第七章高数课件第七章7 5曲面

1、第五节曲面及其方程柱面与旋转曲面二次曲面一、柱面定义平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L所形成的曲面称为柱面.这条定曲线C叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线.观察柱面的形成过程:播放柱面举例zz平面= 2 yyx2ooyy = xxx抛物柱面从柱面方程看柱面的特征：只含x, y 而缺z 的方程F ( x, y) = 0 ，在空间直角坐标系中表示母线平行于z轴的柱面，其准线为xoy 面上曲线C . （其他类推）y2z2+c2= 1实例/ x轴椭圆柱面b2x22- yz=1/轴/ y 轴双曲柱面a2x2b2= 2 pz抛物柱面二、旋转曲面定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲

2、面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴播放旋转过程中的特征：zM1 (0, y1 , z1 )f ( y, z) = 0y dM如图设 M ( x, y, z),(1)z = z1（2）点M 到z 轴的距离oxd =+ y2=| y|x21将 z = z ,y= + y2x2代入11f ( y1 , z1 ) = 0f ( y1 , z1 ) = 0将 z = z ,y= + y2x2代入11f (+ y2 ,z )= 0,x2得方程yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y, z) = 0绕z轴旋转一周的旋转曲面方程.同理： yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y, z) = 0绕y 轴旋转一

3、周的旋转曲面方程为f (y,+ z2 )= 0.x2例5将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程x 2z 2（1）双曲线-= 1分别绕x 轴和z 轴；a 2c2双叶旋转双曲面单叶+ z2x2y2-= 1绕x轴旋转22ac+ y2x22- z= 1绕z 轴旋转a2c2 y22+ z=1绕y 轴和z 轴；2c22a（）椭圆 x = 0+ z2y2x2旋转椭球面绕y 轴旋转+= 1a2x2c2+ y22+ z= 1绕z 轴旋转a2c2 y2= 2 pz绕z 轴；3（）抛物线x = 0+ y2 = 2 pzx2旋转抛物面例 6直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周，所得旋转曲面叫圆锥面两直

4、线的交点叫圆锥面的顶点，两直线的夹角a 0 a p叫圆锥面的2 半顶角试建立顶点在坐标原点，旋转轴为z 轴，半顶角为a的圆锥面方程zzyoz 面上直线方程为z =y cota圆锥面方程解M(0, y , z)111ooyyxx+ y 2 cot aM ( x, y, z)z = x 2三、二次曲面二次曲面的定义：三元二次方程所表示的曲面称之相应地平面被称为一次曲面讨论二次曲面性状的截痕法：用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面1. 椭球面x2 +y22+ z= 1a2b2c22y2椭球面与三个坐标面

5、的交线：x+= 1z, a22bz = 0 x2 y2z2z2+= 1+= 1o22, ac. b22c y = 0x x = 0y椭球面与平面 z = z1 的交线为椭圆x2y2+= 1 a2b2(c2 - z2 )(c2 - z2 )11 c2c2z = z1| z1 | c同理与平面 x = x1 和 y =y1 的交线也是椭圆.椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.椭球面的几种特殊情况：x2y2z2+a2+c2= 1a = b,(1)旋转椭球面a2x2 + z2= 1 绕z由椭圆a2轴旋转而成c2x2+ y22+ z= 1方程可写为a2c2旋转椭球面与椭球面的区别：与平面z = z1

6、( | z1 | 0,q 0（1）用坐标面 xoy(z = 0) 与曲面相截截得一点，即坐标原点 O(0,0,0)原点也叫椭圆抛物面的顶点.与平面 z = z1 0) 的交线为椭圆.(z1x2y2+=z12 pz当 1变动时，这种椭圆的中心都在z 轴上.2qz11z = z1与平面 z = z1 0)不相交.(z1（2）用坐标面xoz ( y = 0)与曲面相截 x2 = 2 pz截得抛物线 y = 0与平面 y =y1 的交线为抛物线.y2 它的轴平行于z 轴 x= 2 p z - 1 22q y2 顶点 0, y1 , 1 y =y2q 1（3）用坐标面 yoz ( x = 0)， x =

7、 x1与曲面相截均可得抛物线.p 0,q 0oxp 0,p 0,q 0)旋转抛物面2 p2 p= 2 pz 绕它的轴（由 xoz 面上的抛物线x2旋转而成的）与平面 z = z1 0) 的交线为圆.(z1 x2 + y2 = 2 pz当 z变动时，这种圆11z的中心都在轴上.z = z1x2y2-+= z （ p 与 q 同号）2 p2q双曲抛物面（马鞍面）用截痕法讨论：设 p 0,q 0z图形如下：oyx3. 双曲面x2 +y2 - z2= 1单叶双曲面a2b2c2（1）用坐标面 xoy(z = 0) 与曲面相截截得中心在原点 O(0,0,0) 的椭圆.y22x+= 1 a22bz = 0与

8、平面 z = z1 的交线为椭圆. x22y2z当 z1变动时，这种椭圆的中心都在z 轴上.+= 1 + 1c2 a2b2z = z1（2）用坐标面xoz ( y = 0)与曲面相截截得中心在原点的双曲线. x2z2x-= 1实轴与轴相合，22 ac虚轴与 z 轴相合. y = 0与平面 y =y1 b) 的交线为双曲线.2( y1 x2z2y-= 1 - 1 a2c2b2双曲线的中心都在 y轴上. y =y1(1)(2)(3)虚轴与 z 轴平行. b2 , 实轴与 z 轴平行,y21y2虚轴与 x 轴平行.1y1 = b,截痕为一对相交于点(0,b,0) 的直线. x - z = 0 xz

9、a+= 0,c. ac y = by1= -b, y = b(4)(0,-b,0) 的直线.截痕为一对相交于点 x - z = 0 x + z = 0 a a,.cc y = -b y = -b（3）用坐标面 yoz ( x = 0)， x = x1与曲面相截均可得双曲线.平面x = a 的截痕是两对相交直线.单叶双曲面图形zyox四、小结曲面方程的概念 F( x, y, z) = 0.旋转曲面的概念及求法.柱面的概念(母线、准线).思考题指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形？(1) x = 2;(3)y = x + 1.+ y2 = 4;x2(2)思考题解答方程平面解

10、析几何中空间解析几何中x = 2平行于y 轴的直线平行于yoz 面的平面x2 + y2 = 4圆心在(0,0)，半径为2 的圆以z 轴为中心轴的圆柱面y = x + 1斜率为1的直线平行于z 轴的平面练习题一、填 空题：1、与 Z 轴和点A(1 , 3 ,-1) 等距离的点的轨迹方程是 ；2、以 点O(2 ,-2 , 1) 为球心，且通过坐标原点的球面方程是 ；+ y2 + z 2 - 2 x + 4 y - 4z - 7 = 0 的球心是3、球 面： x 2点 ，半径R = ；x2y2z2a = b4、设 曲面方程+=1，当时，曲面可由222abcxoz 面上以曲线 绕 轴旋转面成，或由yo

11、z 面上以曲线 绕 轴旋转面成 ;5、若 柱面的母线平行于某条坐标轴，则柱面方程的特点是 ；y2面 x-+ z = 1是由 绕 轴放26、曲 4置一周所形成的；面(z - a)2 = x 2+ y2 是由 绕 7、曲 轴旋转一周所形成的；8、方 程x = 2 在平面解析几何中表示 在空间解析几何中表示 ；+ y2 = 4x 29、方 程在 平 面 解 析 几 何 中 表 示 ， 在 空 间 解 析 几 何 中 表 示 .二、画 出下列各方程所表示的曲面：1、( x - a )2 + y2 = ()2 ；a22x 2 + z 2=1 ；2、943、z = 2 - x2 .练习题答案一、1、z 2

12、 - 2 x - 6 y + 2z + 11 = 0；+ y2+ z 2- 4 x + 4 y - 2z = 0；3、(1,-2,2),4； 2、x 2x 2 + z 2y2 + z 2x 2 + y2= 1, z,b2= 1, z,a 2= 1, y, 4、a 2c2c2b2y2 + z 2=1, y ； 5、不含与该坐标轴同名的变量； b2c2xoyy2-= 1, y ；2面上的双曲线x 6、4 7、yoz 面上的直线 z =y + a, z ； 8、平行于 y 轴的一条直线,与yoz 面面平行的平面； 9、圆心在原点,半径为 2 的圆,轴为 z 轴,半径为 2 的圆柱面.二、旋转曲面定义

13、以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴二、旋转曲面定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴二、旋转曲面定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴二、旋转曲面定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴二、旋转曲面定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴二、旋转曲面定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条

14、定直线叫旋转曲面的轴二、旋转曲面定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴二、旋转曲面定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴二、旋转曲面定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴二、旋转曲面定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴二、旋转曲面定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴二、旋转曲面定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线

15、旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴三、柱面定义平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L所形成的曲面称为柱面.这条定曲线C叫柱面的准线，动直线 L 叫柱面的母线.观察柱面的形成过程:三、柱面定义平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L所形成的曲面称为柱面.这条定曲线C叫柱面的准线，动直线 L 叫柱面的母线.观察柱面的形成过程:三、柱面定义平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L所形成的曲面称为柱面.这条定曲线C叫柱面的准线，动直线 L 叫柱面的母线.观察柱面的形成过程:三、柱面定义平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L所形成的曲面称为柱面.这条定曲线C叫柱面的准线

16、，动直线 L 叫柱面的母线.观察柱面的形成过程:三、柱面定义平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L所形成的曲面称为柱面.这条定曲线C叫柱面的准线，动直线 L 叫柱面的母线.观察柱面的形成过程:三、柱面定义平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L所形成的曲面称为柱面.这条定曲线C叫柱面的准线，动直线 L 叫柱面的母线.观察柱面的形成过程:三、柱面定义平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L所形成的曲面称为柱面.这条定曲线C叫柱面的准线，动直线 L 叫柱面的母线.观察柱面的形成过程:三、柱面定义平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L所形成的曲面称为柱面.这条定曲线C叫柱面的准线，动直线 L 叫柱面的母线.观察柱面的形成过程:三、柱面定义平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L所形成的曲面称为柱面.这条定