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习 题 课 三 十 1设平面在第一卦限的部分,求.解:由， ， 另解：2设锥面被柱面所截下的有限部分，面密度为常数，求它的形心。解：， ，故质心为。3计算第二型曲面积分 ，其中位于间的一片，且法向量与y轴正向的夹角成锐角。解：添补平面：，取左侧，则成内侧封闭曲面，其围成的区域为。，, 4计算，其中下半球面的上侧，解：，。（为用公式创造条件）。添补平面：，取下侧，则成内侧封闭曲面，其围成的区域为。， 5. 设计算，其中S为半球面的上侧. ，6.设密度为1的流体的流速为,曲面是由曲线绕z轴旋转而成的旋转面,其法向量与z轴正向的夹角为锐角,求单位时间内流体流向曲面指定侧的流量Q。解：旋转曲面的方程为，取内侧，添补平面：，取下侧， ：，取上侧，则成内侧封闭曲面，其围成的区域为。 ， 6证明：，其中是球面。证法1：在有界闭区域上连续，在上必有最小值， 设，令，驻点为，又，在上的最小值为，即对上任意一点，有，故。证法2：球面，即。设面密度为1，则球的形心即为球心，故。，同理。证法3：作变换，。5
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