2017-2018学年天津市南开区高二下学期期末考试数学(理)试题 解析版

1、绝密启用前天津市南开区2017-2018学年高二（下）期末考试数学（理）试题评卷人得分一、单选题1复数是虚数单位的虚部是A B 1 C D i【答案】B【解析】【分析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，从而可得答案【详解】，复数的虚部是1故选B【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的摸这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.2定积分的值为A B 3 C D 【答案】C【解析】【分析】

2、直接利用微积分基本定理求解即可【详解】由微积分基本定理可得，故选C【点睛】本题主要考查微积分基本定理的应用，意在考查对基础知识的掌握情况，属于基础题3曲线在点处的切线方程是A B C D 【答案】B【解析】【分析】求出导函数，把代入导函数，可求出切线的斜率，根据的坐标和直线的点斜式方程可得切线方程【详解】由可得，切线斜率，故切线方程是，即故选B【点睛】本题主要考查利用导数求曲线切线方程，属于简单题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点 出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在 处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.4三张卡片的正反面分别写有1和2,3和

3、4,5和6，若将三张卡片并列，可得到不同的三位数(6不能作9用)的个数为()A8 B6 C14 D48【答案】D【解析】先排首位6种可能，十位数从剩下2张卡中任取一数有4种可能，个位数1张卡片有2种可能，一共有64248(种)5在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回地依次抽取2道题，则在第一次抽到理科题的条件下，第二次抽到理科题的概率为A B C D 【答案】C【解析】【分析】在第一次抽到理科题的条件下，剩余4道题中，有2道理科题，代入古典概型概率公式，得到概率【详解】因为5道题中有3道理科题和2道文科题，所以第一次抽到理科题的前提下，剩余4道题中，有2道理科题，第2次抽到理科题的概率

4、为故选C【点睛】本题考查的知识点是古典概型概率公式，分析出基本事件总数和满足条件的事件个数是解答的关键，但本题易受到第一次抽到理科题的影响而出错，容易按独立事件同时发生的概率求解6已知离散型随机变量，若随机变量，则的数学期望的值为A 100 B 90 C 18 D 【答案】B【解析】【分析】先利用二项分布的期望公式求得，由离散型随机变量的数学期望的性质，可求出随机变量的数学期望【详解】由题设离散型随机变量，若随机变量，故选B【点睛】“求期望”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望对于某些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布（如二项分布），则此随机变量的期望可直接利用

5、这种典型分布的期望公式()求得因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度7若复数所表示的点在第一象限，则实数m的取值范围是A B C D 【答案】C【解析】【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简复数，再由实部与虚部均大于0联立不等式组求解即可.【详解】表示的点在第一象限，解得实数的取值范围是故选C【点睛】本题主要考查的是复数的乘法、乘方运算，属于中档题解题时一定要注意和以及 运算的准确性，否则很容易出现错误8设随机变量，且，则实数a的值为A 10 B 8 C 6 D 4【答案】D【解析】【分析】根据随机变量符合正态分布，从表达式上看出正态曲线关于对称，得到对称区间的数据对应的概率是相

6、等的，根据两个区间的概率相等，得到这两个区间关于对称，从而得到结果【详解】随机变量，正态曲线关于对称，与关于对称，解得，故选D【点睛】本题主要考查正态曲线的对称性，考查对称区间的概率的相等的性质，是一个基础题正态曲线的常见性质有：（1）正态曲线关于对称，且越大图象越靠近右边，越小图象越靠近左边；（2）边越小图象越“痩长”，边越大图象越“矮胖”;(3)正态分布区间上的概率，关于对称，.9函数在区间上存在极值点，则实数a的取值范围为A B C D 【答案】A【解析】【分析】求得，函数在区间上存在极值点在区间上有解，从而可得结果【详解】，函数在区间上存在极值点在区间上有解令，解得或，或，解得：，或，

7、实数a的取值范围为故选A【点睛】本题考查了利用导数研究函数的极值，考查了推理能力与计算能力，意在考查转化与划归思想的应用以及综合所学知识解答问题的能力，属于中档题10从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为 ()A 85 B 56C 49 D 28【答案】C【解析】试题分析：根据题意：，故选C.考点：排列组合.第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分二、填空题11若复数满足，则z的模等于_【答案】【解析】【分析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，由此能求出【详解】复数满足，故答案为1【点睛】

8、复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的摸这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.12函数在处的导数值是_【答案】【解析】【分析】利用导数的运算法则及导数的公式求出导函数，再令导函数中的，即可求出导数值【详解】因为函数所以所以在处的导数值是，故答案为.【点睛】本题主要考查导数的运算法则以及基本初等函数的导数，属于简单题. 求函数的导数值时，先根据函数的形式选择合适的导数运算法则及导数公式，再求导数值13若，则_【答案】【解

9、析】令，得到，令，得到，故.14一射手对同一目标独立地进行4次射击，已知至少命中一次的概率为，则此射手的命中率是_【答案】【解析】【分析】设此射手每次射击命中的概率为，由独立事件的概率与对立事件的概率可得，射击四次全都没有命中的概率为，解方程可求出的值【详解】设此射手每次射击命中的概率为，分析可得，至少命中一次的对立事件为射击四次全都没有命中，由题意可知一射手对同一目标独立地射击四次全都没有命中的概率为则，可解得，故答案为【点睛】本题主要考查独立事件同时发生的概率公式以及对立事件的概率公式，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题15函数由下表定义：x2531412345若，1，2，

10、则_【答案】【解析】【分析】由表格可知：，由于，1，2，可得，利用周期性可得结果【详解】由表格可知：，又，1，2，数列的周期为4；故答案为1【点睛】本题考查了函数的表示方法、数列的周期性，考查了归纳推理以及利用递推公式求数列中的项，属于中档题利用递推关系求数列中的项常见思路为：（1）项的序号较小时，逐步递推求出即可；（2）项的序数较大时，考虑证明数列是等差、等比数列，或者是周期数列.评卷人得分三、解答题16已知在的展开式中，第6项为常数项求n的值；求展开式的所有项的系数之和；求展开式中所有的有理项【答案】（I）；（II）；（III）有理项分别为，；.【解析】【分析】在二项展开式的第六项的通项公

11、式中，令的幂指数等于0，求出的值；在二项展开式中，令，可得展开式的所有项的系数之和； 二项式的展开式的通项公式为，令为整数，可求出的值，即可求得展开式中所有的有理项【详解】在的展开式中，第6项为为常数项，在的展开式中，令，可得展开式的所有项的系数之和为二项式的展开式的通项公式为，令为整数，可得，5，8，故有理项分别为，；【点睛】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（

12、3）二项展开式定理的应用.17已知，用分析法证明：【答案】见解析【解析】试题分析:用分析法证明不等式成立的充分条件成立,要证原命题,只要证,即只要证，进而展开化简,可得只要证明，故得证.试题解析:要证只需证 因为，所以不等式两边均大于零因此只需证，即证 只需证 只需证，即证 只需证，而显然成立，所以原不等式成立.点睛: 从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件，定理，定义，公理等)为止，这种证明方法叫做分析法综合法是利用已知条件和某些数学定义，公理，定理等，经过一系列推理论证，最后推导出所要证明的结论成立的方法18用数学归纳

13、法证明：【答案】详见解析【解析】【分析】用数学归纳法进行证明，先证明当时，等式成立再假设当时等式成立，进而证明当时，等式也成立.【详解】当时，左边右边，等式成立假设当时等式成立，即当时，左边当时，等式也成立综合，等式对所有正整数都成立【点睛】数学归纳法常常用来证明一个与自然数集相关的性质，其步骤为：设是关于自然数的命题，（1）奠基在时成立；（2）归纳在为任意自然数成立的假设下可以推出成立，则对一切自然数都成立19甲、乙两人进行某项对抗性游戏，采用“七局四胜”制，即先赢四局者为胜，若甲、乙两人水平相当，且已知甲先赢了前两局求乙取胜的概率；记比赛局数为X，求X的分布列及数学期望【答案】（I）；（I

14、I）详见解析【解析】【分析】乙取胜有两种情况一是乙连胜四局，二是第三局到第六局中乙胜三局，第七局乙胜，由互斥事件的概率公式与根据独立事件概率公式能求出乙胜概率；由题意得，5，6，7，结合组合知识，利用独立事件概率公式及互斥事件的概率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得的数学期望.【详解】乙取胜有两种情况一是乙连胜四局，其概率，二是第三局到第六局中乙胜三局，第七局乙胜，其概率，乙胜概率为由题意得，5，6，7，所以的分布列为4567P【点睛】本题主要考查互斥事件的概率公式、独立事件同时发生的概率公式以及离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题. 求解数学期望问题，

15、首先要正确理解题意，其次要准确无误的找出随机变量的所有可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关.20已知函数，其中当时，求曲线在点处的切线方程；当时，若在区间上的最小值为，求a的取值范围；若，且，恒成立，求a的取值范围【答案】（I）；（II）；（III）.【解析】【分析】求出,由的值可得切点坐标，求出的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线在点处的切线方程；确定函数的定义域，求导函数，分类讨论，利用导数确定函数的单调性，利用单调性求得函数在区间上的最小值为，即可求的取值范围；设，则，对任意，且恒成立，等价于在上单调递增，由此可求的取值范围【详解】当时，因为，所以切线方程为函数的定义域为当时，令，即，所以或当，即时，在上单调递增，所以在上的最小值是；当时，在上的最小值是，不合题意；当时，在上单调递减，所以在上的最小值是，不合题意综上可得设，则，对任意，且恒成立，等价于在上单调递增.而，当时，此时在单调递增；当时，只需在恒成立，因为，只要，则需要，对于函数，过定点，对称轴，只需