理论力学：理力五六七章总结

1、机械振动基础当描述系统的一组参数在某一固定值附近往复变化时，称之为振动。振动是社会生活和工程问题中普遍存在的一种现象，力学和机械系统中的振动称为机械振动。在研究一个具体的力学或机械系统的振动时，常常将系统抽象为较简单的力学模型，利用力学理论建立系统的运动方程，然后利用数学工具求解，分析结果并与实验结果进行比较。机械振动理论作为动力学的一个专题，现已发展成为一个独立的分支学科。在理论力学中仅仅限于介绍一些振动理论中常用的方法及对一些振动现象作简单讨论。一、线性振动系统的弹簧-质量模型在力学系统中，产生振动的基本要素是有质量的物体和产生弹性恢复力的元件。所以在机械振动研究中，都是将系统抽象成弹簧-

2、质量模型。二、 弹簧质量系统的自由振动系统受初始扰动，仅在恢复力作用下产生的振动称为自由振动。如果将坐标原点取在系统的静平衡位置，单自由度系统的振动微分方程都可以写成如下标准形式： (13-1)对于弹簧-质量系统，其中m是物块的质量，k是弹簧的刚度系数，称为系统的固有频率，写出系统的标准振动(微分)方程（131），就可以求解出系统的固有频率。由常微分方程理论，上述方程有如下形式的解： (13-2)其中是积分常数，由运动的初始条件(也称初始扰动)确定。显然，系统的运动是以静平衡位置为中心的简谐运动。值得一提的是，如果坐标原点不是取在系统的静平衡位置，则系统的运动微分方程会略为复杂一点，但最终得出

3、的解仍然表示系统以静平衡位置为中心作简谐振动。所以系统的运动规律与坐标系的选取无关。不过，在机械振动理论中，不论是单自由度，还是多自由度或连续体，一般都是取系统的静平衡位置为坐标原点，这样选取可使得方程和解的表达式较简洁。三、振动系统的特征量周期：系统振动一次所需的时间，记为T，其单位是秒(s)。频率：每秒内振动的次数，记为，其单位是赫兹(Hz)，1Hz表示每秒振动一次。振幅：系统偏离静平衡位置的最大距离，此处记为A。相位：称为相位，它决定了系统在瞬时t的状态(位置)。是瞬时t=0的相位，称为初相位。系统的自由振动有以下特点：系统自由振动的角频率、频率和周期完全决定于系统的结构参数(对于质量-

4、弹簧系统，是质量块的质量和弹簧的刚度系数)，而与运动的初始条件无关。因此，又称为系统的固有频率。系统自由振动的振幅与初相位则与运动的初始条件有关。四、单自由度质点系的微幅自由振动一个在势力场中的单自由度质点系以稳定平衡位置为中心作微幅自由振动时。其运动微分方程可由拉格朗日方程导出。取广义坐标为x，在经过线性化后，方程有如下形式： （133）其中：称为等效质量，称为等效刚度系数。记：，则方程就完全等同于单自由度的质量-弹簧系统。所以一个保守力场中的单自由度质点系在稳定平衡位置的微幅自由振动可以等效化成质量弹簧力学模型。五、单自由度系统的阻尼振动考虑一类粘滞阻力(也称线性阻力)，即阻力大小与速度成

5、正比，方向与速度方向相反，表示成数学形式则为：。其中常数c称为粘阻系数，值与介质和振动系统的几何形状有关，可由实验确定。单自由度粘滞阻力系统的阻尼振动模型可简化为一个带阻尼的质量-弹簧振子。以静平衡位置为坐标原点，运动微分方程为 (134)其中：称为阻尼系数。该方程为单自由度系统阻尼振动的标准形式。由微分方程理论知道，上述方程的解具有如下三种形式：(1) 当 (欠阻尼)时： 其中是积分常数，由运动的初始条件确定。从解的形式可以看出，欠阻尼情况下的系统运动是一种振幅衰减的振动，幅值随时间按指数规律减小；振动频率为，它小于系统固有频率。阻尼振动的周期严格说来，衰减振动不是周期运动。由于位移-时间图

6、上的两个相邻波峰的间隔时间相等，所以习惯上仍将该时间间隔称为衰减振动的周期，其值为：。当时，可近似认为：。 (2) 当 (过阻尼)时：(3) 当 (临界状态)时：对于后面的这两种情况，系统的运动已没有往复性，随着时间的延续，系统渐趋向平衡位置。六、单自由度系统的无阻受迫振动对于正弦型干扰力，系统不存在(或不计)阻力时，受迫质量弹簧系统的运动微分方程为 (13-5)式中：。由线性微分方程理论知，该方程的解是其齐次方程的通解和非齐次方程的特解的迭加。方程的通解为 (13-6)其中是积分常数，由初始条件决定。对解稍作分析就可以看出，系统的运动是两部分的合成。第一部分是以系统的固有频率所作的振动，且振

7、幅和相位由系统的初始条件确定，称为自由振动项；第二部分以激励频率振动，称为受迫振动项。振动研究中一个倍受关注的问题就是受迫振动项的振幅与激振频率的关系。受迫振动项的振幅与激振频率的关系曲线称为幅频特性曲线。不难看出，当系统的固有频率与激振频率很接近时，受迫振动项的振幅会变得很大。我们将时的振动称为共振。共振时，方程的通解为： (13-7)可以看出，受迫振动项的振幅随时间不断增大，这将引起系统的毁坏。在实际问题中总是存在阻尼的，阻尼会限制振幅的无限制增大。另外，当振幅较大时，会产生非线性效应，这些都会限制振幅的无限制增大。七、单自由度系统的有阻受迫振动在粘滞阻尼的情况下，系统强迫振动的运动微分方

8、程为 (13-8)仍然考虑小阻尼的情况，该方程通解为 (13-9)其中，是积分常数，由初始条件决定。解中的第一部分称为衰减振动，即它会随时间很快衰减掉(如果是临界阻尼或大阻尼情况，这一部分会衰减得更快)。剩下的第二部分为受迫振动。由于阻尼存在，受迫振动的振幅不再无限增大。不难看出，当阻尼增大时，振幅显著下降。在阻尼存在时，当时，振幅具有极大值，所以对于有阻尼的受迫振动，共振频率是。如果阻尼很小，仍可近似地认为共振频率为。八、隔振与减振研究振动的主要目的是消除或减轻振动的危害，工程上常用隔振或减振措施。隔振是将振源与需要防振的设备用隔振器隔离。如果被隔离的是振源，称之为主动隔振；如果被隔离的是设

9、备，称之为被动隔振；减振是指减小干扰力的力幅或受迫振动的振幅，这可通过消除或减弱振源、调整固有频率以避免在共振区内工作或增大阻尼等措施来实现。九、二自由度系统的线性自由振动对于多自由度质点系，通常是利用拉格朗日方程来列写系统的运动微分方程。二自由度线性系统的自由振动模型可以等效成二自由度的质量-弹簧系统。其运动微分方程为： (13-10)设该方程的解具有形式将其代入方程，可得： （13-11）该方程具有非零解的条件是： （13-12）这就是特征方程，也称频率方程。从特征方程中可以解出，代回方程（13-11）再解出与之比。称为系统的固有频率，称为系统的固有振型(或模态)，通常取。对于二自由度系统

10、，由线性代数理论，有如下的结果：(1) 系统有两个固有频率；(2) 对于每个固有频率，都对应有一个振型；(3) 固有频率和振型取决于系统的参数，与初始条件无关；(4) 如果两个固有频率重合：，则对应于该固有频率就有两个不同的振型；(5) 如果是运动方程的解，则也是方程的解。综上所述，再由线性方程的解的叠加性，可以得到二自由度线性振动的通解：其中是积分常数，由初始条件确定。以上结果可以推广到多自由度线性系统。拉格朗日方程从虚位移原理可以得到受理想约束的质点系不含约束力的平衡方程，而动静法(达朗贝尔原理)则将列写平衡方程的静力学方法应用于建立质点系的动力学方程，将这两者结合起来，便可得到不含约束力

11、的质点系动力学方程,这就是动力学普遍方程。而拉格朗日方程则是动力学普遍方程在广义坐标下的具体表现形式。拉格朗日方程可以用来建立不含约束力的动力学方程，也可以用来在给定系统运动规律的情况下求解作用在系统上的主动力。如果要想求约束力，可以将拉格朗日方程与动静法或动量定理(或质心运动定理)联用。通常，我们将牛顿定律及建立在此基础上的力学理论称为牛顿力学(也称矢量力学)，将拉格朗日方程及建立在此基础上的理论称为拉格朗日力学。拉格朗日力学通过位形空间描述力学系统的运动，它适合于研究受约束质点系的运动。拉格朗日力学在解决微幅振动问题和刚体动力学的一些问题的过程中起了重要的作用。本章内容有：动力学普遍方程；

12、拉格朗日方程；拉格朗日方程的首次积分。 一、动力学普遍方程将动静法与虚位移原理结合，就得到了动力学普遍方程：受有理想约束的质点系在运动过程中，其上所受的主动力和惯性力在质点系的任何虚位移上所做的虚功之和为零。动力学普遍方程尽管被称之为方程，但在实际应用时，我们更应将它视为一个原理：动力学普遍原理，它指导我们列写动力学方程。如果你能熟练应用虚位移原理，则动力学普遍方程的应用将是一个很熟识的过程：在考虑系统的主动力的同时再加入系统的惯性力，然后对该力系应用虚位移原理。在实际应用中，当加入系统的惯性力时，常常要补充运动学方程：系统的速度、加速度之间的关系。运用动力学普遍方程建立的独立的动力学方程的个

13、数等于系统的自由度，这一点也是与虚位移原理相同。一般而言，如果要建立系统在特殊位置的动力学关系，可以考虑应用动力学普遍方程。如果要建立系统在任意一般位置的动力学关系，则应考虑应用拉格朗日方程。二、拉格朗日方程拉格朗日方程是动力学普遍方程在广义坐标下的具体表现形式。在教材中,拉格朗日方程有三种形式,分别对应着一般情况、主动力有势以及主动力部分有势的情况。 (1) 拉格朗日方程的一般形式是： （111）其中：T是系统的以广义坐标和广义速度表示的动能，是所有主动力对应于广义坐标的广义力。(2) 当作用于系统上的所有主动力和内力均为有势力时，拉格朗日方程可以写成如下形式： （112）此处：，V是系统的

14、以广义坐标表示的势能。L称为拉格朗日函数，也称动势。(3) 当作用于系统上的所有主动力和内力部分为有势力时，拉格朗日方程可以写成如下形式： （113）此处：为所有非有势力对应于广义坐标的广义力，所有的有势力计入系统的拉格朗日函数。从拉格朗日方程的形式看，应用拉格朗日方程时只涉及速度分析，不涉及更复杂的加速度分析。所以如果问题中不要求求解约束力，则拉格朗日方程是一个很好的选择。三、广义力的计算方法一：为求出非有势力对应于广义坐标的广义力，可取特殊的虚位移，而其余的，求出所有非有势力在该虚位移上所做的虚功，则应有由此可得出在下一节的例子中我们将看到它的应用。方法二：如果系统上作用的主动力的作用位置

15、是,(i=1,.,n)，将其表示成广义坐标的函数：则对应于广义坐标的广义力可由如下公式求出：四、拉格朗日方程的首次积分拉格朗日方程是一组二阶常微分方程。一般情况下，方程是非线性的，求解很困难。但对某些类型的系统，可以利用系统的特性给出某些首次积分，使部分二阶常微分方程降阶，这对整个微分方程组的定性分析和数值求解都是很有帮助的。拉格朗日方程是对受理想约束的动力学系统建立的方程，所研究的系统的范围有所缩小，较之牛顿力学的方程，拉格朗日方程包含的信息增加，所以更容易寻找首次积分。对于势力场中的拉格朗日方程，存在两类首次积分：循环积分和首次积分。（1）循环积分一般而言，拉格朗日函数L会显含所有广义速度

16、，但可能会不显含某些广义坐标，在这种场合我们可得到循环积分，L中显缺的广义坐标称为循环坐标。设质点系的前r个坐标是循环坐标，则有循环积分 （114）称为对应于广义坐标的广义动量(j=1,.,r)。循环积分的力学意义就是：对应于循环坐标的广义动量守恒。（2）能量积分系统的动能是广义坐标和广义速度以及时间t的函数。可以将动能分解成如下形式： （115）其中、和分别为动能关于广义速度的二次齐次函数、一次齐次函数和零次齐次函数。如果在拉格朗日函数中不显含时间t，则有能量积分 （116）该积分表示了质点系的部分能量之间的关系，称之为广义能量积分。它同机械能守恒定理是有区别的。该积分常出现在相对于非惯性系

17、运动的质点系中。对于定常约束，能量积分的形式为： （117）这就是通常意义下的势力场中系统的机械能守恒定律。刚体的定点运动与一般运动刚体的定点运动与一般运动属于刚体的三维运动,在本章首先研究其运动学,然后在研究其动力学一、定点运动刚体的运动学刚体的定点运动：刚体在运动时，如果其或其延展体上有一点不动，则称这种运动为刚体的定点运动。（1） 刚体定点运动的运动方程。确定定点运动刚体在空间的位置可用欧拉（Euler）角表示，它们分别是进动角，章动角，自转角。刚体定点运动的运动方程为 （121）（2）刚体定点运动的角速度和角加速度。定点运动刚体的角速度可表示成 （122）刚体角速度矢量平行于瞬时转轴。

18、定点运动刚体的角加速度定义为： （123）一般情况下角速度矢量的大小和方向都随时间变化，因此角加速度矢量和角速度矢量不平行。（3）定点运动刚体上各点的速度和加速度。定点运动刚体上任意点M的速度可表示成 （124）其中：r为由定点O引向点M的矢径。定点运动刚体上任意点M的加速度可表示成 （125）上式中等号右端第一项定义为转动加速度，第二项定义为向轴加速度。（4）刚体定点运动的位移定理：定点运动刚体的任何有限位移，可以绕过定点的某一轴经过一次转动而实现。二、定点运动刚体的动力学（1） 定点运动刚体的动量矩。定点运动刚体对固定点O的动量矩定义为： （126）其中：分别为刚体上的质量微团的矢径和速度，为刚体的角速度。当随体参考系的三个轴为惯量主轴时，上式可表示成 （127）（2）定点刚体的欧拉动力学方程。应用动量矩定理可得到定点运动刚体的欧拉动力学方程 （128）（3）陀螺近似理论。绕质量对称轴高速旋转的定点运动刚体成为陀螺。若陀螺绕的自旋角速度为，进动角速度为，为陀螺对质量对称轴的转动惯量，则陀螺的动