、 ) t t1s关于 t 的函数解析式 st 21 ( t 1) 7 分当 t= 1 ， s取最小 2s的取 范 是 s 28分丰台 29. 设点 Q 到图形 W 上每一个点的距离的最小值称为点Q 到图形 W 的距离 .例如正方形ABCD 满足 A(1，0)， B(2， 0)，C(2，1)，D(1，1)，那么点 O(0，0)到正方形 ABCD 的距离为 1.（ 1）如果 P 是以（ 3， 4）为圆心，1 为半径的圆，那么点O(0 ， 0) 到 P 的距离为；（2）求点 M (3,0) 到直线 y2x1的距离；如果点 N (0, a) 到直线 y2 x1的距离为 3，那么 a 的值是（ 3）如果

10、点 G(0, b) 到抛物线 yx2 的距离为 3，请直接写出 b 的值 .y43214 3 2 1O12解析：3429. （ 1） 4； . .2 分（2）直 y2x 1记为 l ， 点 M 作 MHl ，垂足 点 H ，y设 l 与 x, y 的交点分 E, F ， E(1 ,0)，F (0,1)2H EF51F . .3 分2E EOF MHE1O 2；1234xy=2x+1M3x. MHME ，即 MH77 52 MHOFEF1552点 M 到直 y2x1的距离 75 . .4 分5a 13 5 . .6 分（3） b37. .8 分3 或 b4通州 29如 ，在平面直角坐 系中，已知

11、点A(2， 3)、B(6，3)， AB. 若 于平面内一点 P， 段 AB 上都存在点 Q，使得 PQ1， 称点 P 是 段 AB 的“ 近点 ”（1）判断点 D (7,19) ，是否 段 AB 的“ 近点 ”（填 “是”或“否”）；55（ 2）若点 H (m，n)在一次函数 yx 1 的 象上，且是 段 AB 的“ 近点 ”，求 m 的取 范 （ 3）若一次函数yxb 的 象上至少存在一个 近点，直接写出b 的取 范 .解析：29. （ 1）点 D 是 段 AB 的“ 近点 ”； .(2 分)（ 2）点 H（m，n）是 段 AB 的“ 近点”，点 H（m，n）在直 yx1 上， nm1; .

12、(3 分).直 yx1 与 段 AB 交于（ 4， 3） 当 m4 ，有 nm13，又 ABx ， 此 点 H（m，n）到 段 AB 的距离是 n3， 0n31， 4 m5， .(4 分) 当 m4 ，有 nm1n3，又 ABx ， 此 点 H（m，n）到 段 AB 的距离是，3n 03n1， 3 m4，.(5分 ) 上所述， 3m5; .(6 分)(3)32b12 .(8分)房山 29.【探究】如 1，点 N m,n 是抛物 y11 x2 1 上的任意一点， l 是 点 0, 2 且与 x4 平行的直 ， 点N 作直 NHl，垂足 H. 算 : m=0 ， NH=;m=4 ， NO=.猜想

13、: m 取任意 ， NONH(填“”、“”或“”).【定 】我 定 ：平面内到一个定点F 和一条直 l（点 F 不在直 l 上）距离相等的点的集合叫做抛物 ，其中点 F 叫做抛物 的 “焦点 ”，直 l 叫做抛物 的 “准 ”.如 1 中的点 O 即 抛物 y1 的 “焦点 ”，直 l: y 2即 抛物 y1 的 “准 ”.可以 “焦点 ”F 在抛物 的 称 上 .【应用】（1）如图 2，“焦点 ”为 F(-4，-1)、“准线 ”为 l 的抛物线 y212x+4k 与 y 轴交于点4N（ 0， 2），点 M 为直线 FN 与抛物线的另一交点 .MQl 于点 Q，直线 l 交 y 轴于点 H.直

14、接写出抛物线 y2 的 “准线 ”：；l11计算求值： MQ+NH =；（2）如图 3，在平面直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为圆心，半径为1 的 O 与 x 轴分别交于 A、B 两点（A 在 B 的左侧），直线 y=33 x+n与 O 只有一个公共点 F，求以 F 为“焦点 ”、x 轴为 “准线 ”的抛物线 y3ax2bxc 的表达式 .yNyyNOxFOABxxO-2HlM图 1图 2图 3解析：29.解：【探究】1;5; 2 分.3 分yN【 用】（ 1） y3 ； 4 分F 2 1 . 5 分（ 2）如 3， 直 y3 x n 与 x 相交于点 C.3ABCOx由 意可知直 CF

15、切 O 于 F， 接 OF .F 1 OFC=90M COF= 60又 OF =1，图 3 OC=2. C2，0“焦点”F11,3、F21,3. 6 分2222抛物 y 的 点 1,3或1,3 .32424当“焦点” F11,3， 点 1,3 ， C2，0 ，2224易得直 CF1： y3 x23.33 点 A 作 AM x ，交直 CF 1 于点 M. MA MF1 M1，3 在抛物 y3上.123 ，将 M 点坐 代入可求得：3 抛物 y3axa32431233 x23 x3 y3x7 分324333当“焦点” 13， 点 13， C2，0 ，F22,22, 4由中心 称性可得：3x+ 1

16、233 x23 x3y38 分324333 上所述：抛物 y33 x23 x3 或 y33 x23 x3 .333333.怀柔 29. 对某种几何图形给出如下定义：符合一定条件的动点所形成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹 .例如 ,平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹 ,是以定点为圆心 ,定长为半径的圆 .（ 1）如图 1，在 ABC 中， AB=AC ， BAC=90 ， A(0 ，2)，B 是 x 轴上一动点，当点B在 x 轴上运动时，点 C 在坐标系中运动，点 C 运动形成的轨迹是直线DE，且 DExy轴于点 G.yD则直线 DE 的表达式是.ACCAOBxO BGxE（ 2）当 AB

17、C 是等边三角形时，在（ 1）的条图件1下，动点 C 形成的轨迹也是一条直线 .图 2当点 B 运动到如图 2 的位置时， AC x 轴，则 C 点的坐标是.在备用图中画出动点C 形成直线的示意图，并求出这条直线的表达式.设中这条直线分别与x,y 轴交于 E,F 两点，当点 C 在线段 EF 上运动时，点 H 在线段OF 上运动，（不与 O、F 重合），且 CH=CE,则 CE 的取值范围是.yyAAOxOx备用图 1备用图 2.解析：29.解：（ 1） x=2. 1 分 .（2） C点坐 : （ 43 , 2）3 分 .3由 C 点坐 : （ 43y, 2）3A再求得其它一个点C的坐 ，如（

18、3 ， 1），或（ 0，-2 ）等b=-2OEx代入表达式 y=kx+b ，解得k3 .直 的表达式是y3x2 . 5 分.F 点 C 运 形成直 如 所示. 6 分 . 43 EC23 . 8 分 .93 沟 29如 ，在平面直角坐 系xOy 中，抛物 y=ax2（ ）的 点 M，直 +bx+ca0y=m 与 x 平行，且与抛物 交于点 A 和点 B，如果 AMB 等腰直角三角形，我 把抛物 上 A、B 两点之 部分与 段 AB 成的 形称 抛物 的准蝶形， 点 M 称 碟 ， 段 AB 的 称 碟 yABy=mABMMOx准蝶形 AMB（ 1）抛物 y1 x2 的碟 ，抛物 y=ax2（a

19、0）的碟 2（ 2）如果抛物 y=a(x1)2 6a（a0）的碟 6，那么 a=（ 3）将抛物 yn n 2 nn（n ）的准蝶形 Fn（， ， ，），我 定 F1，2，=a x +b x+ca 0n=12 3FFn 相似准蝶形，相 的碟 之比即 相似比如果Fn 与 Fn-1 的相似比 1 ，且 Fn 的2碟 是 Fn-1 的碟 的中点， 在将（ ）中求得的抛物 1，其 的准蝶形 2y.F1 求抛物 y2 的表达式； 判断 F1 ，F2，Fn 的碟 的右端点是否在一条直 上？如果是，直接写出 直 的表达式；如果不是， 明理由解析：29（本小 分 8 分）解：（ 1 ） 4 ， 2 ；2 分a（

20、 2 ） 1 ； 3 分3（ 3） F1 的碟 F2 的碟 =2： 1， 2 : 2 2 . a1 a2 1 a1= 1 ，3 a 2 = 2 . 4分3F 2 的碟 坐 （ 1 ， 1 ），5又y2由 意得分2 x 11 . 6 分23 F 1 ， F 2 ， ， F n 的碟 的 右端 点在一 条直 上 ； 7分其解析式 y= x+5 8 分石景山 29在平面直角坐 系 xOy 中，点 A 在直 l 上，以 A 心， OA 半径的 与 y 轴的另一个交点 E 出如下定 ：若 段 OE ， A 和直 l 上分 存在点 B ，点 C 和.点 D ，使得四边形 ABCD 是矩形（点 A, B,

21、C , D 顺时针排列），则称矩形 ABCD 为直线 l 的 “理想矩形 ”例如 ,下图中的矩形 ABCD 为直线 l 的“理想矩形 ”yyClEBD876543AOx21-4-3-2-1O1234567x-1-2-3-4-5-6-7备用图（1）若点 A( 1,2) ，四边形 ABCD 为直线 x1 的 “理想矩形 ”，则点 D 的坐标为；（ 2）若点 A(3, 4) ，求直线 ykx1 (k0) 的“理想矩形 ”的面积；（ 3）若点 A(1, 3) ，直线 l 的 “理想矩形 ”面积的最大值为，此时点 D 的坐标为解析：29解：（ 1） D1,0 2分y12（ 2） AO, AC ， 点 A

22、 作 AFy 于点 F 则 ACAO5， AF3 Q EF3145l10y= kx+1C8B6D4FA(3,4)2 11 EAE3 25O510x1520252在 RtAEB 中，由勾股定理4AB3 2 在 Rt ABC 中，由勾股定理得， BC7 ABBC 3 14ABCD面 所求 “理想矩形 ”5 分.（3） “理想矩形 ”面 的最大 是56 分D1, 2 或 3, 2 8分延庆 29. 对于平面直角坐标系 xOy 中的点 P 和线段 AB，给出如下定义：在线段 AB 外有一点P，如果在线段 AB 上存在两点 C、D，使得 CPD=90，那么就把点 P 叫做线段 AB 的悬垂点（1）已知点

23、 A（ 2， 0），O（ 0， 0）若 C (1,1) ，D（ 1，1），E（1，2），在点 C，D，E 中，线段 AO 的悬垂点是 _；2如果点 P（ m，n）在直线 yx1上，且是线段AO 的悬垂点，求 m 的取值范围；（2）如下图是帽形 M（半圆与一条直径组成，点 M 是半圆的圆心），且圆 M 的半径是 1，若帽形内部的所有点是某一条线段的悬垂点，求此线段长的取值范围.解析：29.-2 分（1）线段AO 的悬垂点是C，D；（2）以点D 为圆心，以1 为半径做圆，设 yx 1与 D交于点 B ，C与 x 轴， y 轴的交点坐标为（ 1,0），（ 0， -1） ODB=45 DE=BE-3分在 Rt DBE 中，由勾股定理得：DE=22-4分 12m12 且 m1 -6分22（3）设这条线段的长为a当当当a 2 时，如图 1，凡是 D 外的点不满足条件；a 2 时，如图 2，所有的点均满足条件； a 2 时，如