二项式定理.ppt

1、二项式定理,(a+b)2,(a+b)3,那么将(a+b)4 ，(a+b)5 . . .展开后，它们的各项是什么呢？,C20 a2 + C21 ab+ C22 b2,= C30a3 +C31a2b+C32ab2 +C33 b3,=a3 + 3a2b+3ab2 + b3,= a2 +2ab+b2,(a+b)2 (a+b) (a+b) 展开后其项的形式为：a2 ， ab ， b2 这三项的系数为各项在展开式中出现的次数. 考虑b: 每个都不取b的情况有C20 种,则a2前的系数为C20 恰有1个取b的情况有C21种，则ab前的系数为C21 恰有2个取b的情况有C22 种，则b2前的系数为C22,对(

2、a+b)2展开式的分析,(a+b)4 (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)？,1)(a+b)4展开后各项形式分别是什么？,2)各项前的系数代表着什么？,a4 a3b a2b2 ab3 b4,各项前的系数 代表着这些项在展开式中出现的次数,问题,每个都不取b的情况有1种,即C40 ,则a4前的系数为C40 恰有1个取b的情况有C41种，则a3b前的系数为C41 恰有2个取b的情况有C42 种，则a2b2前的系数为C42 恰有3个取b的情况有C43 种，则ab3前的系数为C43 恰有4个取b的情况有C44种，则b4前的系数为C44 则 (a+b)4 C40 a4 C41 a3b C42

3、a2b2 C43 ab3 C44 b4,3)你能分析说明各项前的系数吗？,a4 a3b a2b2 ab3 b4,(a+b)n=?,二项展开式定理,每个都不取b的情况有1种,即Cn0 ,则an前的系数为Cn0 恰有1个取b的情况有Cn1种，则an-1b前的系数为Cn1 恰有2个取b的情况有Cn2 种，则an-2b2前的系数为Cn2 . 恰有r个取b的情况有Cnr 种，则an-rbr前的系数为Cnr . 恰有n个取b的情况有Cnn 种，则bn前的系数为Cnn,右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式 Cnr an-rbr：二项展开式的通项，记作Tr+1 Cnr ： 二项式系数,二项展开式共有n+1

4、项 各项中a的指数从n起依次减小1，到0为此 各项中b的指数从0起依次增加1，到n为此 如(1+x)n =1+ Cn1 x+ Cn2 x2+ +Cnr xr + xn,注,二项展开式定理,Cnr an-rbr：二项展开式的通项，记作Tr+1 Cnr ： 二项式系数,二项展开式共有n+1项 各项中a的指数从n起依次减小1，到0为此 各项中b的指数从0起依次增加1，到n为此 如(1+x)n =1+ Cn1 x+ Cn2 x2+ +Cnr xr + xn,求(1+2x)7的展开式的第4项,注：1)注意对二项式定理的灵活应用 2)注意区别二项式系数与项的系数的概念 二项式系数：Cnr； 项的系数：二项

5、式系数与数字系数的积 3)求二项式系数或项的系数的一种方法是将二项式展开,第4项的二项式系数,第4项的系数,(1)求(1+2x)7的展开式的第4项的系数,解,(1) (1+2x)7的展开式的第4项是,T3+1=C7317-3(2x)3 =3523x3 =280 x3,解,分析:先化简再运用公式,分析: 先求出x3是展开式的哪一项,再求它的系数,(1)求(1+2x)7的展开式的第4项,9-2r =3,r =3,x3系数是 (-1)3C93=-84,求（x+a)12的展开式中的倒数第4项,解:,(x+a)12的展开式有13项,倒数第4项是它的第10项,解:,练习,求 的展开式的中间两项,解:,展开式共有