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文档简介

1、执教： 朱剑飞 公主岭市八屋镇中学校,海伦-秦九韶公式,SABC =,1、什么是最简二次根式？,知识回顾,3、如图示，有一块三角形的地块，欲求其面积，需要测量那些数据呢？,怎么求三角形的面积？,怎么求四边形、及多边形的面积呢？,海伦公式,如果一个三角形的三边长分别为a,b,c.记：p= (a+b+c),那么三角形的面积为 S= ,古希腊的几何家海伦（Heron,约公元50年），在数学史上以解决几何测量问题而闻名，在他的著作度量一书中，给出了公式和它的证明，这一公式称为海伦公式。,我国南宋时期的数学家秦九韶（约1202-约1261）曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式,这说明海伦公式与秦九韶

2、公式实质上是同一个公式，所以我们也称为海伦秦九韶公式,比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。,知识导读,如图示：在三角形ABC中，BC=4，AC=5，AB=6，请你用海伦-秦九韶公式求三角形ABC的面积。,应用,C,A,B,5,4,6,解： 因为P= (a+b+c)= (4+5+6）=7.5 所以S= = 7.5（7.5-4）（7.5-5）（7.5-6） =98.4375,中考链接,(2009浙江嘉兴)如图，已知A、B是线段MN上的两点，MN=4，MA=1 ，MB1以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构

3、成ABC，设AB=X （1）求x的取值范围； （2）若ABC为直角三角形，求x的值； （3）探究：ABC的最大面积？,这是一道有分量的中考压轴题。前两问较易解决， 利用不等式及直角三角形勾股定理可求得，在这儿我不讨论。只讨论第三问。,通过从A,B,C分别作对边的高，试图建立面积S与x间的二次函数关系式子太复杂，后来发现可利用求三角形面积的海伦公式来解答，现解答如下：,由于在实际应用中，往往需计算四边形的面积，所以需要对海伦公式进行推广。由于三角形内接于圆，所以猜想海伦公式的推广为：在任意内接于圆的四边形ABCD中，设p= ,则S四边形=,海伦公式的推广,解：设BC = x 由海伦公式的推广，得

4、： x(4x)(2x)2 =27 x412x216x27 = 0 x2(x21)11x(x1)27(x1) = 0 (x1)(x3x211x27) = 0 x = 1或x3x211x27 = 0 当x = 1时，AD = BC = 1 四边形可能为等腰梯形。,海伦公式的推广在实际解题中有着广泛的应用，特别是在有关圆内接四边形的各种综合题中，直接运用海伦公式的推广往往事半功倍。 例题：如图，四边形ABCD内接于圆O中，S四边形ABCD = ,AD = 1,AB = 1, CD = 2. 求证：四边形可能为等腰梯形。,推广应用,=,SABC =,1、,2、,测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的

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