弹性力学 空间问题的基本理论.ppt

1、空间问题的基本理论,第七章,合肥工业大学本科生教学,弹性力学,主讲教师：袁海平 (副教授、博士后),一、平衡微分方程 二、物体内任一点的应力状态 三、主应力 最大与最小的应力 四、几何方程及物理方程 五、轴对称问题的基本方程 例题,第七章空间问题的基本理论,内容提要,弹性力学简明教程(第三版),徐芝纶院士(1911-1999),弹性力学,空间问题的基本理论,3,在空间问题中，应力、形变和位移等基本知函数共有15个，且均为x,y,z的函数。,空间问题的基本方程，边界条件，以及按位移求解和按应力求解的方法，都是与平面问题相似的。因此，许多问题可以从平面问题推广得到。,平衡微分方程,一,弹性力学,空

2、间问题的基本理论,4,取出微小的平行六面体，,考虑其平衡条件:,平衡微分方程,一,弹性力学,空间问题的基本理论,5,由x 轴向投影力的平衡微分方程可得,因为 x , y , z 轴互相垂直，均为定向，量纲均为L，所以 x , y , z 坐标具有对等性，其方程也必然具有对等性。,平衡微分方程,一,弹性力学,空间问题的基本理论,6,由3个力矩方程得到3个切应力互等定理，,空间问题的平衡微分方程精确到三阶微量,平衡微分方程,一,一、平衡微分方程 二、物体内任一点的应力状态 三、主应力 最大与最小的应力 四、几何方程及物理方程 五、轴对称问题的基本方程 例题,第七章空间问题的基本理论,内容提要,弹性

3、力学简明教程(第三版),徐芝纶院士(1911-1999),弹性力学,空间问题的基本理论,8,在空间问题中，同样需要解决：由直角坐标的应力分量 ，来求出斜面(法线为 ）上的应力。,物体内任一点的应力状态,二,弹性力学,空间问题的基本理论,9,斜面的全应力p 可表示为两种分量形式：,p沿坐标向分量：,p沿法向和切向分量：,物体内任一点的应力状态,二,弹性力学,空间问题的基本理论,10,取出如图的包含斜面的微分四面体，斜面面积为ds, 则x面，y面和z面的面积分别为lds,mds,nds。,由四面体的力平衡条件可得,1. 求,物体内任一点的应力状态,二,弹性力学,空间问题的基本理论,11,2. 求,

4、将,向法向 投影，即得,得,由,物体内任一点的应力状态,二,弹性力学,空间问题的基本理论,12,设在 边界上，给定了面力分量 则可将微分四面体移动到边界点上，并使斜面与边界重合。斜面应力分量 应代之为面力分量 ，从而得出空间问题的应力边界条件:,3. 在 上的应力边界条件,物体内任一点的应力状态,二,一、平衡微分方程 二、物体内任一点的应力状态 三、主应力 最大与最小的应力 四、几何方程及物理方程 五、轴对称问题的基本方程 例题,第七章空间问题的基本理论,内容提要,弹性力学简明教程(第三版),徐芝纶院士(1911-1999),弹性力学,空间问题的基本理论,14,1.假设 面(l , m , n

5、)为主面，则此斜面上,斜面上沿坐标向的应力分量为：,代入 , 得到：,主应力 最大与最小的应力,三,弹性力学,空间问题的基本理论,15,考虑方向余弦关系式，有,结论：式(a) , (b)是求主应力及其方向余弦的方程。,(b),主应力 最大与最小的应力,三,弹性力学,空间问题的基本理论,16,2. 求主应力,将式(a)改写为：,主应力 最大与最小的应力,三,弹性力学,空间问题的基本理论,17,上式是求解 l , m , n 的齐次代数方程。由于l , m , n不全为0，所以其系数行列式必须为零，得,展开，即得求主应力的方程,( c ),主应力 最大与最小的应力,三,弹性力学,空间问题的基本理论

6、,18,3.应力主向,设主应力 的主向为 。代入式(a)中的前两式，整理后得,主应力 最大与最小的应力,三,弹性力学,空间问题的基本理论,19,由上两式解出 。然后由式(b)得出,再求出 及 。,4. 一点至少存在着三个互相垂直的主应力,（证明见书上）。,主应力 最大与最小的应力,三,弹性力学,空间问题的基本理论,20,5.应力不变量,若从式(c) 求出三个主应力 ，则式(c)也可以用根式方程表示为，,因式(c) 和( f )是等价的方程，故 的各幂次系数应相等，从而得出：,主应力 最大与最小的应力,三,弹性力学,空间问题的基本理论,21,(g),主应力 最大与最小的应力,三,弹性力学,空间问

7、题的基本理论,22,所以分别称 为第一、二、三应力不变量。这些不变量常用于塑性力学之中。,式(g)中的各式，左边是不随坐标选择而变的；而右边各项虽与坐标的选择有关，但其和也应与坐标选择无关。,主应力 最大与最小的应力,三,弹性力学,空间问题的基本理论,23,6.关于一点应力状态的结论：,6个坐标面上的应力分量完全确定一点 的应力状态。只要6个坐标面上的应力 分量确定了，则通过此点的任何面上的 应力也完全确定并可求出。,(2)一点存在着3个互相垂直的应力主面及 主应力。,主应力 最大与最小的应力,三,弹性力学,空间问题的基本理论,24,(3) 3个主应力包含了此点的最大和最小 正应力。,(4)

8、一点存在3个应力不变量,(5) 最大和最小切应力为 ，作用于通过中间 主应力、并且“平分最大和最小正应 力的夹角”的平面上。,设,主应力 最大与最小的应力,三,一、平衡微分方程 二、物体内任一点的应力状态 三、主应力 最大与最小的应力 四、几何方程及物理方程 五、轴对称问题的基本方程 例题,第七章空间问题的基本理论,内容提要,弹性力学简明教程(第三版),徐芝纶院士(1911-1999),弹性力学,空间问题的基本理论,26,空间问题的几何方程，可以从平面问题推广得出：,(a),几何方程及物理方程,四,弹性力学,空间问题的基本理论,27,从几何方程同样可得出形变与位移之间的关系：, 若位移确定，则

9、形变完全确定。,从数学上看，由位移函数求导数是完全确定的，故形变完全确定。,几何方程及物理方程,四,弹性力学,空间问题的基本理论,28,-沿x , y , z 向的刚体平移；, 若形变确定，则位移不完全确定。,由形变求位移，要通过积分，会出现待定的函数。若 ，还存在对应的位移分量，为：,(b),-绕x , y , z轴的刚体转动。,几何方程及物理方程,四,弹性力学,空间问题的基本理论,29,若在 边界上给定了约束位移分量 ，则空间问题的位移边界条件为：,( c ),几何方程及物理方程,四,弹性力学,空间问题的基本理论,30,(d),其中由于小变形假定，略去了形变的2、3次幂。,体积应变定义为：

10、,几何方程及物理方程,四,弹性力学,空间问题的基本理论,31,空间问题的物理方程, 应变用应力表示，用于按应力求解方法：,( x ,y ,z ). (e),可表示为两种形式：,几何方程及物理方程,四,弹性力学,空间问题的基本理论,32, 应力用应变表示，用于按位移求解方法：,(x ,y , z). ( f ),由物理方程可以导出,（g）,是第一应力不变量，又称为体积应力。,-称为体积模量。,几何方程及物理方程,四,弹性力学,空间问题的基本理论,33,空间问题的应力，形变，位移等15个未知函数，它们都是(x ,y ,z)的函数。这些函数在区域V内必须满足3个平衡微分方程，6个几何方程及6个物理方

11、程，并在边界上满足3个应力或位移的边界条件。,结论：,几何方程及物理方程,四,一、平衡微分方程 二、物体内任一点的应力状态 三、主应力 最大与最小的应力 四、几何方程及物理方程 五、轴对称问题的基本方程 例题,第七章空间问题的基本理论,内容提要,弹性力学简明教程(第三版),徐芝纶院士(1911-1999),弹性力学,空间问题的基本理论,35,空间轴对称问题,采用柱坐标 表示。,如果弹性体的几何形状，约束情况和所受的外力都为轴对称，则应力，形变和位移也是轴对称的。,轴对称问题的基本方程,五,弹性力学,空间问题的基本理论,36,对于空间轴对称问题：,应力中只有,(a),形变中只有,位移中只有,所有

12、物理量仅为(,z)的函数。,轴对称问题的基本方程,五,弹性力学,空间问题的基本理论,37,而由,得出为 。,平衡微分方程：,轴对称问题的基本方程,五,弹性力学,空间问题的基本理论,38,几何方程：,其中,几何方程为,轴对称问题的基本方程,五,弹性力学,空间问题的基本理论,39,物理方程：,应变用应力表示：,(d),轴对称问题的基本方程,五,弹性力学,空间问题的基本理论,40,应力用应变表示：,其中,轴对称问题的基本方程,五,弹性力学,空间问题的基本理论,41,边界条件： 一般用柱坐标表示时，边界面均为坐标面。所以边界条件也十分简单。,在柱坐标中，坐标分量 的量纲、方向性、坐标线的性质不是完全相

13、同的。因此，相应的方程不具有对等性。,轴对称问题的基本方程,五,一、平衡微分方程 二、物体内任一点的应力状态 三、主应力 最大与最小的应力 四、几何方程及物理方程 五、轴对称问题的基本方程 例题,第七章空间问题的基本理论,内容提要,弹性力学简明教程(第三版),徐芝纶院士(1911-1999),弹性力学,空间问题的基本理论,43,例题 1,设物体的边界面方程为,试求出边界面的应力边界条件；若面力为法向的分布拉力 应力边界条件是什么形式？,例题,六,弹性力学,空间问题的基本理论,44,（x,y,z)，,其中,解：当物体的边界面方程为 时，它的表面法线的方向余弦 为,例题,六,弹性力学,空间问题的基

14、本理论,45,当面力为法向分布拉力q时，,(x, y, z).,因此，应力边界条件为,代入应力边界条件，得,(x, y, z).,例题,六,弹性力学,空间问题的基本理论,46,例题2 试求图示空间弹性体中的应力分量。,(a)正六面体弹性体置于刚体中，上边界受均布压力q作用，设刚性体与弹性体之间无摩擦力。,(b)半无限大空间体，其表面受均布压力q的作用。,例题,六,弹性力学,空间问题的基本理论,47,q,q,o,o,x,x,z,z,例题,六,弹性力学,空间问题的基本理论,48,解：图示的(a),(b)两问题是相同的应力状态：x向与y向的应力、应变和位移都是相同的，即等。,对于(a)，有约束条件；,对于(b)，有对称条件。,例题,六,弹性力学,空间问题的基本理论,49,则可解出：,而两者的，因此，由物理方程：,例题,六,弹性力学,空间问题的基本理论,50,例题 图示的弹性体为一长柱形体，在顶面 z=0 上有一集中力 F 作用于角点，试写出z=0 表面上的边界条件。,x,y,o,b,b,a,a,z,图7-5,P,例题,六,弹性力学,空间问题的基本理论,51,解：本题是空间问题，z=0 的表面是小边 界，可以应用圣维南原理列出应力的边界条件。即在z=0的表面边界上，使应力的主矢量和主矩，分别等于面力的