1.5行列式的性质

1、5 行列式的性质,性质1,性质5、性质6,性质2 、性质3、性质4,非常重要, 行列式计算的基础,行列式的转置 将行列式D的行变为列后得到的行列式称为D的转置行列式 记为DT,a11 a12 a1n,a21 a22 a2n,an1 an2 ann, ,则bij=aji(i, j=1, 2, , n) ,显然 如果,即,T - transpose 转置,对角线为轴两边互换,角标的行标和列标互换,性质1 行列式D与它的转置行列式DT相等,说明: 行列式中的行与列具有同等的地位 行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立 反之亦然,行列式的转置 将行列式D的行变为列后得到的行列式称为D的转置行列式 记

2、为DT,a11 a12 a1n,a21 a22 a2n,an1 an2 ann, ,即,证明,按定义,又因为行列式D可表示为,性质2 互换行列式的两行(列) 行列式变号,这是因为 把这两行互换 有DD 故D0,推论 如果行列式有两行(列)完全相同 则此行列式等于0,其他行不变，i行变为j行，j行变为i行,设互换 的 i, j 行, 得,即,则,如何证明：互换行列式的列 行列式变号,方法2：利用行列式的性质1.,方法1：重复上面行的证明,性质3 行列式的某一行 ( 列 ) 中所有的元素都乘以数 k , 等于用数 k 乘此行列式。,推论1 行列式的某一行 ( 列 ) 中所有元素的公因子 可以提到行

3、列式符号的外面。,推论2 若行列式含有零行( 列 ), 则行列式的值为零。,解释,=,返回,证明：,=右式,左式,性质行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零,证明,性质5若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和.,则D等于下列两个行列式之和：,例如,解释,拆项公式, 分行可加性,两个三角形 面积相同,返回,(平面图),证明：,=右式,左式,Remarks：一次只能对一行或一列拆分， 如果n 阶行列式中每个元素都 是两个数字之和，则该行列式 可以拆成 2n 个行列式。,例：证明,左式,？,例1证明,由性质4，,证,上式左边,由性质2推论，第二、第三个行列式的值为0；,再由性质4，把第

4、一、第四个行列式分别拆成两个行列式之和并化简后，,上式,拆项公式, 分行可加性,解 利用性质4及性质3的推论2，有,性质把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变,例如,解释,两个平行四边形 同底同高, 因此 面积相等,返回,k,k,返回,6条性质可简述为:,性质1,转置不变,性质2,互换行(列)变号,性质3,按行(列)提公因子,性质4,某两行(列)成比例,值为零,性质5,按单行(列)可加,性质6,某行(列)的k倍加到另外一行(列), 值不变,在计算行列式时, 可以使用如下记号以便检查:,符号规定,第i行(或列)提出公因子k 记作rik(或cik),

5、交换i j两行记作rirj 交换i j两列记作cicj,以数k乘第j行(列)加到第i行(列)上 记作rikrj (cikcj) ,非常简单清楚的记号!,要比写汉字,“交换i j两行”简单很多,column 列,row 行,三种常用变换,行列式的各种性质可以帮助我们快速计算,谁在前面加在 谁上面,顺序一般 不可交换,解 利用性质5，有,行列式的计算： （1）具体的数字行列式； （2）抽象的行列式，找规律,解,c1c2,r2r1,r45r1,0,0,8,16,6,4,7,2,r2r3,r34r2,r48r2,40,化为上三角型是最常用方法,找1换过来， 记得负号,课下练习：计算行列式,解 用行列式

6、性质把原行列式化为上三角形行列式,c1c3,D,r2+r1,r3-2r1,r4-r1,r2 r3,r3-2r2,r4+r2,r4 + r3,找1换过来， 记得负号,例9 n 阶行列式,x+(n-1)a x+(n-1)a x+(n-1)a x+(n-1)a x+(n-1)a,x+(n-1)a a a a a,0 x-a 0 0 0,0 0 x-a 0 0,0 0 0 x-a 0, ,0 0 0 0 x-a,=x+(n-1)a(x-a)n-1 ,c1+c2,c1+c3,c1+cn,r2-r1,r3-r1,rn-r1,行和或列和相等,例3 计算n+1阶行列式,解,三线行列式 爪型 行列式,消去一线变

7、为上下三角,例9 n 阶行列式,x+(n-1)a 0 0 0 0,x a a a a,a-x x-a 0 0 0,a-x 0 x-a 0 0,a-x 0 0 x-a 0, ,a-x 0 0 0 x-a,=x+(n-1)a(x-a)n-1 ,c1+c2,c1+c3,c1+cn,r2-r1,r3-r1,rn-r1,a很多，消完之后 产生很多0,观察 计算n阶行列式,解一：列和相等，注意行和不等,解二：每列上有相同的ai ,依次消去第一列，得到 典型的三线行列式,6,解一:,c1c2c3c4,6,c16,r2r1,r4r1,r3r1,6848,更简单的方法是不除公因子直接相减,跳过中间这步,解二：,

8、普通的化上三角行列式,解三：,爪型 行列式,处理方法: 用对角 线上的元素消去 第一行或第一列,D,例9 计算 ,解,r4r3,r3r2,r2r1,r4r3,r3r2,r4r3,a4,怎样化简最快?,D,例9 计算 ,解二:,r2r1,r3r1,r4r1,r32r2,r43r3,r43r3,a4,第一列全是a, 消a,对D1作运算rikrj 把D1化为下三角形行列式 设为,证,对D2作运算cikcj 把D2化为下三角形行列式 设为,于是 对D的前k行作运算rikrj 再对后n列作运算cikcj 把D化为下三角形行列式,故Dp11 pkk q11 qnnD1D2,分块下三角型,把D2n中的第2n

9、行依次与2n1行、第2行对调(作2n2次相邻对换) 再把第2n列依次与2n1列、第2列对调 得,根据例4的结果 有 D2nD2D2(n1) (adbc)D2(n1) 以此作递推公式 即得 D2n(adbc)2D2(n2) (adbc)n1D2 (adbc)n,解,化为分块对角型,递推关系可化简,(行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立).,计算行列式常用方法： (1)利用定义; (2)利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值,三、小结,行列式的6个性质,解,1a1 1a2 1a3,1 1 1,3a1 3a2 3a3,c2c1,c3c1,2 2 2,D,c32c2,0 0 0,0,练习题部分,前列是后列的一部分, 直接用,更简单的方法, 前面例子中讲过:,解,D =,=(-1)nDT,=(-1)nD,当n为奇数时 有D=-D,所以D=0,0 0 0 -2,=-1(-1)(-