专训2巧用勾股定理求最短路径的长

1、阶段方法技巧训练（一）,专训2 巧用勾股定理求最 短路径的长,求最短距离的问题，第一种是通过计算比较解最 短问题；第二种是平面图形，将分散的条件通过几何 变换(平移或轴对称)进行集中，然后借助勾股定理解决； 第三种是立体图形，将立体图形展开为平面图形，在 平面图形中将路程转化为两点间的距离，然后借助直 角三角形利用勾股定理求出最短路程(距离),1,技巧,用计算法求平面中最短问题,1如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人从A走到 B，为了避免拐角C走“捷径”，在花圃内走出了一条 “路”，他们仅仅少走了_步路(假设2步为1 m)， 却踩伤了花草,4,2小明听说“武黄城际列车”已经开通，便设计了如下

2、问题： 如图，以往从黄石A坐客车到武昌客运站B，现在可以在黄 石A坐“武黄城际列车”到武汉青山站C，再从青山站C坐市 内公共汽车到武昌客运站B.设AB80 km，BC20 km， ABC120.请你帮助小明解决以下问题： (1)求A，C之间的距离(参考数据： 4.6) (2)若客车的平均速度是60 km/h，市内的公共汽车的平均速 度为40 km/h，“武黄城际列车”的平均速度为180 km/h， 为了在最短时间内到达武昌客运站，小明应选择哪种乘 车方案？请说明理由 (不计候车时间),(1)如图，过点C作AB的垂线，交AB的延长线于点E. ABC120，BCE30. 在RtCBE中，BC20

3、km， BE10 km. 由勾股定理可得CE10 km. 在RtACE中，AC2AE2CE2(ABBE)2 CE28 1003008 400， AC20 204.692(km),解：,(2)选择乘“武黄城际列车”理由如下：乘客车所需时 间为 1 (h)，乘“武黄城际列车”所需时间约为 (h) ， 选择乘“武黄城际列车”,2,用平移求平面中最短距离,技巧,3如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分 别是50 cm，30 cm，10 cm，A和B是这个台阶的两 个相对的端点，A点上有一只壁虎，它想到B点去吃 可口的食物，请你想一想，这只壁虎从A点出发， 沿着台阶面爬到B点，至少需爬() A13

4、 cm B40 cm C130 cm D169 cm,C,将台阶面展开，连接AB，如图，线段AB即为壁虎所爬的最短路线因为BC303103120(cm)，AC50 cm，在RtABC中，根据勾股定理，得AB2AC2BC2 16 900，所以AB130 cm.所以壁 虎至少爬行130 cm.,4如图，已知BCDE90，且ABCD 3，BC4，DEEF2，则AF的长是_,10,如图所示， 正方形是轴对称图形， 点B与点D是关于直线AC为对称轴 的对称点，,3,用对称法求平面中最短问题,技巧,5如图，正方形ABCD的边长为8，点M在DC上且DM 2，N是AC上的一动点，求DNMN的最小值,解：,连接

5、BN，BD，则直线AC即为BD的垂直平分线， BNND.DNMNBNMN. 连接BM交AC于点P，点N为AC上的动点， 由三角形两边之和大于第三边， 知当点N运动到点P时， DNMNBPPMBM，DNMN的最小值为BM的长度. 四边形ABCD为正方形， BCCD8，CM826，BCM90， BM 10. 即DNMN的最小值为10.,6高速公路的同一侧有A，B两城镇，如图，它们到高 速公路所在直线MN的距离分别为AA2 km，BB 4 km，AB8 km.要在高速公路上A，B之间 建一个出口P，使A，B两城镇到P的距离之和最小. 求这个最短距离,如图，作点B关于直线MN的对称点C， 连接AC交M

6、N于点P，则点P即为所建的出口 此时A，B两城镇到出口P的距离之和最小，最短距离为AC的长作ADBB于点D， 在RtADC中，ADAB8 km，DC6 km. AC 10 km， 这个最短距离为10 km.,解：,4,用展开法求立体图形中最短距离,技巧,7如图，已知圆柱体底面圆的半径为 ，高为2，AB， CD分别是两底面的直径若一只小虫从A点出发，沿 圆柱侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路线的长度 是_(结果保留根号),类型1,圆柱中的最短问题,将圆柱体的侧面沿AD剪开并铺平得长方形AADD，连接AC，如图线段AC就是小虫爬行的最短路线根据题意得AB 2 2.在RtABC中，由勾股定理，得AC

7、2AB2BC222228， AC 2 .,8已知：如图，观察图形回答下面的问题： (1)此图形的名称为_ (2)请你与同伴一起做一个这样的物体， 并把它沿AS剪开，铺在桌面上，则 它的侧面展开图是一个_,类型2,圆柱中的最短问题,圆锥,扇形,(3)如果点C是SA的中点，在A处有一只蜗牛，在C处恰好 有蜗牛想吃的食品，但它又不能直接沿AC爬到C处， 只能沿此立体图形的表面爬行，你能在侧面展开图中 画出蜗牛爬行的最短路线吗？ (4)SA的长为10，侧面展开图的圆心角为90，请你求出 蜗牛爬行的最短路程,(3)把此立体图形的侧面展开，如图所示，AC为蜗牛爬 行的最短路线 (4)在RtASC中，由勾股

8、定理， 得AC210252125， AC 5 . 故蜗牛爬行的最短路程为5 .,解：,9如图，一个正方体木柜放在墙角处(与墙面和地面均没 有缝隙)，有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜 角C1处 (1)请你在正方体木柜的表面展开图中画出蚂蚁能够最 快到达目的地的可能路径； (2)当正方体木柜的棱长为4时，求蚂 蚁爬过的最短路径的长,类型3,正方体中的最短距离,(1)蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图 的AC1和AC1. (2)如图，AC1AC1 4 . 所以蚂蚁爬过的最短路径的长是4 .,解：,10如图，长方体盒子的长、宽、高分别是12 cm，8 cm， 30 cm，在AB的中点C处有一滴蜜糖，一只小虫从E处 沿盒子表面爬到C处去吃，求小虫爬行的最短路程,类型4,长方体中的最短距离,分为三种情况： (1)如图，连接EC， 在RtEBC中，EB12820(c