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文档简介

1、1,定义1,内积,第一节 向量的内积、长度及正交性,第五章 相似矩阵及二次型,2,内积的运算性质,(5) 施瓦茨(Schwarz)不等式,3,定义2,令,向量长度的性质：,向量的长度及性质,4,（3）三角不等式,证明：,由施瓦茨不等式可知,则,所以,5,解,单位向量,夹角,单位向量及n维向量间的夹角,例,6,当 时 ,称为 n 维向量 x 与 y 的夹角 .,故,其中 是 和 的夹角.,x 到 y 的标量投影,x 到 y 的向量投影,7, 正交的概念, 正交向量组的概念,正交,一组两两正交的非零向量，称为正交向量组,正交向量组的概念及求法,注 ：零向量与任何同维的向量都正交 .,8,证明, 正

2、交向量组的性质,定理1,9,例1 已知三维向量空间中两个向量,正交，试求 使 构成三维空间的一个正交 基., 向量空间的正交基,10,即,解之得,由上可知 构成三 维空间的一个正交基.,解,11,定义3,说明,单位向量,两两正交,是 的一个规范正交基 .,规范正交基也不唯一 !,12,例如,分析：,所以 是 的一个规范正交基 .,13,说明,因而向量空间取基时常取规范正交基。,14,设 是向量空间 V 的一个基 .,问题：求 V 的一个规范正交基 .,使得 与 等价 .,我们称这个问题为：,把基 规范正交化 .,5 求规范正交基的方法,15,几何解释,为 在 上的投影向量 ,令 为 在 上的投

3、影向量 ,令 为 在 上的投影向量 ,则,已知,则,16,（1）正交化,若 为向量空间 V 的一个基 ,令,且与 等价 .,施密特正 交化过程,17,（2）单位化,取,那么 为 的一个规范正交基 .,18,解 先正交化，,取,19,再单位化，,得规范正交向量组如下,20,例,解,21,再把它们单位化，取,22,例,解,23,把基础解系正交化，即合所求亦即取,证明,定义4,定理,为正交矩阵的充要条件是 的列(行)向量 都是单位向量且两两正交,正交矩阵与正交变换,25,则 也是正交阵 ,(2) 若 A , B 为正交矩阵 ,则 AB 也是正交阵 .,26,例5,解,27,例6 判别下列矩阵是否为正交阵,解,所以它不是正交矩阵,考察矩阵的第一列和第二列，,由于,28,所以它是正交矩阵,由于,29,性质 正交变换保持向量的长度不变,证明,定义5 若 为正交阵，则线性变换 称为正 交变换,30,1 将一组基规范正交化的方法： 先用施密特正交化方法将基正交化，然后再将 其单位化,小

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