线性代数课件：3-2向量组的线性相关性

1、,怎样用代数方式表示平行四边形法则？,3.2 向量组的线性相关性,3.2.1 向量组的线性相关与线性无关,3.2.2 向量组线性相关性的判别法,3.2.3 向量组的线性相关性的一些性质,3.2.1 向量组的线性相关与线性无关,定义3.2.1 设1 , 2 , , m, 都是数域P上的n维向量，如果存在数域P上的数k1,k2, ,km，使得,则称是向量1,2, ,m的线性组合，或称可由向量组1,2, ,m线性表出。,例如，向量1=(1,1,0)，2=(1,-1,1)， =(2,0,1)，则= 1 +2.,因此向量是向量1,2的线性组合，也可以说，可由向量1,2的线性表出.,Very import

2、ant!,设n维向量,则任何一个n维向量=(a1,a2,an) ，都可由1,2, ,n线性表出：,我们称1,2, ,n为基本单位向量。,定义3.2.2 设1,2, ,m是数域P上的m个n维向量，如果存在数域P上的m,个不全为零的数k1,k2, ,km，使得,则称向量组1,2, ,m是线性相关的.如果向量组1,2, ,m不是线性相关的,就称为线性无关的.,只有一个向量的向量是线性相关还是线性无关？,当一个向量组中含有零向量时，它是线性相关还是线性无关？,怎样验证一个向量组线性无关？,给出线性相关的定义的逆否命题!,对于向量组1,2,m,要验证它是线性无关的，只需验证等式,只有当,k1=k2=km

3、=0,时才成立。,例3.2.1 试证：n维基本单位向量组 1, 2, ,n线性无关。,证 令,即,于是,因此,由定义3.2.2,向量组1,2, ,n线性无关.,判断一个向量组是否线性相关，往往把其转化为对线性方程组是否有非零解的讨论.,例3.2.2讨论向量组:1=(2,1,1)， 2=(1, 2, -1)， 3=(-2,3,0)的线性相关性。,解 设 k11 + k2 2+k33=0 即,从而,（3.2.1）,因为齐次线性方程组（3.2.1）的系数行列式,所以该方程组只有唯一零解：k1= k2 =k3=0因此向量组1,2,3线性无关。,例3.2.4设向量组1，2，3，4的线性无关，证明：,(1

4、)设向量组1- 3，21-2，23-2线性相关；,(2)设向量组1- 2，2-3，3+1线性无关。,由1，2，3线性无关，所以,证（1）设,即,。,因为线性方程组（3.2.5）的系数行列式,（3.2.5）,所以该方程组有非零解，即存在一组不全为零的数 k1,k2 ,k3,使(3.2.4)成立，故向量组1- 3，21-2，23-2线性相关;,（2）同理，设,即,. 于是,. 。,因为线性方程组（3.2.7）的系数行列式,所以该方程组只有唯一零解，即只有当 k1=k2 =k3=0，(3.2.6)式才成立，故向量组 1- 2，2-3，3+1线性无关。,能不借助方程组判断向量组的线性相关吗？,可以，但

5、是要步步为营！,定理3.2.1 向量组1,2, ,m(m2)线性相关的充分必要条件是：其中至少有一个向量可由其m-1余个向量线性表出。,即s可由1,2, , s-1,s+1,m线性表示出。,由1,2, ,m线性相关，则存在不全为零的数k1,k2, ,km,使得,证 必要性,不妨设ks0(0s m) ，于是,充分性,不妨设1, 可由2,3, ,m线性表出，即有数k2, ,km,使得,故向量组1,2, ,m线性相关， 证毕。,即存在一组不全为零的数1,-k2,-km,使下式成立,，,，,推论 向量组1,2, ,m(m2)线性无关的充分必要条件是：其中每一个向量都不能由其余向量线性表出。,定理3.2

6、.2 若向量组1,2, ,m无关，而1,2, ,m, 线性相关，则可由1,2, ,m,线性表出，而且表法唯一。,证 由向量组1,2, ,m, 线性相关，即存在一组不全为零的数k1,k2, ,km,k使得,若k=0，则有不全为零的数k1,k2, ,km, 使得,即1,2, ,m线性相关，与已知矛盾,所以k0，于是,下证表法的唯一性。,若有两种表法：,两式相减，得,因1,2, ,m线性无关，故必有,即,所以表法唯一. 证毕.,3.2.2 向量组线性相关性的判别法 抛开线性方程组,设向量组,以它们为行（或列）可确定一个矩阵,，,反之，若把矩阵A的每一行（或列）看作一个向量，则可确定一个向量组.,定理

7、3.2.3 向量组1,2, ,m线性相关的充要条件是R(A)m.,证 必要性.设向量组1,2, ,m线性相关，欲证R(A)m,若nm，则显然有R(A)m,若nm，由已知条件，则显然有m个行向量中至少有一个是其余 m-1个行向量的线性组合.,不妨设m是1,2, ,m-1的组合，即,对矩阵A进行初等行变换，则,.,于是有R(A)= R(B)m-1，即R(A)m。,充分性，设R(A) =rm，由定理2.5.4推论2，存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q,使得,，,即,。,令,，,则由矩阵的分块乘法可得,比较上式两端，由于rm,得,由于P为可逆阵，所以它的最后一行元素pm1,pm2,pmm不全为零，从而

8、向量组1,2, ,m线性相关. 证毕,定理3.2.3的结论对于列向量组也是成立的。,设向量组,则矩阵（3.2.8）可写为,仿照定理3.2.3的证明,可以得到,定理3.2.3向量组1,2,m线性相关的充要条件是R(A)n 。,推论1 mn矩阵A的m个行向量线性无关的充要条件是R(A)= m ； mn矩阵A的n个列向量线性无关的充要条件是R(A) =n.,推论2 设i=(i1,i2, ,in)，i= 1, 2, ,n，则,(1) 这 n个n维向量线性无关的充分必要条件是:,(2) 这 n个n维向量线性相关的充分必要条件是:,3.2.3 向量组的线性相关性的一些性质,性质1 含有零向量的向量组必线性相关。,性质2 向量组若有一个部分组线性相关，则整个向量组也线性相关。,证 不妨设1,2, ,t(tm)为向量组1,2, ,m中的一个部分组，且它们线性相关.于是，存在一组不全为零的数k1, k2,kt,使得,从而,因为k1, k2,kt, 0,0, ，0，不全为零，从而1,2, ,m线性相关,推论 若向量组线性无关，则它的任意一个部分组也线性无关。,性质3 若向量组,线性相关, 则去掉最后r个分量(1rn)后,所得到的缩短组:,也线性相关。,证 由于1,2, ,m线性相关，