2014年高考辽宁文科科数学试题及答案(word解析版)

1、2014年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁）数学（文科）第卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（1）【2014年辽宁，文1，5分】已知全集，则集合（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】，故选D【点评】本题考查了集合的并集、补集运算，利用数轴进行数集的交、并、补运算是常用方法（2）【2014年辽宁，文2，5分】设复数满足，则（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】由，得：，故选A【点评】本题考查了复数代数形式的除法运算，是基础的计算题（3）【2014年辽宁，文3，5分】已知，则（ ）（A） （B

2、） （C） （D）【答案】D【解析】，故选D【点评】本题考查指数的运算性质和对数的运算性质，在涉及比较两个数的大小关系时，有时借助于0、1这样的特殊值能起到事半功倍的效果，是基础题（4）【2014年辽宁，文4，5分】已知表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（ ）（A）若，则 （B）若，则 （C）若，则 （D）若，则【答案】B【解析】A：若，则，相交或平行或异面，故A错；B若，则，故B正确；C若，则或，故C错；D若，则或或，故D错，故选B【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系，考查直线与平面的平行、垂直的判断与性质，记熟这些定理是迅速解题的关键，注意观察空间的直线与平面的模型（5）【2

3、014年辽宁，文5，5分】设是非零向量，已知命题：若，则；命题：若，则，则下列命题中真命题是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】若，则，即，则不一定成立，故命题为假命题，若，则，故命题q为真命题，则，为真命题，都为假命题，故选A【点评】本题主要考查复合命题之间的判断，利用向量的有关概念和性质分别判断，的真假是解决本题的关键（6）【2014年辽宁，文6，5分】若将一个质点随机投入如图所示的长方形中，其中， ，则质点落在以为直径的半圆内的概率是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】B【解析】，故选B【点评】本题主要考查几何槪型的概率的计算，求出对应的图形的面积是解决本题的关

4、键，比较基础（7）【2014年辽宁，文7，5分】某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】由三视图知：几何体是正方体切去两个圆柱，正方体的棱长为2，切去的圆柱的底 面半径为1，高为2，几何体的体积，故选C【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键（8）【2014年辽宁，文8，5分】已知点在抛物线：的准线上，记的焦点为，则直线的斜率为（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】点在抛物线：的准线上，直线的斜率为，故选C【点评】本题考查抛物线的性质，考查直线斜率的计算，考查学生

5、的计算能力，属于基础题（9）【2014年辽宁，文9，5分】设等差数列的公差为，若数列为递减数列，则（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】等差数列的公差为，又数列为递减数列，故选D【点评】本题考查了等差数列的通项公式、数列的单调性、指数函数的运算法则等基础知识与基本技能方法，属于中档题（10）【2014年辽宁，文10，5分】已知为偶函数，当时，则不等式的解集为（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】当，由，即，则，即，当时，由， 得，解得，则当时，不等式的解为，（如图）则由为偶函数，当时，不等式的解为，即不等式的解为或，则由或，解得或，即不等式的解集为或，故选A【点

6、评】本题主要考查不等式的解法，利用分段函数的不等式求出时，不等式的解是解决本题的关键（11）【2014年辽宁，文11，5分】将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（ ）（A）在区间上单调递减 （B）在区间上单调递增 （C）在区间上单调递减 （D）在区间上单调递增【答案】B【解析】把函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式为：即由，得，取，得所得图象对应的函数在区间上单调递增，故选B【点评】本题考查了函数图象的平移，考查了复合函数单调性的求法，复合函数的单调性满足“同增异减”原则，是中档题（12）【2014年辽宁，文12，5分】当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是

7、（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】当时，不等式对任意恒成立；当时，可化为，令，则（*），当时，在上单调递增，；当时，可化为，由（*）式可知，当时，单调递减，当时，单调递增，；综上所述，实数的取值范围是，即实数的取值范围是，故选C【点评】本题考查利用导数研究函数的最值，考查转化思想、分类与整合思想，按照自变量讨论，最后要对参数范围取交集；若按照参数讨论则取并集第II卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分（13）【2014年辽宁，文13，5分】执行右侧的程序框图，若输入，则输出 【答案】【解析】由程序框图知：算法的功能是求的值，当输入时，跳出循环的值为4，输出【点

8、评】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键（14）【2014年辽宁，文14，5分】.已知，满足条件，则目标函数的最大值为 【答案】【解析】由约束条件作出可行域如图，联立，解得，化目标函数为直线方程的斜截式，得：由图可知，当直线过点时，直线在轴上的截距最大，即最大【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题（15）【2014年辽宁，文15，5分】已知椭圆：，点与的焦点不重合，若关于的焦点的对称点分别为，线段的中点在上，则 【答案】12【解析】如图：的中点为，易得，在椭圆上， ，【点评】本题考查椭圆的定义，椭圆的基本性质的应用，基本知

9、识的考查（16）【2014年辽宁，文16，5分】对于，当非零实数满足，且使最大时，的最小值为 【答案】【解析】，由柯西不等式得，故当最大时，有，当时，取得最小值为【点评】本题考查了柯西不等式，以及二次函数的最值问题，属于难题三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（17）【2014年辽宁，文17，12分】在中，内角，的对边，且，已知，求：（1）和的值；（2）的值解：（1）由得又，所以由余弦定理得又因为，所以解得或因为， （2）在中，由正弦定理得，所以因为，所以角为锐角【点评】此题考查了正弦、余弦定理，平面向量的数量积运算，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键（18

10、）【2014年辽宁，文18，12分】某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：喜欢甜品不喜欢甜品合计南方学生602080北方学生101020合计7030100 （1）根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；（2）已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率0.1000.0500.0102.7063.8416.635附：，解：（1）由题意，有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”（2）从这5

11、名学生中随机抽取3人，共有种情况，有2名喜欢甜品，有种情况，至多有1人喜欢甜品的概率【点评】本题考查独立性检验的应用，考查古典概型及其概率计算公式，考查学生的计算能力，属于中档题（19）【2014年辽宁，文19，12分】如图，和所在平面互相垂直，且，、分别为、的中点（1）求证：EF平面BCG；（2）求三棱锥DBCG的体积附：椎体的体积公式，其中为底面面积，为高解：（1），为的中点，同理，平面，平面 （2）在平面内，作，交的延长线于，和所在平面互相垂直，平面，为的中点到平面的距离是长度的一半在中，【点评】本题考查线面垂直，考查三棱锥体积的计算，正确转换底面是关键（20）【2014年辽宁，文20，

12、12分】圆的切线与轴正半轴，轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为（如图）（1）求点的坐标；（2）焦点在轴上的椭圆过点，且与直线：交于、两点，若的面积为2，求的标准方程解：（1）解法一： 设圆半径，点上下两段线段长分别为，由射影定理得：，三角形面积， 仅当时，取最大值，这时解法二：设切点的坐标为，且，则切线的斜率为，故切线方程为，即此时，切线与轴正半轴，轴正半轴围成的三角形的面积再根据，可得当且仅当，故点的坐标为（2）设椭圆方程，椭圆过点得：，则到直线 的距离由题得：，解得由弦长公式得，即把点代入方程得：，由得，整理得，代入上式得，即，解得，或，（舍），所以椭圆方程为：【点评】本

13、题主要考查直线和圆相切的性质，直线和圆锥曲线的位置关系，点到直线的距离公式、弦长公式的应用，属于难题（21）【2014年辽宁，文21，12分】已知函数，证明：（1）存在唯一，使； （2）存在唯一，使，且对（1）中的解：（1），在上有零点， ，在上单调递增（2）， ，设，则与的零点同，由（1）知，在上只有一个零点，且在点左负右正 在点左侧递减，在点右侧递增，且，故，存在唯一，使得，即，即，所以在上存在唯一零点，且【点评】本题考查零点的判定定理，涉及导数法证明函数的单调性，属中档题请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时

14、，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑（22）【2014年辽宁，文22，10分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，交圆于、两点，切圆于，为上一点且，连接并延长交圆于点，作弦垂直，垂足为 （1）求证：为圆的直径；（2）若，求证：解：（1）为圆的切线， 又，为直径（2）连接，在，由（1） 【点评】本题考查圆的切线的性质，考查三角形全等的证明，考查直径所对的圆周角为直角，属于中档题（23）【2014年辽宁，文23，10分】（选修4-4：坐标系与参数方程）将圆上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线（1）写出的参数方程；（2）设直线与的交点为，以坐标原点为极点，轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段的中点且与垂直的直线的极坐标方程解：（1）设为圆上任意一点，按题中要求变换后的点根据题意得，所以由得故的参数方程为（为参数）（2）由解得或不妨设