常微分方程课件：4_2常系数齐次线性微分方程的解法

1、4.2 常系数齐次线性微分方程的解法,上节已经解决了线性方程的通解的结构问题, 但未给出求通解的方法.事实上,对一般的方程是没有普遍适用的方法.本节介绍求解问题能彻底解决的一类方程常系数线性方程及可化为此类方程的方程. 对常系数线性方程,只需解一个代数方程(特征方程);而对某些特殊的非线性方程也可通过代数运算求得通解., 复值函数与复值解,因讨论常系数线性方程的解法时,需涉及实变量的复值函数及复指数函数的问题,故在介绍解法前先给出有关概念及性质. 复值函数(实自变量)z(t) 定义于a,b上的两实值函数(t),(t)就给出了a,b上的一个实自变量的复值函数 Z(t) (t)+i(t). 复值函

2、数的极限,复值函数的连续性及可微性定义 类似于实函数的连续性、可微性的定义, z(t) 在t=t0连续. 存在 称z(t) 在t=t0可微 且有类似于实函数的求导运算性质,如,复指数函数ekt,(tR,k C) 在讨论常系数线性方程时, ekt起着重要作用.这是由于,此类方程的形式是某函数的各阶导数的线性组合为0,而ekt的各阶导数是它自身的常数倍. 下面用Euler公式给出k=+i, , R时的ekt的定义 ekte t(cos t+isin t). (或者用 来定义),复指数函数ekt有下述性质: 证明: 记k1= 1+i1, k2= 2+i2则,复值解 称x=z(t)是方程(4.1) 的

3、复值解. 性质 定理1 设a1(t),an(t)均为实函数,z(t)= (t)+i(t)是(4.2)的复值解,那么Rez(t)= (t),Imz(t)=(t)及 (t)=(t)-i(t)都是(4.2)的解.,定理2 设x=z(t)=(t)+i(t)是Lx=u(t)+iv(t)的复值解,u(t),v(t), aj(t) (j=1,2,n)均为实函数,那么x=Rez(t)=(t) 是Lx=u(t)的解, x=Imz(t)=(t)是Lx=v(t)的解., 常系数齐次线性微分方程 本节先讨论aj(t)= aj(1 j n)时的方程 Lx=0 (1) 下面介绍求它的基本解组的一个经典方法-Euler待定

4、指数函数法(特征根法). 试求形如x=et的解,C为待定常数.将x=et代入Lx=0得 Let=(n+a1n-1+an-1+an)et=0. 显然,x=et是(1)的解等价于F() n+a1n-1+an-1+an=0.,定义 称F()=0为(1)的特征方程,它的根称为(1)的特征根. 特征根为单根 设1, n是F()=0的单根,则(1)有个解 其Wronski行列式,所以 在任何区间a,b内线性无关. 当j(1 j n)均为实数时,方程(1)的通解是 如果F()=0存在复根1=+i,那么 =-i也是 F()=0的根.根据定理1, 是方程(1)的两个实值解,这是对应于特征根= i的一对实值解.,

5、特征根是重根 设存在k重根=1,则 1=0时,则特征方程有因子 ,即an= an-1 =an-k+1=0,此时特征方程是 F() n+a1n-1+an-kn-k=0. 对应的(1)是 显然1,t,tk-1是它的k个线性无关的解., 10时,作变量替换 因 故 因此方程(1)可化为 L1y=0 (2) bj仍为常数,而相应的特征方程是 G() n+b1 n-1+bn-1 +bn=0.,F()=0的根=1对应于G()=0的根=0,且重数相同.这样就化为已讨论过的. 方程(2)的对应于k1重特征根1=0有k1个解 那么方程(1)有对应于k1重特征根1的k1个解,设F()=0有m个不同根1, m,重数是k1, km,k1+ km=n,则(1)有n个解 下面证以上n个解线性无关.假设有,其中 不全为0,不妨设 上式除以 再对t微分k1次(目的是消去P1(t)得 其中 所以 且 ,继续上述做法,(第二次除以 求k2阶导数;第三次除以 求k3阶导数,) 得 这是个矛盾. 因此,前述n个解组成方程(1)的一个基本解组.,如果F()=0有k重复根=