分析动力学之约束理论(PPT 22页).ppt

1、02.10.2020,Page 1,清华大学航天航空学院 王天舒（）,分析动力学之约束理论,02.10.2020,Page 2,本节内容,内容1：约束、广义坐标,内容2：约束的几何意义,内容3：约束对运动的影响（位移、速度）。,虚位移是约束被“冻结”后此瞬时约束允许的无限小位移，与时间t的变化无关 ( t 0)。,分析力学的基础概念：虚位移,02.10.2020,Page 3,1.1 位形空间,对于物体运动的客观空间，引入笛卡儿坐标系Oxyz。为描述一个质点的运动，需考虑在每一时刻t的向径r(t):,对于由N个质点所构成的系统，则需要3N个数来表示质点系统的位置和形状（位形）：,引入由这3N个

2、数张成的抽象空间来表示位形c，令该空间是由这3N个数构成各维的正交欧氏空间C，称为位形空间。,运动的多维空间描述,02.10.2020,Page 4,系统每一时刻的位形唯一对应于C空间的一个表现点c,C空间的一个点c对应于系统的一个位形,当系统的位形随时间变化时，其位形表现点在C空间中画出了一超曲线，即一维的轨迹，称为系统的C轨迹。,C轨迹的一般性质：,1. C轨迹是连续的；,2. C轨迹可以有重点；,3. C轨迹的拐点仅发生在如下情况；,a. 静止点处；,b. 在有打击作用的时刻；,位形空间的特点,02.10.2020,Page 5,1.2 约束,约束：非自由质点系在空间中的位置及其在运动中

3、受到的限制,约束方程：用数学方程表达各质点所受的限制条件,在由两个或更多质点构成的系统中，不受约束的运动是不存在的。,绝大多数的运动都是约束运动。,约束,02.10.2020,Page 6,具有如下形式或可以化为如下形式的约束称为完整约束：,1.3 完整约束,完整约束(homonomic constraint),02.10.2020,Page 7,如约束表达式中不显含时间 t ，则称其为定常约束(scleronomic constraint)； 否则称为非定常约束(rheonomic constraint) 。,定常约束和非定常约束,02.10.2020,Page 8,对于定常约束：,一个约束

4、方程构成位形空间上的一个N-1维固定曲面。,对于非定常约束？,系统运动的c轨迹必须位于该曲面内。,约束方程的几何解释,02.10.2020,Page 9,1.4 广义坐标,能够唯一地确定质点系可能位置的独立参数称为广义坐标。选定广义坐标后，系统内笛卡儿坐标可由广义坐标确定,广义坐标数为：,N 质点总数 r 完整约束的总数；,广义坐标,02.10.2020,Page 10,取一组新的坐标：,两组坐标之间的变换关系：,两组坐标均可以描述质点的位形,考虑系统由一个质点构成,约束方程为：x-y=0,广义坐标,02.10.2020,Page 11,注意到完整约束关系:,则有：,即可以用两个坐标表示系统的

5、位形：广义坐标,在广义坐标下系统的完整约束自然满足，约束方程可不予考虑。,广义坐标,02.10.2020,Page 12,设由N个质点组成的系统包含独立的r个完整约束,引入一组新的变量q：,令变换关系中的前r项为完整约束，其余部分任选，但要求变换式为无关组。,则可以得到从x到q的变换：,广义坐标,02.10.2020,Page 13,注意到完整约束关系:,则有：,即笛卡儿坐标可利用另一组坐标表示,当采用广义坐标时，完整约束自动满足。,广义坐标,02.10.2020,Page 14,假设约束曲面是光滑的，有：,在约束面上的任一点处的充分小临域内，约束方程要求所有的可能轨迹必须在其切平面内，而不是

6、约束曲面内。,虚位移在约束曲面的切平面内。,约束对无穷小位移的影响（局部特性）,02.10.2020,Page 15,在光滑球面上运动的质点，球面方程为：,约束方程：,无穷小的位移改变应满足：,约束对无穷小位移的影响（例）,02.10.2020,Page 16,设在无穷小位移上的约束为：,其中g(z)为z的已知函数，求加在有限位移上的约束,解：没有加在有限位移上的约束。,若令加在有限位移上的约束为：,则有：,加在无穷小位移上的约束不一定会限制有限位移的运动。,速度约束不一定对位移有限制。,约束与有限位移和无穷小位移（例）,02.10.2020,Page 17,不可化为完整约束形式的约束为非完整

7、约束。,大多数实际遇到的非完整约束问题，其约束方程为质点速度的一次代数方程：,1.5 非完整约束,非完整约束,02.10.2020,Page 18,上述形式的微分约束称为Pfaff约束。,将速度形式的约束方程写成微分形式：,对于完整约束：,有：,则系统的约束方程可以统一表示为微分形式：,有关于Pfaff约束的可积性定理可见参考文献,Pfaff形式,02.10.2020,Page 19,完整约束限制系统的位形轨迹必须在约束曲面上。,非完整约束？,例：对于非完整约束：,可否由原点到达空间中的任一点(x1,y1,z1)？,在xy平面内作函数y=f(x) ：,解：,定义质点的轨迹为：,非完整约束的特点可达性,02.10.2020,Page 20,显然质点的轨迹满足：,1. 过原点,2. 过(x1