电力系统分析基础第04章

1、电力工程系Department of Electrical Engineering电力系统分析基础Power System AnalysisBasis（四）任建文North China Electric Power University自然分布、串联电容、串联电抗、附加串联加压器第四章 复杂电力系统潮流的计算机算法 复习上一章内容：1. 潮流计算的目的及内容2. 电压降落（损耗、偏移）、功率损耗的计算3. 手算潮流的原理和方法4. 潮流调整： TCSC、STATCOM、 UPFC、 FACTS3)环网型：单级：从电源点打开无强迫功率多级：电磁环网归算法、等值法2)两端型：计算自然功率（力矩原理

2、）、强迫功率找功率分点、打开、按辐射型计算同一电压等级：已知末端电压或首末端电压1)辐射型：不同电压等级：归算电压或折算参数第四章 复杂电力系统潮流的计算机算法 本章主要内容：1. 建立数学模型： 节点电压方程、导纳矩阵的形成与修改2. 功率方程、节点分类及约束条件 3. 迭代法计算潮流功率方程的非线性性质高斯塞德尔法用于潮流计算速度慢、易于收敛原理：局部线性化直角座标法、极座标法、PQ分解法用于潮流计算速度快、但注意初值选择4. 牛顿拉夫逊法计算潮流第一节 电力网的数学模型一、节点电压方程.IB=Y BUYB节点导纳矩阵B二、导纳矩阵的形成三、导纳矩阵的修改第一节 电力网的数学模型1、节点电

3、压方程（示例）y12U&U&12y13y23.E2.E1U1U2.I1.I2yy1020U&3.U3 参考节点的选取接地点Z12.I 1.I 2.= U 1y10= U 2y20+ (U 1 - U 2)y12+ (U 1 - U 3)y13.Z2Z1+ (U 2 - U 1)y21 + (U 2 - U 3)y23Z13Z23.E1.E2.Z0 = U 3y30 + (U 3 - U 1)y31 + (U 3 - U 2)y323y30第一节 电力网的数学模型.I 1 = (y10 + y20 + y30 ) U 1 - y12 U 2 - y13 U 3= Y11 U 1 + Y12 U

4、2 + Y13 U 3.I 2 = -y21 U 1 + (y20 + y21 + y23 ) U 2 - y23 U 3= Y21 U 1 + Y22 U 2 + Y23 U 3.0 = -y31 U 1 - y32 U 2 + (y30 + y31 + y32 ) U 3= Y31 U 1 + Y32 U 2 + Y33 U 3Y 11 = y10 + y12 + y13 Y 22 = y20 + y21 + y23Y 33 = y30 + y31 + y32y12自导纳yy.I21323.I1yy1020= Y21 = -y12= Y32 = -y23= Y31 = -y13Y12 Y2

5、3Y12互导纳注：Y距阵的维数（n-1）y30节点i: 加单位电压Ui = 1其余节点j: 全部接地 Uj = 0节点 i 注入网络电流Yii0节点i: 加单位电压Ui = 1其余节点j: 全部接地 Uj = 0由地流向节点j的电流稀疏性：当yij=0 时Yij=0第一节 电力网的数学模型2、导纳矩阵的形成.U1Y11Y12Y22KYn 2Y1nKKKKI1.YI =Y U.Y2n U2 I2 = 21 M K KMY.节点导纳距阵的特点：Ynn Un In n1.1、阶数2、对称性3、稀疏性自导纳互导纳n= Ii = yi 0 + yijj=1 jiYii= 0, j i)Yii.Ui (U

6、j. Ij Yij = = Yji = -yY.ijijUi (U = 0, j i)j第一节 电力网的数学模型3、导纳矩阵的修改1) 增加一节点 节点导纳矩阵增加一阶yijji rYii = yijYjj = yij Yij = Yji = - yij2) 增加一条支路 导纳矩阵的阶数不变 rYii = rYjj = yijijyij r Yij = r Yji =- yij第一节 电力网的数学模型3) 切除一条支路 相当于增加一导纳为（ -yij ）的支路 导纳矩阵的阶数不变ij- yij rYii = rYjj =- yij r Yij = r Yji = yij4)修改一条支路的导纳值

7、（ yij 改变为yij ） 导纳矩阵的阶数不变ij-yijyij Y=Y= y - yriirjjijij r Yij = r Yji = yij- yij 第一节 电力网的数学模型5)修改一条支路的变压器变比值（ k*改变为k* ）yT / k*ijyT(1- k*) / k*2yT(k*-1) / k* rYii = 0 rYjj =(1/ k*2 - 1/ k*2 ) yT r Yij = r Yji =-(1/ k* - 1/ k*) yT第二节 功率方程、节点分类及约束条件.*率方程. SI =Y UI& =U& (P +jQ )*.n= YU(i = 1,2,Ln)(4 - 35

8、) ii*Ujijj =1i nnPi = ei (Gijej j =1- Bij f j ) + fi (Gijf j + B e)ijjj =1(4 - 36a)nn- Bij f j ) - ei (Gijf j + Bijej )Qi =fi (Gijejj =1j =1) n(Gcosd+ Bsin dP = Ui Uijijijijijj =1(4 - 36b)nQi = Ui U j (Gij sin dij - Bij cosdij )j =1第二节 功率方程、节点分类及约束条件二、节点分类一个电力系统有n个节点，每个节点可能有4个变量Pi,Qi ,ei, fi或Pi,Qi ,

9、Ui, di,，则共有4n个变量，而上述功率方程只有2n 个，所以需要事先给定2n个变量的值。根据各个节点的已知量的不同，将节点分成三类：PQ节点、PV 节点、平衡节点。1、PQ节点(Load Buses) 已知Pi,Qi ，求,ei, fi（ Ui, di, ），负荷节点（或发固定功率的发电机节点），数量最多。2、PU节点(Voltage Control Buses) 已知Pi, Ui ，求,压中枢点。Qi, di, ，对电压有严格要求的节点，如电第二节 功率方程、节点分类及约束条件二、节点分类 3、平衡节点（Slack Bus or Voltage Reference bus）已知Ui ，

10、 di,，求, Pi, Qi, ，只设一个。设置平衡节点的目的 在结果未出来之前，网损是未知的，至少需要一个节点的功率不能给定，用来平衡全网功率。 电压计算需要参考节点。第二节 功率方程、节点分类及约束条件三、约束条件实际电力系统运行要求： 电能质量约束条件：Uimin Ui Uimax 电压相角约束条件|dij|=| di - dj | dijmax, 稳定运行的一个重要条件。Pimin Pi PimaxQimin Qi Qimax 有功、无功约束条件第三节 高斯塞德尔迭代法潮流计算率方程的非线性 *(P + jQ )*I& = YU& and I& = S n.= Y U(i =1,2,L

11、n)(4 - 35) ii*UijijU& j=1f+ B e ) nn= e(G e- Bf ) + fP(Giiijjijjiijjijj直角坐标形式：j=1j=1(4 - 36a)nnf j + Bijej )fi (Gijej- Bij f j ) - ei (Gij=Qij=1j=1) nU(Gcosd+ BsindP = Uiijijijijij极坐标形式：j=1(4 - 36b)nQi = Ui U j (Gij sindij - Bij cosdij )j=1非线性方程组，不能用常规代数求解方程方法求解 。第三节 高斯塞德尔迭代法潮流计算两种常见的求解非线性方程的方法： 高斯-

12、塞德尔迭代法 牛顿-拉夫逊迭代法例6-1 已知方程用高斯-塞德尔求解：（1）将方改写成迭第三节 高斯塞德尔迭代法潮流计算二、高斯-塞德尔迭代法原理及求解步骤组3x1 + 2x1 x2 -1 = 0x= 0 += 0.3333(1) 1313x- x x+ 2 = 0= 0 - 2 = -0.6667x(1)22123= 0.4815= -0.7737= 0.5817= -0.8167解（0.01）。x(2)1x(2)213程组( k += -+221)x( k ) x( k )x112x(3)31代公式：x(3)13x( k +1)=-2x( k ) x( k )212直到|x(k+1)-x(

13、k)| 3（2）设初值；代= 入0 上述迭代公式= x(0)(0)x12第三节 高斯塞德尔迭代法潮流计算二、高斯-塞德尔迭代法原理及求解步骤xn ) = 0 f1 (x1, x2 , x3 ,x) = 0 设有非线性方程组的一般形式：f(x , x , x ,2123nxn ) = 0fn (x1, x2 , x3 ,x1 = g1 (x1, x2 , x3 ,xn ) 将其改写成下述便于迭代的形式：x )x= g(x , x , x ,22123nxn )xn = gn (x1, x2 , x3 ,第三节 高斯塞德尔迭代法潮流计算二、高斯-塞德尔迭代法原理及求解步骤假设变量（x1, x2,

14、.,xn）的一组初值（）将初值代x(0)入, x迭(0) ,代,格x(0式)（6-18），完成第一次迭代12n将第一次迭代的结果作为初值，代入迭代公式，进行第二次迭代检查是否满足收敛条件： e| x(k +1)- x(k )|iimax第三节 高斯塞德尔迭代法潮流计算二、高斯-塞德尔迭代法原理及求解步骤= g (x(0) , x(0) , x(0)x(1)x(0) )11123n= g (x(1) , x(0) , x(0)x(1)x(0) )22123n 迭代公式：= g (x(1) , x(1) , x(1)x(1)x(1) , x(0) ,(0)x)i-1iii123n= g (x(1)

15、 , x(1) , x(1)x(1)x(1) , x(0) )n-1nnn123第三节 高斯塞德尔迭代法潮流计算二、高斯-塞德尔迭代法原理及求解步骤x(k +1)= g (x(k ) , x(k ) , x(k )x(k ) ) 更 一 般 的 形 式：11123nx(k +1)= g(x(k +1) , x(k ) , x(k )x(k ) )22123nx(k +1)= g (x(k +1) , x(k +1) , x(k +1)x(k +1) , x(k ) ,(k )x)i-1ii123inx(k +1)(x(k +1) , x(k +1) , x(k +1)x(k +1) , x(k

16、 ) )= gn-1nn123nx(k+1) = g (x(k+1) , x(k+1) , x(k+1) , x(k ) , x(k ) ) 简化形式： i-1 ii i 2in第三节 高斯塞德尔迭代法潮流计算二、高斯-塞德尔迭代法原理及求解步骤迭代收敛条件：| max e.(i = 1, 2,| x(k +1) - x(k ), n)ii同一道题可能存在多种迭代格式，有的迭代格式收敛，有的迭代式不收敛。下面讨论收敛条件：nj=1当迭代格式为x(k +1)=+ gi = 1, 2,(k )bx, niijji定理如果nL = max | b| 1ijn1inj =1= bij xij=1则迭代

17、格式+ gii = 1,2,L,nxi对任意给定的初值都收敛。第三节 高斯塞德尔迭代法潮流计算三、高斯-塞德尔迭代法潮流计算1. 方程表示： 用高斯-塞德尔法计算电力系统潮流首先要将功率方程改写成能收敛的迭代形式 Q : 设系统有n个节点，其中 m个是PQ节点，n- (m+1)个是PV节点，一个平衡节点，且假设节点1为平衡节点（电压参考节点） 功率方程改写成：(P + jQ)*n.Uj= Y(i = 1,2,Ln)ii*ijUj=1ij = 1 Pi - jQij=n.U i.- Y Uij*UiYj=1 jiii第三节 高斯塞德尔迭代法潮流计算三、高斯-塞德尔迭代法潮流计算或更具体的形式为：

18、(k ) (k +1)1 P2 - jQ2(k )(k )*=Y- Y21 U1 - Y23 U 3- Y24 U 4- Y2n U nU 2*U (k )222(k +1)(k +1)1P - jQ(k )(k )* 33=- Y31 U1 - Y- Y24 U 4- Y2n U nU 332 U 2*YU (k )333(k +1)(k +1)(k +1)- jQn(k )1 Pn*=Y- Yn1 U1 - Y- Y- Y24 U 4U nn 2 U 2n3 U 3*U (k )nnn第三节 高斯塞德尔迭代法潮流计算三、高斯-塞德尔迭代法潮流计算 2. 求解的步骤：上述迭代公式假设n 个节

19、点全部为PQ节点。式中等号右边采用第k次迭代结果，当ji时，采用第k次迭代结果。用G-S迭代法求解的步骤： 第一步：形成节点导纳距阵； 第二步：设除平衡节点外的其它节点的初值，一般都设；(0)*U i= 10(i = 2,3,Ln) 第三步：迭代求解，判断收敛与否？若满足收敛条件，则迭代停止(k +1)(k )*U i max*- U i| eD=| U i第三节 高斯塞德尔迭代法潮流计算三、高斯-塞德尔迭代法潮流计算 3. PV节点的处理： 由于该类节点的V已知，Q未知，故在给定初值时，对该类节点增加初值=；0.5PQ(0)ii增加计算无功的迭代公式：)(k+1)(k)(k)i-1n.*=

20、ImUi(Y Uj+ Y UjQ(k)(6 - 25)iijijj=1j=i对于PV节点的计算步骤： 除了完成（6-24）的迭代计算外，还要执行（6- 25）的迭代计算 对（6-25）得到的结果要进行下列三种情况的校核：第三节 高斯塞德尔迭代法潮流计算三、高斯-塞德尔迭代法潮流计算(a)这Q 种情况由于计算得到的结果比允许的最大值还Q(k )ii max大，所以不允许以计算得到的结果再代入进行迭代，而是以作为PQVi节ma点x(c)的无功功率，此时，PV节点就转化为PQ节点。因求出的无功功率满足要求，所以迭代得到的结果继续代入公式（6-25）进行计算 Q Q(k )Qi minii max第三

21、节 高斯塞德尔迭代法潮流计算三、高斯-塞德尔迭代法潮流计算对于PV节点，由于它的U值是给定的，每次用公式（6-24）得到的结果*中的一般不等于给定(k +1)(k +1)Uid(k +(k +1) )1)U i, (Uii的值，这种情况要用给定的U代替计算得到的幅值，用组成新的U电压初d(值k +1。)如果通过迭代得到的与限值比较已经ii越限，则转化为PQ节点后，就不必做电压幅值的更换了。第三节 高斯塞德尔迭代法潮流计算三、高斯-塞德尔迭代法潮流计算 4. 潮流计算：平衡节点的功率：nS1*1j*=Uj = P1 + jQiUY1支路功率：j=1S ij*Iij*= U i= U i Uiyi

22、0 + (Ui - U j ) yij = Pij + jQij(6 - 27)S iji*I ji*= U= U j U j y j 0 + (U j - Ui ) y ji = Pji + jQjji支路功率损耗：D S ij= S ij + S= DPij+jDQij(6 - 29)ji第三节 高斯塞德尔迭代法潮流计算四、高斯-塞德尔迭代法潮流计算流程图见书上P155第三节 高斯塞德尔迭代法潮流计算四、例题：用G-S计算潮流分布 平衡节点131.17-j4.71U =1.00U3=1.11y13 5.88-j23.5y30y12j0.332解：网络的节点导纳距阵为：7.05 - j28.

23、21- 5.88 + j23.5 5.88 - j23.50-1.17 + j4.71Y11Y12 Y13Y= YYY = - 5.88 + j23.502223 -1.17 + j4.71B21Y31Y33 1.17 - j4.38 Y32PU节点P3=0.4,PQ节点S2=-0.8-j0.6第三节 高斯塞德尔迭代法潮流计算设U 3= 1.1，0代,入式（6-24）求(0)(0)(1)2U= 1.00,= 0(0)U 2Q.203 P(0) - jQ(1)2U1 22 =- YU-YU 321123(0)2Y*U22- 0.8 +j0.6 - (-5.88 + j23.5) 1.00 - 0

24、 (1.10)1=5.88 - j23.5 1.00= 0.9680 - j0.0260 = 0.9683 - 1.539 P(1) -(1)jQ(0)1 33U 3=- YU-YU 231132(0)Y*33U 30.4 -j0.2 - (-1.17 + j4.71) 1.00 - 0 (0.9683 - 1.539)1=1.17 - j4.38 1.10= 1.1298 + j0.0484 = 1.13102.451第三节 高斯塞德尔迭代法潮流计算修正U 为，再用式（6-25）计算：(1)d= U = 1.12.451(1)3U 333(1)(1)(1)*Q(1)= ImU 3 (YU 3

25、+ YU + YU 2 )33331132= - Im1.1 - 2.451 (1.17 - j4.38) 1.12.451 + 1.1 - 2.451 = 0.0685(-1.17 + j4.71) 1.00 + 1.1 - 2.451 0 0.9683 -1.539然后开始第二次迭代： P(1) ( 2)- jQ1 22 U 2=- YU-YU 321123(1)Y*22U 2- 0.8 + j0.61- (-5.88 + j23.5) 1.00 - 0 (1.12.451)=5.88 - j23.5 0.96831.539= 0.9662 - j0.0260 = 0.9665 - 1.5

26、41第三节 高斯塞德尔迭代法潮流计算 P(2) -(2)jQ(1)1 33=- YU -YU 3U 231132(1)Y*33U 30.4 -j0.0685 - (-1.17 + j4.71) 1.00 - 0 (0.9665 - 1.541)1=1.17 - j4.38 1.1 - 2.451= 1.1011 + j0.0566 = 1.10262.940再修正U 为：(2)d= U (2)3= 1.12.9403U 33 (2)(2)(2)*再计算= ImU 3(YU 3+ YU + YU 2 )Q(2)33331132= - Im1.1 - 2.940 (1.17 - j4.38) 1.

27、12.940 +1.1 - 2.940 = 0.0596(-1.17 + j4.71) 1.00 +1.1 - 2.940 0 0.9665 -1.541因此，第二次迭代结束时节点2的电压为U2= 0.9662 - j0.0260 = 0.9665 -1.541节点3的电压相位角为3=2.940,与之对应的节点3的无功功率为Q3=0.0596.第四节 牛顿拉夫逊法潮流计算一、N-R原理 1. 非线性方程的求解：f(x)=0设：x(0)为的初始近似解，rx(0)为与真实解的偏差则：x= x(0) rx(0)f(x(0) rx(0)=0按Taylors展开f(x(0) rx(0)=f(x(0)-

28、f(x(0)rx(0)+.+(-1)n fn(x(0) (rx(0)n/n!+.=0第四节 牛顿拉夫逊法潮流计算由于rx(0）较小，故忽略高次项后：f(x(0) rx(0)= f(x(0)- f(x(0)rx(0) =0rx(0) = f(x(0)/ f(x(0)x(1) = x(0) - rx(0) = x(0) - f(x(0)/ f(x(0)k次迭代时修正方程为： f(x(k)- f(x(k)rx(k) =0rx(k) = f(x(k)/ f(x(k)x(k+1) = x(k) - f(x(k)/ f(x(k)第四节 牛顿拉夫逊法潮流计算结束迭代的条件（收敛）：|f(x(k)|1 或 |

29、rx(k)|Rij，BijGij，ij形式。图形解释第五节 P-Q分解法潮流计算二、P-Q分解法的修正方程式重写极座标方程(4-53)第五节 P-Q分解法潮流计算(4-54)简写为进计及cosij1, Gij sinij Bij一步(4-55)第五节 P-Q分解法潮流计算 (4-49a) (4-49b) (4-56a) (4-49c) (4-49d) (4-56b) (4-43b)第五节 P-Q分解法潮流计算(4-57)(6-75)第五节 P-Q分解法潮流计算 (4-58a)(4-58b)P1/UP2/UB11B21B12B22B1B2U11U22(4-59a)Pn/UBn1Bn2BnUnnQ

30、1/Q2/B11B21B12B22B1B2 U1 U2(4-59b)Qm/Bm1Bm2Bm UmP/U=BUQ/U=B U(4-60a)简写为：(4-60b)m mmU1 U2Umn nn12nP-Q 分解法的修正方程式的特点： 以一个(n-1)阶和一个(m-1)阶系数矩阵B、B 替代原有的(n+m-2)阶系数矩阵J，提高了计算速度，降低了对存储容量的要求。 以迭代过程中不变的系数矩阵B、B替代变化的系数矩阵J，显著地提高了计算速度。 以对称的系数矩阵B、B替代不对称的系数矩阵J，使求逆等运算量和所需的存储容量大为减少。牛顿拉夫逊法和PQ分解法的特性：PQ分解法牛顿拉夫逊法三、P-Q分解法的潮

31、流计算的基本步骤1)2)3)4)5)6)7)8)9)形成系数矩阵B、B ，并求其逆矩阵。设各节点电压的初值dI(i=1,2,n,is)。UI(i=1,2,m,is)(0)(0)按式（445a）计算有功不平衡量DPI(i=1,2,n,is)。(0)解修正方程式，求各节点电压相位的变量D dI(i=1,2,n,is)(0)求各节点电压相位的新值dI= dI+D dI(i=1,2,n,is)(1)(0)(0)按式（445a）计算无功不平衡量DQI(i=1,2,m,is)。(0)解修正方程式，求各节点电压幅值的变量D UI(i=1,2,m,is)(0)求各节点电压幅值的新值UI= UI+D UI(i=1,2,m,is)(1)(0)(0)不收敛时，运用各节点电压的新值自第三步开始进入下一次迭代。10) 计算平衡节点功率和线路功率。P-Q分解的潮流计算流程图见书上P175第六节 潮流计算中稀疏技术的运用一、稀疏矩阵的存储151048511209712214322171613181、按坐标存储的方案对角元素顺序