概率统计课后答案

1、概率论与数理统计 习题解答 1 第第 一一 章章 思思 考考 题题 1事件的和或者差的运算的等式两端能“移项”吗？为什么？ 2医生在检查完病人的时候摇摇头“你的病很重，在十个得这种病的人中只有一个能救 活. ”当病人被这个消息吓得够呛时，医生继续说“但你是幸运的.因为你找到了我，我已 经看过九个病人了，他们都死于此病，所以你不会死” ，医生的说法对吗？为什么？ 圆周率是一个无限不循环小数, 我国数学家祖冲之第一次把它计1415926 . 3 算到小数点后七位, 这个记录保持了 1000 多年! 以后有人不断把它算得更精确. 1873 年, 英国学者沈克士公布了一个的数值, 它的数目在小数点后一

2、共有 707 位之多! 但几十 年后, 曼彻斯特的费林生对它产生了怀疑. 他统计了的 608 位小数, 得到了下表: 67584462566468676260 9876543210 出现次数 数字 你能说出他产生怀疑的理由吗? 答：因为是一个无限不循环小数，所以，理论上每个数字出现的次数应近似相等，或 它们出现的频率应都接近于 0.1，但 7 出现的频率过小.这就是费林产生怀疑的理由. 4你能用概率证明“三个臭皮匠胜过一个诸葛亮”吗？ 两事件 A、B 相互独立与 A、B 互不相容这两个概念有何关系？对立事件与互不相 容事件又有何区别和联系？ 条件概率是否是概率？为什么？ 习习 题题 一一 1写

3、出下列试验下的样本空间： （1）将一枚硬币抛掷两次 答：样本空间由如下4 个样本点组成(,) (,) (,) (,) 正正，正反，反正，反反 （2）将两枚骰子抛掷一次 答：样本空间由如下36 个样本点组成( , ) ,1,2,3,4,5,6i j i j （3）调查城市居民（以户为单位）烟、酒的年支出 答： 结果可以用（ x，y）表示， x，y 分别是烟、酒年支出的元数.这时，样本 空间由坐标平面第一象限内一切点构成 .( ,)0,0 x yxy 2甲，乙，丙三人各射一次靶，记“甲中靶” “乙中靶” “丙中靶” 则可用上述ABC 三个事件的运算来分别表示下列各事件： (1) “甲未中靶”： ;

4、A (2) “甲中靶而乙未中靶”： ;BA (3) “三人中只有丙未中靶”： ;CAB 概率论与数理统计 习题解答 2 (4) “三人中恰好有一人中靶”： ;CBACBACBA (5)“ 三人中至少有一人中靶”： ;CBA (6)“三人中至少有一人未中靶”： 或;CBA;ABC (7)“三人中恰有两人中靶”： ;BCACBACAB (8)“三人中至少两人中靶”： ;BCACAB (9)“三人均未中靶”： ;CBA (10)“三人中至多一人中靶”： ;CBACBACBACBA (11)“三人中至多两人中靶”： 或;ABC;CBA 3 .设是两随机事件，化简事件,A B (1) (2) ()()A

5、BAB()()ABAB 解解:(1),()()ABABABABBB (2) .()()ABAB()ABABBAABB 4某城市的电话号码由 5 个数字组成，每个数字可能是从 0-9 这十个数字中的任一个， 求电话号码由五个不同数字组成的概率. 解：. 5 10 5 0.3024 10 P P 5张奖券中含有张有奖的，个人购买，每人一张，求其中至少有一人中nmk 奖的概率 . 解法一：试验可模拟为个红球，个白球，编上号，从中任取 k 个构成一组，则mnm 总数为，而全为白球的取法有种，故所求概率为. k n C k mn C k n k mn C C 1 解法二：令第 i 人中奖，B无一人中奖，

6、则，注意到 i A,., 2 , 1ki k AAAB 21 不独立也不互斥：由乘法公式 k A，A，A 21 )()()()()( 1121 3 1 2 1 k k AA A P AA A P A A PAPBP . (1) (2)(1) 121 nmnmnmnmk nnnnk !,1 kk nmnm kk nn CC k CC 同除故所求概率为 6从 5 双不同的鞋子中任取 4 只，这 4 只鞋子中“至少有两只配成一双” （事件 A）的 概率是多少？ 解： 122 585 4 10 ( ) C CC P A C 概率论与数理统计 习题解答 3 7在上任取一点，求该点到原点的距离不超过的概率

7、 . 1,1X 1 5 解：此为几何概率问题：,所求事件占有 11， 区间 ，从而所求概率为. 5 1 5 1 ， 1 2 1 5 25 P 8在长度为的线段内任取两点，将其分成三段，求它们可以构成一个三角形a 的概率 . 解：设一段长为，另一段长为，样本空间，xy:0,0,0 xayaxya 所求事件满足： 0 2 0 2 () a x a y xyaxy 从而所求概率. 1 4 CDE OAB S S : : 9从区间内任取两个数，求这两个数的乘积(0,1) 小于的概率 . 1 4 解： 设所取两数为样本空间占有区域, , ,X Y 两数之积小于:,故所求概率 1 4 1 4 XY , (

8、 )()1() ( )1 SS DS D P S 而,故所求概率为 1 14 11 ()(1)1(1ln4) 44 S Ddx x . 1 (1ln4) 4 10设、为两个事件，求. AB( )0.9P A ()0.36P AB ()P AB 解：;()( )()0.90.360.54P ABP AP AB 11设、为两个事件，求. AB( )0.7P B ()0.3P AB ()P AB 概率论与数理统计 习题解答 4 解：.()()1()1 ()()1 0.70.30.6P ABP ABP ABP BP AB 12假设，若、互不相容，求；若、( )0.4P A ()0.7P AB AB(

9、)P BA 相互独立，求. B( )P B 解：若、互不相容，；AB()()( )0.70.40.3P BP ABP A 若、相互独立 ，则由可得=0.5. AB()( )()( ) ()P ABP AP BP A P B( )P B 13飞机投弹炸敌方三个弹药仓库，已知投一弹命中 1，2，3 号仓库的概率分别为 0.01,0.02,0.03,求飞机投一弹没有命中仓库的概率. 解：设命中仓库，则没有命中仓库，又设命中第 i 仓库AA i A 则，)3 , 2 , 1( i03 . 0 )(,02 . 0 )(,01 . 0 )( 321 APAPAP 根据题意（其中两两互不相容） 321 AA

10、AA 321, AAA 故=0.01+0.02+0.03=0.06 123 ( )()()()P AP AP AP A 所以94 . 0 06 . 0 1)(1)(APAP 即飞机投一弹没有命中仓库的概率为 0.94 14某市有 50%住户订日报，有65%的住户订晚报，有85%的住户至少 订这两种报纸中的一种，求同时订这两种报纸的住户的百分比 解： 设用户订有日报，=用户订有晚报，则用户至少订有日报和ABBA 晚报一种，用户既订日报又订晚报，已知AB ，所以85 . 0 )(,65 . 0 )(, 5 . 0)(BAPBPAP 3 . 085. 065 . 0 5 . 0)()()()(BAP

11、BPAPABP 即同时订这两种报纸的住户的百分比为 30% 15一批零件共 100 个，次品率为 10%，接连两次从这批零件中任取一个零件，第一次 取出的零件不再放回，求第二次才取得正品的概率. 解：设第一次取得次品，第二次取得正品，则AB 概率论与数理统计 习题解答 5 第二次才取得正品，又因为，则AB 99 90 )(, 100 10 )(ABPAP 0909 . 0 99 90 100 10 )()()( A B PAPABP 16.设随机变量、两两独立，与互不相容 . 已知ABCAB0)(2)(CPBP 且，求. 5 () 8 P BC ()P AB 解：依题意且，因此有. 又因0)(

12、ABP)()()(BPAPABP0)(AP ，解方程 2 5 ()( )( )( ) ( )3 ( )2 ( ) 8 P BCP BP CP B P CP CP C 0 8 5 )(3)( 2 2 CPCP ， 151 ( ) ( )( ) 442 P CP CP B舍去，()( )()()()0.5.P ABP AP BP ABP B 17设是小概率事件，即是给定的无论怎么小的正数.试证明：当A( )P A 试验不断地独立重复进行下去，事件迟早总会发生（以概率1 发生） .A 解：设事件第次试验中出现， i AiA(1,2, )in(),()1 ii P AP A ，次试验中，至少出现一次的

13、概率为(1,2, )innA 1212 ()1() nn P AAAP AAA 12 1() n P A AA （独立性） 12 1()()() n P AP AP A 1 (1)n ，证毕. 12 lim()1 n n P AAA 18三个人独立地破译一密码，他们能单独译出的概率分别是， 1 5 1 3 1 4 求此密码被译 出的概率 . 解:设 A，B，C 分别表示第一、二、三人译出密码，D 表示密码被译出，则 ()()1 P DP ABCP ABC 概率论与数理统计 习题解答 6 .1()1( ) ( ) ( ) P ABCP A P B P C 4 2 33 1. . 5 3 45 1

14、9求下列系统（如图所示）的可靠度，假设元件的可靠度为，各元件i i p 正常工作或失效相互独立 解： (1)系统由三个子系统并联而成，每个子系统可靠度为，从而所求 123 p p p 概率为； 3 123 1(1)p p p （2）同理得. 23 12 1(1) pp 20三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概 率依次为 0.9，0.8，0.7，则这三台机器中至少有一台发生故障的概率. 解：设第一 第三台机器 发生故障 ，第一 第三台机器 发生故障 ， 1 A 2 A 3 A 第一 第三台机 器发生故障 ，三台机器中至少有一台发生故障，则D ，故 123 ()0.1,()

15、0.2,()0.3P AP AP A ()()1 P DP ABCP ABC 1()1( ) () ( )1 0.9 0.8 0.70.496 P ABCP A P B P C 21设、为两事件，,，求. AB( )0.7P A ( )0.6P B ()0.4 B P A ()P AB 解：由得()0.4 B P A ， () 0.4,()0.12,()()()0.48 ( ) P AB P ABP ABP BP AB P A 概率论与数理统计 习题解答 7 . ()( )()()0.82P ABP AP BP AB 22.设某种动物由出生算起活到 20 年以上的概率为 0.8, 活到 25

16、年以上的概率为 0.4. 问 现年 20 岁的这种动物, 它能活到 25 岁以上的概率是多少? 解：设某种动物由出生算起活到 20 年以上，某种动物由出生A( )0.8P A B 算起活到 25 年以上，则所求的概率为()0.4P B ()()0.4 ()()0.5 ()()0.8 P ABP B BB PP AA P AP A 23某地区历史上从某年后30 年内发生特大洪水的概率为80%，40 年内 发生特大洪水的概率为85%，求已过去了30 年的地区在未来10 年内发生特 大洪水的概率 . 解：设某地区后 30 年内发生特大洪灾，某地区后 40 年内A( )0.8P A B 发生特大洪灾，

17、则所求的概率为( )0.85P B . ()( )0.15 ()1()1110.25 0.2( )( ) P BAP B BB PP AA P AP A 24设甲、乙两袋，甲袋中有 2 只白球，4 只红球；乙袋中有 3 只白球，2 只红球.今从 甲袋中任意取一球放入乙袋中，再从乙袋中任意取一球. 1）问取到白球的概率是多少？ 2）假设取到白球，问该球来自甲袋的概率是多少？ 解：设 A：取到白球，B：从甲球袋取白球 2 44 3 1) ( )(/) ( )(/) ( )5/9 6 66 6 P AP A B P BP A B P B (/) ( )2/9 2) (/)()/( )2/5 ( )5

18、/9 P A B P B P B AP ABP A P A 25一批产品共有10 个正品和 2 个次品，任取两次，每次取一个，抽出后不再 放回，求第二次抽出的是次品的概率. 解： 设表示第 次抽出次品,由全概率公式 i Bi(1,2)i =. 22 211 1 1 ()() ()() () BB P BP B PP B P BB 211021 121112116 26.一批晶体管元件，其中一等品占 95%，二等品占 4%，三等品占 1%，它们能工作 500 的概率分别为 90%，80%，70%，求任取一h个元件能工作 500以上的概率.h 概率论与数理统计 习题解答 8 解：设取到元件为 等品

19、( =1,2,3) ，取到元件能工作 500 小时以上 i BiiA 则%1)(%,4)(%,95)( 321 BPBPBP %70)(%,80)(%,90)( 321 B A P B A P B A P 所以)()()()()()()( 3 3 2 2 1 1 B A PBP B A PBP B A PBPAP 0.894%70%1%80%4%90%95 27某药厂用从甲、乙、丙三地收购而来的药材加工生产出一种中成药，三地的供货量 分别占 40%，35%和 25%，且用这三地的药材能生产出优等品的概率分别为 0.65，0.70 和 0.85，求从该厂产品中任意取出一件成品是优等品的概率.如果

20、一件产品是优质品， 求它的材料来自甲地的概率 解：以 Bi分别表示抽到的产品的原材来自甲、乙、丙三地，A=抽到优等品，则有： 123 ()0.35, ()0.25,P BP BP(B)=0. 4, 1 ()0.65, A P B 3 2 ()0.7,()0.85 AA PP BB 所求概率为由全概率公式得：( ).P A 123 123 ( )() ()() ()() () AAA P AP B PP BPP BP BBB 0.65 0.40.7 0.350.85 0.250.7175. 111 1 ()() (|)0.26 ()0.3624 ( )( )0.7175 P B AP B P A

21、 B B P A P AP A 28用某种检验方法检查癌症，根据临床纪录，患者施行此项检查，结果是阳性的概率 为 0.95；无癌症者施行此项检查，结果是阴性的概率为 0.90.如果根据以往的统计，某 地区癌症的发病率为 0.0005.试求用此法检查结果为阳性者而实患癌症的概率. 解：设 A=检查结果为阳性，B=癌症患者.据题意有()0.95,()0.90, AA PP BB 所求概率为( )0.0005,P B (). B P A 由 Bayes 公式得()0.10,()0.9995. A PP B B () () () () ()() () A P B P B B P A AA P B PP

22、 B P BB 概率论与数理统计 习题解答 9 0.0005 0.95 0.00470.47% 0.0005 0.950.9995 0.10 293 个射手向一敌机射击，射中的概率分别是 0.4，0.6 和 0.7.如果一人射中，敌机 被击落的概率为 0.2；二人射中，被击落的概率为 0.6；三人射中则必被击落.（1）求 敌机被击落的概率；（2）已知敌机被击落，求该机是三人击中的概率. 解:设 A=敌机被击落，Bi=i 个射手击中，i=1,2,3. 则 B1,B2,B3互不相容.由题意 知：，由于 3 个射手射击是互相独立的，所 13 2 ()0.2,()0.6,()1 AAA PPP BBB

23、 以 1 ()0.4 0.4 0.30.6 0.6 0.30.6 0.4 0.70.324P B 2 ()0.4 0.6 0.30.4 0.7 0.40.6 0.7 0.60.436P B 3 ()0.4 0.6 0.70.168P B 因为事件 A 能且只能与互不相容事件 B1,B2,B3之一同时发生.于是 （1）由全概率公式得 3 1 ( )() (|)0.324 0.20.436 0.60.168 10.4944 ii i P AP B P A B （2）由 Bayes 公式得 . 33 33 1 () (|)0.168 (|)0.34 0.4944 () (|) ii i P B P

24、A B P BA P B P A B 30某厂产品有 70%不需要调试即可出厂，另 30%需经过调试，调试后有 80%能出厂， 求 （1）该厂产品能出厂的概率；（2）任取一出厂产品未经调试的概率. 解：需经调试 不需调试 出厂AAB 则，%30)(AP%70)(AP%80)|(ABP1)|(ABP （1）由全概率公式：)()()()()( A B PAP A B PAPBP .%941%70%80%30 （2）由贝叶斯公式：. 94 70 %94 )()( )( )( )( A B PAP BP BAP B A P 31进行一系列独立试验，假设每次试验的成功率都是，求在试验成功2p 概率论与数

25、理统计 习题解答 10 次之前已经失败了3 次的概率 . 解： 所求的概率为. 23 4(1)pp 3210 个球中有一个红球，有放回地抽取，每次取一球，求直到第次才取n 次红k()kn 球的概率 解： 所求的概率为 1 1 19 1010 kn k k n C 33灯泡使用寿命在1000h 以上的概率为0.2，求 3 个灯泡在使用1000h 后， 最多只有 一个坏了的概率 . 解： 由二项概率公式所求概率为 312 333 (0)(1)0.2(0.2)0.80.104PPC 34 （Banach 问题）某人有两盒火柴，每盒各有根，吸烟时任取一盒，并从n 中任取一 根，当他发现有一盒已经用完时

26、，试求：另一盒还有根的概率 .r 解解：设试验 E从二盒火柴中任取一盒，取到先用完的哪盒，A ， 1 ( ) 2 P A 则所求概率为将E 重复独立作次发生次的概率，故所求的概率为2nrAn . 2 2 22 11 ( )( ) ( ) 2 22 n nnn r n r n r n rn r C PnC 第第 二二 章章 思思 考考 题题 1. 随机变量的引入的意义是什么？ 答：随机变量的引入,使得随机试验中的各种事件可通过随机变量的关系式表达出来，其 目的是将事件数量化，从而随机事件这个概念实际上是包容在随机变量这个更广的概念 内.引入随机变量后,对随机现象统计规律的研究,就由对事件及事件概

27、率的研究转化为随 机变量及其取值规律的研究,使人们可利用数学分析的方法对随机试验的结果进行广泛而 深入的研究. 随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件，随机事件是从静态的观点来研究随 机现象,而随机变量的引入则变为可以用动态的观点来研究. 2.随机变量与分布函数的区别是什么？为什么要引入分布函数？ 概率论与数理统计 习题解答 11 答：随机变量与分布函数取值都是实数，但随机变量的自变量是样本点，不是普通实数， 故随机变量不是普通函数，不能用高等数学的方法进行研究，而分布函数一方面是高等 数学中的普通函数，另一方面它决定概率分布，故它是沟通概率论和高等数学的桥梁， 利用它可以将高度数学的方

28、法得以引入. 3. 除离散型随机变量和连续型随机变量，还有第三种随机变量吗？ 答：有，称为混合型. 例：设随机变量，令 2 , 0UX . 2 1 , 1 ; 1 0 , )( x xx xg 则随机变量既非离散型又非连续型.)(XgY 事实上，由的定义可知只在上取值，于是当时，)(XgY Y 1 , 00y ；时，；当时，0)(yFY1y1)(yFY10 y 2 )()( y yXPyXgPyFY 于是 . 1 , 1 ; 1 0 , 2 ; 0, 0 )( y y y y yFY 首先取单点1的概率，故不是连续型随机Y0 2 1 )01 () 1 () 1( YY FFYPY 变量.其次其

29、分布函数不是阶梯形函数，故也不是离散型随机变量.Y 4.通常所说“的概率分布”的确切含义是什么？X 答：对离散型随机变量而言指的 是分布函数或分布律，对连续型随机变量而言指的是 分布函数或概率密度函数. 5.对概率密度的不连续点，如何由分布函数求出？( )f x( )F x( )f x 答：对概率密度的连续点，对概率密度的有限个不连续点处，( )f x( )( )f xF x( )f x 可令（为常数）不会影响分布函数的取值.( )f xcc 6.连续型随机变量的分布函数是可导的， “概率密度函数是连续的”这个说法对吗？为什 么？ 答：连续型随机变量密度函数不一定是连续的，当密度函数连续时其分

30、布函数是可导的， 否则不一定可导. 习习 题题 1在测试灯泡寿命的试验中,试写出样本空间并在其上定义一个随机变量. 概率论与数理统计 习题解答 12 解：每一个灯泡的实际使用寿命可能是中任何一个实数, 样本空间为), 0 ，若用表示灯泡的寿命（小时） ，则是定义在样本空间0|ttXX 上的函数，即是随机变量.0|ttttXX)( 2一报童卖报, 每份 0.15 元,其成本为 0.10 元. 报馆每天给报童 1000 份报, 并规定他不 得把卖不出的报纸退回. 设为报童每天卖出的报纸份数, 试将报童赔钱这一事件用随X 机变量的表达式表示. 解：报童赔钱卖出的报纸钱不够成本，而当 0.15 X0

31、时，( )()( )F xP Xxf x dx 0)(xF , 222 0 ( )1(22) 2 x x x e F xax edxxx . 22 1 1(22),0 ( )2 0, 0 xxx F x x （3）. 5 11 (0)()(0)1 2 PXFF e 16.设在内服从均匀分布， 求方程有实根的概率 . X(1,6) 2 10 xXx 解: “方程有实根 ”即，故所求的概率为=. 2 10 xXx 2X 2P X 4 5 17.知随机变量服从正态分布，且服从标准正态分布X 2 ( ,)N a aYaXb ，求. (0,1)N, a b 解：由题意 2 22 0( 0) 1 ab a

32、 aa 解得： 1,1ab 18.已知随机变量服从参数为的指数分布，且落入区间（ 1，2）内XX 的概率达到最大，求. 解：,令，即 2 (12)(1)(2)( )PXP XP Xeeg 令 ( )0g ,即，02 2 ee021 e . 2 ln 19设随机变量，求，.(1,4)XN:(01.6)PX(1)P X 解： 011.61 (01.6)() 22 PXPX 概率论与数理统计 习题解答 17 1.6101 ()()0.3094 22 . 1 1 (1)()(0)0.5 2 P X 20.设电源电压，在电压三种情形下， 2 220,25XN200,200240,240XXX 电子元件损

33、坏的概率分别为，求：0.1,0.001,0.2 （1）该电子元件损坏的概率； （2）该电子元件损坏时，电压在伏的概率.200 240 解：设， 电子元件损坏，则 123 200 ,200240 ,240AXAXAXD （1）完备，由全概率公式 123 ,A A A ， 123 123 DDD P DP A PP APP AP AAA 今， 1 200220 0.810.80.212 25 P A 同理， 2 0.80.820.810.576P A ， 从而. 3 10.2120.5760.212P A 0.062P D （2）由贝叶斯公式 . 2 2 2 D P AP A A P D P D

34、0.5760.001 0.009 0.062 21.随机 变量的分布律为X X21013 P 1 5 1 6 1 5 1 15 11 30 求的分布律 2 YX 解： . 22.变量服从参数为 0.7 的 01 分布，求及的概率分布 .X 2 X 2 2XX 解的分布为X 2 X 0149 P 1 5 7 30 1 5 11 30 概率论与数理统计 习题解答 18 易见，的可能值为 0 和 1；而的可能值为和 0，由于 2 X 2 2XX1 2 P Xu P Xu ，可见的概率分布为：(0,1)u 2 X 由于，可得 2 2110.7P XXP X 2 2000.3P XXP X 的概率分 2

35、 2XX布为 23.概率密度函数为，求的概率密度函数.X 2 1 ( ) (1) X fx x 2YX( ) Y fy 解：的反函数为，代入公式得. 2yx 2 y x 2 2 ( )()() 22(4) YX yy fyf y 24.设随机变量，求随机变量在内概率密度.0,2XU 2 YX0,4 Y fy 解法一（分布函数法） 当时，时，当时，0y 0,4 Y Fyy 1 Y Fy 04y YX FyP XyFy 从而 11 ,04 24 0 , X Y fyy yyfy 其余 解法二（公式法）在单增，由于反函数在可导， 2 yx0,2xy0,4 1 2 y x y 从而由公式得 X01 P

36、0.30.7 2 X01 P0.30.7 2 2XX-10 P0.70.3 概率论与数理统计 习题解答 19 11 ,04 24 0 , X Y fyy yyfy 其余 25.，求的密度. ,0 ) 0 ,0 x X ex fx x （ X Ye 解法一（分布函数法）因为，故，当时，0X 1Y 1y ， lnln YX FyP XyFy . ln 2 111 ln ,1 0 ,1 y X Y fyey yyyfy y 解法二（公式法）的值域，反函数，故 x ye1,lnxy . 2 1 lnln ,1 0 ,1 X Y fyyy yfy y 26.设随机变量服从上的均匀分布，分别求随机变量和X

37、(0,1) X Ye 的概率密度和.lnZX( ) Y fy( ) Z fz 解：的密度为，X 1, 01 ( ) x f x 0, 若 其它 （1）函数有唯一反函数，且，故 x yelnxy1Ye . (ln) (ln) , 1 ( ) X fyyye fy 0,其它 1 , 1 ye y 0, 其它 （2）在区间上，函数，它有唯一反函数，且，从而(0,1)lnlnzxx z xe0Z . () () , ( ) zz X Z fee fz z0 0,其它 0, z ze 0,其它 27. 设为的密度函数，且为偶函 X fxX 数，求证与有相同的分布.XX 概率论与数理统计 习题解答 20

38、证：即证与的密度函数相同，即.YX X YX fyfy 证法一（分布函数法） ， 11 YX FyPXyP XyP XyFy ，得证. 1 YXX pypypy 证法二（公式法） 由于为单调函数，.yx YXXX pypyypypy 28.设随机变量服从正态分布， ，是的分布函 X ),( 2 N0,)(xFX 数，随机变量. 求证服从区间上的均匀分布.)(XFY Y 1 , 0 证明：记的概率密度为，则 由于是的严格单调增函数，X)(xf x dttfXF.)()()(xFx 其反函数)( 1 xF 存在，又因，因此的取值范围是. 即当时1)(0 xFY 1 , 010 y 1 ( )()(

39、 ) Y FyP YyP F XyP XFy .)( 1 yyFF 于是的密度函数为Y 1, 01 ( ) 0, Y y py 其它 即服从区间上的均匀分布.Y 1 , 0 第第 三三 章章 思思 考考 题题 1(答:错)2 (答:错) 3 答:错) 习习 题题 三三 1 解：解：)(1, 11, 1已知独立YXPYXPYXP . 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1111YPXPYPXP 由此可看出,即使两个离散随机变量相互独立同分布, 一般情况下也不会YX与YX与 概率论与数理统计 习题解答 21 以概率 1 相等. 2 2 解：解：由=1 可得：,从而得： ij ij p14. 0

40、b X Y 012 jYP 00.060.150.090.3 10.140.350.210.7 iXP 0.2 5 . 0 0.31 故相互独立. 1 , 0; 2 , 1 , 0,jijYPiXPjYiXPYX, 7 . 035 . 0 15 . 0 14 . 0 06 . 0 1, 10, 1 1, 00, 0) 1 , 1 (1, 1 YXPYXP YXPYXPFYXP 3 解解: )() 1, 1( 11 ABPYXPp , 12 1 )()(ABPAP )()0, 1( 12 BAPYXPp 6 1 3 2 4 1 )()(ABPAP 因为: , 3 2 )(1)(:, 1)()(A

41、BPABPABPABP所以 12 1 )( )( )( )()()()() 1, 0( 21 ABP BAP ABP ABPBPABPBAPYXPp ,结果如表所示. 12 8 12 1 6 1 12 1 1 22 p 4 解: 的边缘分布律为X 3 2 2, 3 1 1XPXP 的边缘分布律为Y 2 1 2, 2 1 1XPYP 的条件下的条件分布为1YX0 1 1, 1 11 YP YXP YXP 1 1 1, 2 12 YP YXP YXP X Y 1 0 1 12 1 12 1 0 12 2 12 8 概率论与数理统计 习题解答 22 的条件下的条件分布为2XY , 3 2 2 1,

42、2 21 XP YXP XYP, 3 1 2 2, 2 22 XP YXP XYP 5 5 解：解：（1）由乘法公式容易求得分布律易知，放回抽样时),(YX , 6 1 1, 6 5 0, 6 1 1, 6 5 0YPYPXPXP 且,iXPiXjYPjYiXP . 1 , 0; 1 , 0jijYPiXP 于是 的分布律为),(YX （2）不放回抽样，则,在第一次, 6 1 1, 6 5 0XPXP 抽出正品后，第二次抽取前的状态：正品 9 个，次品 2 个故 , 11 2 01, 11 9 00XYPXYP 又在第一次抽出次品后，第二次抽取前状态：正品 10 个，次品 1 个.故 , 11

43、 1 11, 11 10 10XYPXYP 且1 , 0,jiiXPiXjYPjYiXP 于是 的分布律为),(YX 放回抽样时，两次抽样互不影响，故彼此相互独立；不放回抽样，第一次抽样对第二 次抽样有影响，不相互独立 6 6 解解 =),(yxf ., 0 , )( 1 否则 dycbxa dcab , = bxax bxa abxfX , 0 , 1 )()(yfY dycy dyc dc , 0 , 1 随机变量及是独立的.XY X Y 01 0 36 25 36 5 1 36 5 36 1 X Y 01 0 66 45 66 1 1 66 10 66 1 概率论与数理统计 习题解答 2

44、3 7 7 解解 （1）= ),(yxf yx yxF ),( 2 )9)(4( 6 222 yx （2）的边缘分布函数X =.),()(xFxFX) 22 )( 22 ( 1 2 x arctg) 22 ( 1x arctg 由此得随机变量的边缘分布密度函数X )()(xF dx d xf XX )4( 2 2 x 同理可得随机变量的边分布函数Y =),()(yFyFY) 32 )( 22 ( 1 2 y arctg ) 32 ( 1y arctg 的边缘分布密度函数Y )()(yF dy d yf yY )9( 3 2 y （3）由（2）知=，所以与独立.)(xfX)(yfY )4( 2

45、2 x)9( 3 2 y ),(yxfXY 8 解解 因为与相互独立，所以的联合概率密度为XYYX, yxeyfxfyxf yx YX , 2 1 )()(),( 2 22 1 2 0 1 0 2 1 1 0 222 22 2222 ,1 2 1 2 1 2 yx rryx eerdreddxdyeZP 41 2 0 2 1 2 2 1 2 1 222 22 2222 , 2 1 2 1 1 yx rryx eeerdreddxdyeZP 4 2 02 2 2 222 22 2222 , 2 1 2 1 0 yx rryx eerdreddxdyeZP 所以，的分布律为:Z.12,1,0 2

46、1 2 2 1 2 eZPeeZPeZP 概率论与数理统计 习题解答 24 9 9 解解：（1）由 =1，即， dxdyyxf),( 00 )43( 12 1 A dxdyeA yx 即 12 A 因此= ),(yxf, , 0 0, 0,12 )43( 其它 yxe yx （2）的边缘概率密度为X 当，=，0 x)(xfX dyyxf),( 0 )43( 12dye yxx e 3 3 当，=，0y)(yfY 0 ),(dxyxf 0 )43( 12dxe yxy e 4 4 可知边缘分布密度为：=)(xfX , 0 , 0,3 3 其它 xe x =)(yfY , 0 0,4 4 其它 y

47、e y （3）=20 , 10YXP 1 0 2 0 83)43( )1)(1 (12eedxdye yx 1010 解解 因为 =1，即， dxdyyxf),( 1 0 1 0 2 1dyyxdxc6, 1 3 1 2 1 cc 对任意，=，10 x)(xfX dyyxf),( 1 0 2 26xdyxy 所以=)(xfX , 0 , 10,2 其它 xx 对任意，=，10 y)(yfY dxyxf),( 1 0 22 ,36ydxxy 所以=)(yfY , 0 , 10,3 2 其它 yy 故=，所以与相互独立.),(yxf)(xfX)(yfYXY 1111 解解 由 2ln 1 2 2

48、1 1 e e D xdx x S 当时，其它=0. 2 1ex , 2 1 2 1 ),()( 1 0 1 0 x dydyyxfxf xx X )(xfX 概率论与数理统计 习题解答 25 所以:. 4 1 )2( X f 1212 解解（1），的边缘密度为分布密度为：=XY)(xfX x x xxdy1 0 , 21 =)(yfY 1 11,11 y yydx 故=)( yxf YX )( ),( yf yxf Y , 0 , 1 1 其它 xy y =)(xyf XY )( ),( xf yxf X , 0 , 1, 2 1 其它 yx x （2）因为=1，故与不相互独立.)(xfX)

49、(yfYy1),(yxfXY 1313 证证 设的概率密度为，的概率密度为，由于相互独立，故X)(xfY)(yfYX, 的联合密度为=.于是),(YX),(yxf)(xf)(yf yx x dyyfdxxfdxdyyfxfYXP)()()()( yx y dxxfdyyfdxdyyfxfYXP)()()()( 交换积分次序可得：所以 x dyyfdxxf)()( y dxxfdyyf)()( 1YXPYXPYXP 故. 2 1 YXP 14 解解 设，由于相互独立同分布，于是有)(APp YX, 则又,)()(pAPaXPaYPBP,1)(pBP +=+（=)(BAP)(AP)(BP)(AP)

50、(BPp)1pp)1p 9 7 1 2 pp 概率论与数理统计 习题解答 26 解得：因而有两个值., 3 2 , 3 1 21 ppa 由于，所以，当时，由=得 2 1 2 1 )( 1 a dxaXPAP a 3 1 1 p 2 1a 3 1 3 5 a 当时，由=得. 3 2 2 p 2 1a 3 2 3 7 a 15 解解 （1）的可能取值为 2，3，4.且YX , 4 1 112YPXPYXP 2 1 4 1 4 1 4 1 4 1 1, 2213YXPYPXPYXP , 4 1 224YPXPYXP 故有:; 4 1 4, 2 1 3, 4 1 2YXPYXPYXP （2）由已知易

51、得 ; 2 1 42, 2 1 22XPXP 1616 解解 由已知得 (,)X Y( 1, 2) (-1,-1)(-1,0) （, 1 2 -2） (, 2 1 -1) (, 2 1 0) (3,-2)(3,-1)(3,0) 概率 12 1 12 1 12 3 12 2 12 1 0 12 2 0 12 2 YX -3-2-1 - 2 3 - 2 1 2 1 123 YX 10-1 2 5 2 3 2 1 543 所以有 YX -3-2-1 - 2 3 - 2 1 13 P 12 1 12 1 12 3 12 2 12 1 12 2 12 2 YX -101 2 3 2 5 35 P 12

52、3 12 1 12 1 12 1 12 2 12 2 12 2 概率论与数理统计 习题解答 27 1717 证明证明：对任意的我们有, 1 , 0 21 nnk （因为与相互独立） k i ikYPiXPkZP 0 XY = k i iknikik n inii n qpCqpC 0 )( 2 2 1 1 = （利用组合公式 ） k i knnkik n i n qpCC 0 21 21 )( k i k nm ik n i m CCC 0 = knnkk nn qpC 21 21 即YXZ),( 21 pnnb 1818 解解 在0，2中取值，按卷积公式的分布密度为：YXZZ ,)()()(

53、)( 1 0 dxxzfdxxzfxfzf YYXZ 如图， ,1 , 10 : , 10 , 10 : zxz x xz x 即其中 时10 101 z xzz xzz2110 zxz110 x 时21 2110 z xzz xzz2110 10 xzxz1 从而： 。其它, 0 , 21,21 , 10,1 )( 1 0 zzdx zzdx zf z z z Z 1919 解解 因为相互独立，故所以： 321 ,XXX 321 32XXX),36, 0(N .3413 . 0 )0() 1 ( 1 6 032 06320 321 321 XXX PXXXP 2020 解解 . 0 , 0 0, )( . 0 , 0 , 0, )( 2 22 2 1 11 1 2 1 x xex xf x xex xf x x 概率论与数理统计 习题解答 28 ， 设两周的需求量为，则当时Z, 21 XXZ0z 1 )( 1 0 1 0 111 11 21 )()()()(dxexzexdxxzfxfz