九上 一元二次方程(讲义)

1、第二章 一元二次方程1.认识一元二次方程概念：只含有一个未知数，并且可以化为 (为常数，)的整式方程叫一元二次方程。构成一元二次方程的三个重要条件：、方程必须是整式方程(分母不含未知数的方程)。如：是分式方程，所以不是一元二次方程。、只含有一个未知数。、未知数的最高次数是2次。例1 下列关于的方程，哪些是一元二次方程？；（3）；（4）；（5）例2 已知关于的方程是一元二次方程时，则 2.一元二次方程的一般形式一般形式： ()，系数中，一定不能为0，、则可以为0，所以以下几种情形都是一元二次方程：、如果，则得，例如：；、如果，则得，例如：；、如果，则得，例如：；、如果，则得，例如：。其中，叫做二

2、次项，叫做二次项系数；叫做一次项，叫做一次项系数；叫做常数项。任何一个一元二次方程经过整理(去括号、移项、合并同类项)都可以化为一般形式。3.一元二次方程的解法(1)、直接开方法：若，则叫做a的平方根，表示为，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。（1）的解是；（2）的解是；（3）的解是 (2)、配方法：解一元二次方程时，在方程的左边加上一次项系数一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种方法叫做配方。用配方法解二次项系数为1的一元二次方程用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤：1. 在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数；2. 把原方程变为的形

3、式。3. 若，用直接开平方法求出的值，若n0，原方程无解。例 解下列方程： 用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程当一元二次方程的形式为时，用配方法解一元二次方程的步骤：（1）先把二次项的系数化为1：方程的左、右两边同时除以二项的系数；(2) 移项：在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数，把原方程化为的形式；（3）若，用直接开平方法或因式分解法解变形后的方程。例 用配方法解下列方程：（1）； （2）(3)、公式法：一元二次方程的求根公式是：用求根公式法解一元二次方程的步骤是：（1）把方程化为的形式，确定的值（注意符号）；（2）求出=的值；（3）若=，则把及的值代人求根公式，求出

4、和，若=，则方程无解。例 用公式法解下列方程（1）； （2）； （3）(4)、分解因式法：【1】提公因式分解因式法：解方程：【2】运用公式分解因式法：解方程：【3】十字相乘分解因式法(简单、常用、重要的一元二次方程解法)：注意：在解方程时，千万注意不能把方程两边都同时除以一个含有未知数的式子，否则可能丢失原方程的根。用适当的方法解下列一元二次方程：（1）；（2）；（3）【4】其它常见类型举例：4.一元二次方程的应用数字问题1一个两位数字，十位数字比个位数字大3，而这两个数字之积等于这个两位数字的，若设个位数字为x，则可列出方程_2、两个连续奇数的积是255，则这两个连续奇数为_。3、一个两位数

5、，两个数字之和是9，如果把个位数字与十位数字互换后，再与原数字相乘得1458，设十位数字为X，那么可列出方程_ 面积问题(牢记有关面积的公式，熟练计算组合图形的面积、面积的转化)图51m1m30m20m1、如图5，在宽为20m，长为30m的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地. 根据图中数据，计算耕地的面积为（A） 600m2（B） 551m2（C） 550 m 2 （D） 500m22、如图6是用4个相同的小矩形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知该图案的xy面积为49，小正方形的面积为4，若用x、y表示小矩形的两边长（xy），请观察图案，指出以下关系式中不正确的是 （ ）A

6、、x+y=7 B、x-y=2 C、4xy+4=49 D、x2+y2=25 3、利用13m的铁丝和一面墙，围成一个面积为20m2的长方形，墙作为长方形的长边，求这个长方形的长和宽。设长为xm，可得方程 （ ）A、 B、 C、 D、4.两个正方形，小正方形的边长比大正方形的边长的一半多4cm，大正方形的面积比小正方形的面积的2倍少32cm2，求大小两个正方形的边长。5、如图某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18m），另三边用木栏围成，木栏长35m。鸡场的面积能达到150m2吗？鸡场的面积能达到180m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由。（3）若墙长为m,另三边用竹

7、篱笆围成，题中的墙长度m对题目的解起着怎样的作用?平均增长率(或降低率)问题.其基本关系式：，其中是增长(或降低)的基础量，是平均增长(或降低)率，是增长(或降低)的次数（常考的是两年期，即，），是增长(或降低)后的数量(总量)，增长为“+”，降低为“-”1.为了让江西的山更绿、水更清，2008年省委、省政府提出了确保到2010年实现全省森林覆盖率达到63%的目标，已知2008年我省森林覆盖率为60.05%，设从2008年起我省森林覆盖率的年平均增长率为，则可列方程（ ）A B CD2、党的十六大提出全面建设小康社会，加快推进社会主义现代化，力争国民生产总值到2020年比2000年翻两番。在本

8、世纪的头二十年（2001年2020年），要实现这一目标，以十年为单位计算，设每个十年的国民生产总值的增长率都是x，那么x满足的方程为（ ）A、(1+x)2=2 B、(1+x)2=4 C、1+2x=2 D、(1+x)+2(1+x)=43、某商店第四季度营业额共计36.4万元，已知10月份营业额10万元，求后两个月的平均增长率。若设后两个月的平均增长率为X，则可列出方程_。4、美化城市，改善人们的居住环境已成为城市建设的一项重要内容。我市近几年来，通过拆迁旧房，植草，栽树，修公园等措施，使城区绿地面积不断增加（如图所示）。（1）根据图中所提供的信息回答下列问题：2003年底的绿地面积为 公顷，比2

9、002年底增加了 公顷；在2001年，2002年，2003年这三年中，绿地面积增加最多的是 _年；（2）为满足城市发展的需要，计划到2005年底使城区绿地面积达到72.6公顷，试求今明两绿地面积的年平均增长率。5.王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.（假设不计利息税）6.一个同学经过培训后学会做某项实验，回校后第一节课他教会了若干同学，第二节课会做的同学每人又教会了

10、同样多的同学，这样全班共有36人会做这个实验，求平均每节课每人教会多少人做实验？【传播问题：公式】、商品利润问题(重点).基本公式： 1、单件利润=单 2、总利润=单件利润销售量例题：将进货单价为40元的商品按50元售出时，能卖出500个，已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个。问：为了赚得8000元的利润，售价应定为多少？这时应进货多少个？解法一：设售价定为元，依题意可得： 整理得： 解得： 售价应定为60元或80元.当定为60元时，应进货个；当定为80元时，应进货个；解法二：设上涨元，依题意可得： 整理得： 解得： 售价应定为10+50=60元或30+50=80元.当定为60元时，

11、应进货个；当定为80元时，应进货个；1.某商店如果将进价为8元的商品按10元售出，每天可销售200件，现采用提高售价，减少进货量的方法增加利润。已知这种商品每涨价0.5元，其销售量就减少10件，问应将售价定为多少元时，才能使每天所获利润为640元？2.某超市经销一种成本为40元/kg的水产品，市场调查发现，按50元/kg销售，一个月能售出500kg，销售单位每涨1元，月销售量就减少10kg，针对这种水产品的销售情况，超市在月成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，请你帮忙算算，销售单价定为多少？如果人数超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低20元，但人均旅游费用不得低7

12、00元.如果人数不超过25人，人均旅游费用为1000元.3.春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如图1对话中收费标准.某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元.请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？4.益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价元，则可卖出（35010）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利400元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？5.某西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克。为了促销，该经营户决定降价销售。经调查

13、发现，这种小西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克。另外，每天的房租等固定成本共24元。该经营户要想每天盈利200元，则应将每千克的小型西瓜的售价降低多少元？握手、比赛，互赠问题【握手、比赛问题，不能相互，公式为，互赠问题，可以相互，公式为】1.参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同，共有多少家公司参加商品交易会？2.元旦送贺卡，一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送卡72张，则这小组有多少人？运动问题、动点问题1.已知：如图3-9-3所示，在中，.点从点开始沿边向点以1cm/s的速度移动，点从点开始沿边向点以2cm/s的速度移动.（1）如果分

14、别从同时出发，那么几秒后，的面积等于4cm2？5.常考题型及其相应的知识点：(1)利用一元二次方程的一个已知根求系数及求另一个根问题：例1：关于的一元二次方程有一根为0，则的值为例2：一元二次方程 的一个根为，则另一个根为_.(2)判别式：，方程根的情况：判别式与一元二次方程根的情况：方程有两个不相等的实数根.方程有两个相等的实数根(或说方程有一个实数根).方程没有实数根.例1：关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是_.例2：方程的根的情况是( ).A、只有一个实数根. B、有两个相等的实数根. C、有两个不相等的实数根. D、没有实数根(3)一元二次方程根与系数关系，韦达定理：如果是一元二次方程 ()的两根，根据韦达定理，则有：另外：利用韦达定理求一些重要代数式(、)的值：例2：若方程的两根为，则的值为_.例3：已知关于的一元二次