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文档简介

1、1,第二节 全排列、逆序数,线性代数,2,一、概念的引入,引例,用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？,解,1 2 3,1,2,3,百位,3种放法,十位,1,2,3,1,个位,1,2,3,2种放法,1种放法,种放法.,共有,3,二、全排列及其逆序数,问题,定义,把 个不同的元素排成一列，叫做这 个元素的全排列（或排列）.,个不同的元素的所有排列的种数，通常用 表示.,由引例,同理,4,在一个排列 中，若数 则称这两个数组成一个逆序.,例如 排列32514 中，,定义,我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个不同的自然数，规定由小到大为标准次序.,排列的逆序数,3 2 5

2、1 4,5,定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.,例如 排列32514 中，,3 2 5 1 4,逆序数为3,1,故此排列的逆序数为3+1+0+1+0=5.,6,计算排列逆序数的方法,方法1,分别计算出排在 前面比它大的数 码之和即分别算出 这 个元素 的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求 排列的逆序数.,逆序数为奇数的排列称为奇排列;,逆序数为偶数的排列称为偶排列.,排列的奇偶性,7,分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码 个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数， 这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆 序数.,方法2,例1 求排列32514的逆序数.,解,在排列325

3、14中,3排在首位,逆序数为0;,2的前面比2大的数只有一个3,故逆序数为1;,8,3 2 5 1 4,于是排列32514的逆序数为,5的前面没有比5大的数,其逆序数为0;,1的前面比1大的数有3个,故逆序数为3;,4的前面比4大的数有1个,故逆序数为1;,9,例2 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性.,解,此排列为偶排列.,10,解,当 时为偶排列；,当 时为奇排列.,11,解,当 为偶数时，排列为偶排列，,当 为奇数时，排列为奇排列.,12,2 排列具有奇偶性.,3 计算排列逆序数常用的方法有2 种.,1 个不同的元素的所有排列种数为,三、小结,13,例4 由1,2,3这三个数码组成的排列共有3！=6个，这6个排列及其奇偶性如下表所示：,14,在一个排列中 ，如果将两个数码 与 对 调，其余的数码不变而得到另一个新的排列 ，这样的变换叫做一个对换，记为,定理1 对换改变排列的奇偶性。,定理2 全体n(n1)元排列的集合中，奇偶排列各占一半。,推论：任意一个排列都可以经过一定次数的对换，变成自然排列，且奇排列变成自然排列的对换次数为奇数，偶排列变成自然排列的对换次数为偶数,15,思考题,分别用

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