例谈高考数学题的函数零点问题

1、 例谈高考数学题的函数零点问题 梁关化，2015，11，12高考数学题的函数零点问题，早前都是以小题出现为多，但近几年却变为大题，甚至是难题。例如，今年全国卷（1）、广东和江苏等省的高考数学题都把函数零点问题作为大题、难题来出。函数零点问题，归纳起来，常有如下几种类型：一、求零点的值或判断零点所在区间；二、讨论是否有零点或零点个数；三、由零点个数求函数解析式中参数取值范围。解决零点问题，首先要掌握好零点概念的三个等价形式：（1）函数值为零的自变量值；（2）方程f(x)=0的解（也可以把方程f(x)=0变形为g(x)=h(x),那么两函数g(x)和h(x)的图象的交点的横坐标即为方程f(x)=0

2、的解）；（3）函数图象与x轴的交点的横坐标。因此，零点与方程知识，与数形结合的数学思想紧密相关。其次，还需要掌握好零点存在性的判断定理；此外，还需要掌握好利用函数的导数来研究函数的单调性，极值，最值的方法。求函数解析式中参数取值范围问题，往往还需要分类讨论的数学思想。下面一起分析几道高考题或高考题的改编题。例1 （广东2015年高考数学理科题）设，函数(1) 求的单调区间；(2) 证明在上仅有一个零点；(3) 若曲线在点P处的切线与x轴平行，且在点处的切线与直线OP平行，（O是坐标原点），证明：.解：（1）解略。（答案：的单调递增区间为）（2）由（1）得在区间上单调递增，又，从而有，使得，在上

3、仅有一个零点。（说明：这里用到零点存在性的判断定理。还有：当一个函数在单调且在其一个子区间里有一个零点，那么它在上的零点是唯一的。）（3）（思路：由在点P处的切线与x轴平行先求出点P的坐标，进而求出直线OP的斜率，再由导数求在点处的切线的斜率，从而得到一个关于m,a,e的关系式，再把要证不等式转化为一个不含根号的不等式来证，即，最后构造一个函数，再研究其单调性，极值，最值，不等式即可得证。例2（广东2015年高考数学文科题）设为实数，函数若，求的取值范围；讨论的单调性；当时，讨论在区间内的零点个数解：（1）（思路：解绝对值不等式，一是分类讨论，一是整体等价转化，本小题可等价转化为）（2）原函数

4、即下面分段函数：分段研究，即可得以下结论：在（上单调递减，在上单调递增。（3）分a=2和a2两种情况讨论。1）当a=2，为在同一直角坐标系分别作出和g(x)= 的图象，易得两图象在得一个交点，交点的横坐标为x=2, 从而在区间内有一个零点。2）当a2时由于的最小值在x=a处取得，而此时g(x)= 的值为，但的最小值小于（可作差比较，把差分解或构造函数解决），再在同一直角坐标系分别作出和g(x)= 的图象，易得两图象在有两个交点，从而在区间内有两个零点。例3（江苏2015年高考题的改编题）已知函数。（1）试讨论的单调性；（2）若点(a,b)在直线上，且函数有三个不同的零点，求a,b的取值范围。解：（1）通过导数，再分a=0，a0，a0，函数在上单调递增；函数在上单调递减；3）当a0时为单调递增，当，故在必有零点，从而在有唯一零点。（2）设零点为,从而有。易得为函数的最小值，即，又，从而，当时.。练习：1设函数若，则的最小值为；若恰有2个零点，则实数的取值范围是2.已知，若存在实数，使函数有两个零点，则a的取值范围是 .3、若函数f（x）=| -2 |-b有两个零点，则实数b的取值范围是_.4已知函数 函数 ，其中 ，若函数 恰有4个零点，则的取值范围是（A） （B） （C） （D）5.已知函数，函数，则函数的零点的个数为(A) 2 (B) 3