等比数列的概念及其简单性质(教师用)

1、1.4等比数列的概念及其简单性质（教师用）知能点全解：知能点一：等比数列的定义 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前面相邻一项之比为同一个常数，则这个数列叫做等比数列。特别说明： 1、定义还可以表述为：数列中，若（常数）。则称为等比数列。 2、由于等比数列每一项都可以作分母，故每一项均不为，即。 3、定义中的“同一个”常数，这个“同一个”十分重要，切记不可丢掉。 4、常数列都是等差数列；非零常数列都是等比数列。例 1：下面四个数列： ；数列中，已知；常数列；在数列中，（常数），其中。其中是等比数列的有 。知能点二：等比数列的通项公式第一通项公式：，为首项，为公比。第二通项公式：例 2：

2、在等比数列中（1）若，求； （2），求；（3），求。解：（1） （2） 当时，由，可得；当时，同理可得。 （3）由已知得 由得： 或 当时，；当时，。 知能点三：等比中项 若、成等差数列，则叫做与的等比中项，此时。特别说明： 1、在、同号时，、的等比中项有两个；在、异号时，、没有等比中项。 2、“、成等差数列”等价于“”，可以用它来判断或证明三数成等比数列。知能点四：等比数列的简单性质 1、在等比数列中，若，则。 2、在等比数列中，序号成等差数列的项，仍称等比数列。 3、若，是项数相同的等比数列，则仍是等比数列。 4、若是等差数列，则为等比数列；若是等比数列，则为等差数列。 5、等比数列的增减

3、性 为递增数列；为递减数列。 为常数列；为摆动数列。例 3：已知等比数列，若，求。 解： 或 或例 4：设数列是等差数列，已知，求。 解：设数列的公差为，则 为非零常数 是等比数列，设其公比为。 当时， 当时， 例 5：已知数列是各项为正的等比数列，且，试比较与的大小。 解：当时，此正数等比数列单调递减，与同为正数当时，此正数等比数列单调递增，与同为负数恒正 知能点演练： 一、选择题1、某种细胞每隔20分钟分裂1次，1个分裂成2个，则1个这样的细胞经过3小时20分后，可得到的细胞个数为（ C ） A、512个 B、511个 C、1024个 D、1023个2、若等比数列的首项为，末项为，公比为，

4、则这个数列的项数为（ B ） A、 B、 C、 D、3、若是等比数列，且，则公比（ C ） A、 B、或 C、或 D、或4、若是等比数列的前项，则第项为（ B ） A、 B、 C、 D、5、已知公比为的等比数列，若，则数列是（ A ） A、公比为的等比数列 B、公比为的等比数列 C、公差为的等差数列 D、公差为的等差数列6、在正项等比数列中，是方程的两个根，则的值为（ D ） A、 B、 C、 D、7、在和之间插入两个正数，使前数成等比数列，后数成等差数列，则这两个正数的和为（ B ） A、 B、 C、 D、8、在等比数列中，且，则的值为（ B ） A、 B、 C、 D、9、已知，且成等比数列

5、，为大于的整数，则成（ C ） A、等差数列 B、等比数列 C、各项倒数成等差数列 D、以上都不对10、已知为各项都大于零的等比数列，公比，则（ A ） A、 B、 C、 D、的大小关系不能由已知条件确11、已知数列的前项和（是不为零的常数），那么数列（ C ） A、一定是等差数列 B、一定是等比数列 C、等差数列或是等比数列 D、既不可能是等差，也不可能是等比数列12、已知等比数列各项均为正数，且成等差数列，则（ B ） A、 B、 C、 D、或13、若实数成等比数列，则函数的图像与轴的交点个数是（ A ） A、 B、 C、 D、不确定14、在等比数列中，则（ D ） A、 B、 C、 D、

6、15、在各项均为正数的等比数列中，若，则等于（ B ） A、 B、 C、 D、16、给定公比为的等比数列，设，则数列是（ C ） A、等差数列 B、公比为的等比数列 C、公比为的等比数列 D、既非等差又非等比数列17、三个互不相等的实数依次成等差数列，且依次成等比数列，则的值为（ B ） A、 B、 C、或 D、不确定二、填空题18、在等比数列中，已知，且公比为整数，则 。19、非零实数成等差数列，若加，不变，或是不变，加，都可以按同样的顺序成等比数列，则 ， ， 。20、已知四个实数成等差数列，五个实数成等比数列，则 。21、三个数成等差数列，三个数成等比数列，则 或- 。22、已知等差数列的公差，且成等比数列，则 。23、在数列、中，且对任意自然数，是与的等差中项，则是 首项为公比为的等比数列 。24、下列命题中，正确命题的序号为 。 若为等比数列，且，则；若为等比数列，公比为，则也是等比数列，公比为；若为等比数列，公比为，则也是等比数列，公比为；若、是等比数列，则也是等比数列。三、解答题25、已知数列满足。（1）求证：数列是等比数列；（2）求的表达式。（1）证明：给等式两边分别加，得