电机拖动技术基础第四章机器人的动力学.ppt

1、第四章 机器人的动力学,4.1 概述 4.2 机器人的静力学 4.3 机器人动力学方程式,4.1概述,机器人动力学：研究机器人运动与关节驱动力（力矩）间的动态关系。 机器人动力学模型：描述机器人运动与关节驱动力（力矩）间动态关系的微分方程，表示各关节的关节变量对时间的一阶导数、二阶导数与各执行器驱动力或力矩之间的关系。主要用于机器人的设计和离线编程。,一、动力学问题分类,正动力学问题：机器人各执行器的驱动力或力矩为已知，求解机器人关节变量在关节变量空间的轨迹或末端执行器在笛卡尔空间的轨迹。 逆动力学问题：机器人在关节变量空间的轨迹已确定或末端执行器在笛卡尔空间的轨迹已确定（轨迹已被规划），求解

2、机器人各执行器的驱动力或力矩。,二、动力学研究目的 为了对机器人的运动进行有效控制，以实现预期的轨迹运动。 三、求解动力学问题方法 牛顿欧拉法：利用牛顿力学的刚体力学知识导出逆动力学递推公式，再归纳。 拉格朗日法：引入拉格朗日方程直接获得机器人动力学方程解析公式。 凯恩动力学法、高斯方法、旋量对偶法。其中拉格朗日法运算量最大，牛顿欧拉法次之，凯恩法运算量最小，效率最高。,4.2机器人的静力学,一、虚功原理（principle of virtual work） 虚位移：系统力学结构的位移，不同于随时间一起产生的实际位移。 虚功原理（虚位移原理）：约束力不做功的力学系统实现平衡的必要且充分条件是对

3、结构上允许的任意位移（虚位移）施力所做功之和为零。 约束力：使系统动作（运动）受到制约的力。,例：已知作用在杠杆一端的力FA，试用虚功原理求作用于另一 端的力FB。假设杠杆长度LA、LB已知。 解：设在力FA、FB的作用下，杠杆两端的虚位移分别为： 杠杆绕支点转动虚位移为： 则： 按照虚功原理，杠杆两端受力所作的虚功分别为： 由虚功原理得： 当FA取向下为正值时，FB为负值。由于FB的正方向规定为向 上，所以FB实际朝下。,三、惯性矩（转动惯量）,1.惯性矩的物理意义 如图将力F作用到质量为m的质点时的平移运动，看作是运动方向的标量，则由牛顿第二定律得：,若把这一运动看作是质量可以忽略的棒长为

4、r的回转运动，则,平移作为回转运动来分析,2.（理想）质量连续分布的物体的惯性矩,求解方法：将物体分割成假想的微小物体，然后把各微小物体 的惯性矩加在一起。 对于微小物体 由于 所以 整个物体的惯性矩（转动惯量）为： (1)均质细直杆对于Z轴的转动惯量 设杆长为l，单位长度的质量为 ，取杆上一微段dx,其质量为 则杆对Z轴的转动惯量为： 由于 ，则,(2)均质薄圆环对中心轴的转动惯量 设圆环质量为m,半径为R。将圆环分成若干微段 由于每段到中心轴的距离均为R，所以圆环对中心轴的转动惯量为: (3)均质圆板对中心轴的转动惯量 设圆板半径为R,质量为m,将圆板分为无数同心的薄圆环，任一圆环 半径为

5、 ，宽度为 ，则圆环质量为： 因而圆板对中心轴的转动惯量为： 平行轴定理：刚体对任一轴的转动惯量等于刚体对通过质心并且与 该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积。,四、运动学、静力学、动力学的关系,静力学：在静止状态下，机器人的手爪接触环境时，手爪 力F与关节驱动力 之间的关系。 动力学：在动态情况下，关节驱动力 和关节位移 ， 关节速度 ，关节加速度 之间的关系。 运动学：关节位移 、速度 、加速度 与手爪位移 ， 速度 ，加速度 之间的关系。,一、机器人的动能与位能 1.动能 刚体的运动能量（动能）由该刚体的平移运动能量与 该刚体的旋转运动能量之和。 平移动能： 旋转

6、动能： 对于机器人的第i个连杆，其动能为： 机器人的运动能量K由各连杆动能的总和表示，即,4.3机器人动力学方程式,2.位能（势能）,二、机器人动力学方程的建立,1.牛顿-欧拉方程式,牛顿运动方程,如果将机械手的连杆看成刚体，它的质心加速度 、总质量m与产生这一加速度的作用力FC之间的关系满足牛顿第二运动定律:,当刚体绕过质心的轴线旋转时，角速度，角加速度 ，惯性张量 与作用力矩N之间满足欧拉方程：,欧拉运动方程,惯性张量,令c是以刚体的重心c为原点规定的一个坐标系，相对于该坐标系c的惯性张量 定义为的对称矩阵：,式中，对角线元素是刚体绕三坐标轴x，y，z的质量惯性矩，即Ixx，Iyy，Izz

7、，其余元素为惯性积。,惯性张量表示刚体质量分布的特征。其值与选取的参考坐标系有关，若选取的坐标系使惯性积都为零，相应的质量惯性矩为主惯性矩。,2拉格朗日（ Lagrange ）方程式,对于任何机械系统，拉格朗日函数L定义为系统总的动能K与总的势能P之差，即L=K-P。这里，L是拉格朗日算子；k是动能；P是势能。,或,利用Lagrange函数L，系统的动力学方程（称为第二类Lagrange方程）为：,表示动能，表示势能。,1自由度机械手用Lagrange法求解如下：,总势能为,代入Lagrange方程 得 ，与前面的结 果一致。这里I=IZ=IC+mL2C,解：总动能 （为广义坐标）,例：平面RP机械手如图所示，连杆1和连杆2的质量分别为m1和m2，质心的位置由l1和d2所规定，惯性张量为（z轴垂直纸面）：,解：连杆1，2的动能分别为：,机械手总的动能为,连杆1，2的势能分别为,机械手总的位能（势能）为,计算各偏导数,将以上结果代入Lagrange方程 得,例：求如图所示2自由度机械手的动力学方程。,解： 运动能量： 位能：,由理论力学知识：各连杆的动能可用连杆质量中心平移运动的能量和绕质量中心回转运动的动能之和表示。,则拉格朗日算子为：,由拉格