离散数学PPT教学 环和域.ppt

1、欢迎进入 第 九 章 环 和 域,9.1 陪集和拉格朗日定理,一.陪集 1.陪集定义 设是群的子群, aH=a*h|h H称为元素a所确定的子群的左陪集, a称为陪集的表示元素。 Ha=h * a |h H称为元素a所确定的子群的右陪集,例1.求出关于子群的所有左陪集,右陪集,解:令H=0,3,则左陪集: 右陪集: 0H=0,3=3H H0=0,3=H3 1H=1,4=4H H1=1,4=H4 2H=2,5=5H H2=2,5=H5 从中可以看出：0H,1H,2H是G的一个划分,下一页,一.陪集 2.左陪集性质(所得结论对右陪集也平行成立),定理17.设是的子群,a,bG则aH=bH或aHbH

2、=,证:设faHbH h1，h2H，使f=a*h1=b*h2 a=b*h2*h1-1bH xaH则h3H,x=a*h3=b*h2*h1-1*h3bH aHbH，同理bHaH aH=bH,下一页,一.陪集 定理18.子群H的任意左陪集的大小(基数)相等,证:aG,a*h1,a*h2aH h1h2 a*h1a*h2 |aH|=|H| H的任意陪集大小相同,下一页,二.拉格朗日定理 定理18.有限群的任意子群的阶数可以除尽群的阶数,证:aGaaH G=UaGaH 由定理17 ，H的左陪集集合是G的一个划分 又a,bG,|aH|=|bH|=|H| |G|/|H|是G的划分的块数,是个整数 |H|可整除

3、|G|,下一页,性质,推论: 1.质数阶的群没有非平凡子群,(,称为的平凡子群) 2.有限群中的任何元素a的阶可整除|G| 证:若aG的阶是r,则e,a a2, a3 , ,ar-1是G的子群 3.质数阶的群,一定是循环群 证:设为质数阶群 aG,ae 由推论2知: a的阶数可整除|G|,但是|G|为质数,所以a的阶数等于群的阶数, a,a2,ar=G 是循环群,下一页,二.拉格朗日定理,二.拉格朗日定理阶关系,2.左陪集等价关系 定义:设是群的子群,则H的左陪集集合是G的一个划分,由此划分导出的等价关系称为H的左陪集等价关系,左陪集等价关系记为 定理：aba-1 bH 证: abbaHb=a

4、*h,hHa-1bH,下一页,例1.试证奇数阶群所有元素之积等于么元,证:设是一个群,e为么元,则 在G中不存在这样的元素a：a e，a=a-1 若a=a-1 则a2=e 是的子群 |a,e|=2 由拉格朗日定理:2整除|G|，矛盾 G=e,a1,a1-1,a2,a2-1,an,an-1，其中aiai-1 e*a*a1-1*an*an-1=e,下一页,二.拉格朗日定理阶关系,例3.四阶群只有二个,一个是循环群,另一个是Klein四元群,证:e e a b c e e a b c e e a b c e e a b c a a b c e a a e c b b b c e a b b c e

5、a c c e a b c c b a e 生成元为a 由拉格朗日定理知： a，b，c的阶只能为2,下一页,例3,例3.四阶群只有二个,一个是循环群,另一个是Klein四元群,证:e e a b c e e a b c e e a b c e e a b c a a b c e a a e c b b c e a b b b c e a c c e a b c c b a e 生成元为a 由拉格朗日定理知：a，b，c的阶只能为2,下一页,同态与同余关系,四.同态与同余关系 1.同余关系 定义:是一个代数系统,R是A上的等价关系,若R, RR，称R是A上的同余关系，此同余关系将A划分的等价类称为

6、同余类 例1：，在I上定义R:R|x|=|y|, 问R是的同余关系否? 解:1)自反性：xI,|x|=|x|R 2)对称性：x,yI，若R则|x|=|y|R 3)传递性：x,y,zI，若R,R|x|=|y|=|z|R R是一等价关系 x1,y1,x2,y2I，若R,R， 但R不一定成立 例R,R但R R不是同余关系,下一页,同余关系定理,四.同态与同余关系 2.同余关系可以诱导出一个同态映射 定理:设,R是A上的同余关系,B=a|aA是由R诱导的划分,则必 存在同态映射f , 使是的同态像 证:1)构造在B上运算* 定义a,bB,a R *b R =a*b R 先证明此定义是合理的,即它确实是

7、一个运算 若a1 R =a2 R ,b1 R =b2 R 则R,R 因为R是同余关系 R 即a1*b1 R =a2*b2 R *确实是一个运算 2)构造映射f:aA,f(a)=a R ，再证f是一个同态 x,yA,f(x*y)=x*y R=x R*y R=f(x)* f(y) f是从AB的同态， 又a RB,aA有f(a)=a R f是满同态 证毕 注：是的同态像,同态映射也称为规范映射,下一页,同余关系定理2,四.同态与同余关系 3.任一同态映射可诱导一个同余关系 定理:设f是代数系统到的同态, 定义A上的关系R:Rf(a)=f(b), 现证R是A上的同余关系 证:1)易证R是一个等价关系

8、2)R,R f(a)=f(b),f(c)=f(d) 则f(a*c)=f(a)*f(c)=f(b)*f(d)=f(b*d) R R是A上的同余关系,下一页,推论,四.同态与同余关系 推论:设H=ker(f),x1,x2,y1,y2G 若x1H=y1H,x2H=y2H,则（x1*x2）H=（y1*y2）H 证明： 因为 x1H=y1H , x2H=y2H h1,h2H , x1h1=y1h2 f(x1)=f(y1),f(x2)=f(y2) 由2知:,R， R是同余关系 R f(x1*x2)=f(y1*y2) f(x1*x2)*f(y1*y2)-1)=e (x1*x2)*(y1*y2)-1H （x1

9、*x2）H=（y1*y2）H,下一页,环和域,9.2 环和域 本节讨论具有二个二元运算的代数系统 一.环 1.环的定义 若代数系统具有如下性质: 1) 是个阿贝尔群 2) 是个半群 3)乘法对加法+可分配, 即a,b,cR,a(b+c)=ab+ac,(b+c)a=ba+ca 称是一个环 注:在环中a的加法逆元a-1记为-a,a+(-b)可写为a-b,下一页,例1,例1.1)是个环 2)是个环 证:是个阿贝尔群,0是加法么元 是个半群 a,b,cNk ak(b+kc)=ak(b+c)mod k) =(a(b+c)mod k =(ab+ac)mod k =(ab)mod k+k(ac)mod k

10、=(akb)+k(akc) 3)是个环,其中An表示实数集R上nn方阵集合,零阵是环的加法么元,单位矩阵是环的乘法么元 4)实系数多项式对于多项式加法,乘法是个环,下一页,一.环,环的性质,2.环的性质 设是个环,a,b,cA,a+(-b)简记a-b 1)环的加法么元必为环的乘法零元 即 a=a= 证:=a-a =a(+)-a=a+a-a=a+= a 类似可证=a 2)(-a)b=a(-b)=-(a b) 证:(-a)b+ab=(-a)+a)b=a= (-a)b=-(ab),下一页,一.环,零因子环,3) (-a)(-b)=ab 证:(-a)(-b)=-a(-b)=ab 4) a(b-c)=a

11、b-ac 证:a(b-c)=a(b+(-c)=ab+a(-c)=ab+(-(ac)=ab-ac 5) (b-c)a=ba-ca 3.零因子环 定义:是一个环,若a,bA,a0,b0,但ab=0成立,称是零因子环,a,b称为零因子,无零因子的环称为无零因子环,下一页,一.环,定理,例:是零因子环,An是nn方阵。 定理2.环是无零因子环,当且仅当满足可约律 证:a,b,cA ,a0,b0 必要性:设无零因子,若ab=ac ab-ac=,a(b-c)= 因为无零因子b-c= b=c 充分性:设满足可约律,设aA a ，ab= 则 ab=a，由可约律 b= 无零因子 是无零因子环,下一页,一.环,整

12、环,4.整环 定义: 给定环,若是可交换的,称为交换环 给定环,若含么元,称为含么环 给定环,若是可交换的、含么元、无零因子,则称为整环 例2.1)是整环 2)不是整环,下一页,一.环,域,二.域 1.域的定义 若代数系统具有 1)|F|1， 2),均是阿贝尔群，3)乘法对加法可分配，则称它是域 2.域的举例 1)I为整数集，不是域， 2)是一个域,其中Q为有理数集合 是一个域，其中R为实数集合 是一个域，其中C为复数集合,下一页,例,3)Nk=0,1,k-1,是个域,当且仅当k是质数 证:必要性:（反证法） 设是个域,若k不是质数 i)k=1,则|N1|=1不是域 ii)k=ab,则akb=

13、0,a,b是零因子,故不是域矛盾 充分性:若k为质数,须证是个域 i)是个阿贝尔群 ii)证明是阿贝尔群 a)a,bNk-0akbNk-0Nk-0对k封闭 b) 结合律满足 c) 么元为1 d)aNk-0，证明a存在逆元 首先证明若b,cNk-0,bc则akbakc （反证法:）若akb=akc,不妨设bc则ab=nk+r,ac=mk+ra(b-c)=(n-m)k k为质数,不能被分解成两个数的乘积,故等式左边至少有一个数是k的倍数,而这是不可能的，因此 ，ak1,ak(k-1)此k-1个数均不相同,其中必有一个为1 所以 aNk-0,bNk-0 使akb=1 ， aNk-0，a存在逆元 是阿

14、贝尔群， 是个域 证毕,下一页,环、整环、域的关系,注： 称为模k整数域 例:域中,2的乘法逆元为3,4的乘法逆元为4 3.环,整环,域的关系 整环 交换环 有限整环 环 域 无零因子环 含么环,下一页,有限整环必是域,4.有限整环必是域 证:设是有限整环 a,b,cA且c, 若ab，由无零因子推出的可约律,则acbc 因为A为有限集,由运算封闭性 设A - =a1,an 则A - =ca1,can=c(A - ) a,d有ad=e 逆元存在 是阿贝尔群 因为有限整环满足分配律 是域,下一页,二.域,环的同态,三.环的同态 1.定义: 设是环,若h:RS,a,bR有h(a+b)=h(a)h(b

15、),h(ab)=h(a)h(b), 称h是到的环同态 2.环的同态像是一个环 若是环,是一个代数系统,存在同态映射,则是一个环 证:由群同态,半群同态知识知:是是阿贝尔群,是半群 h(a)(h(b)h(c)=h(a)(h(b+c) =h(a(b+c) =h(ab+ac) =h(ab)h(ac) =h(a)h(b)h(a)h(c) 所以 是一个环,下一页,举例,举例:设是一个关于分别只有么元e1和e2的代数系统,且和彼此可分配, 试证:xA,xx=xx=x 证:引理1:e2e2=e2(e2e2) =(e1e2)(e2e2)=(e1e2)e2=e1e2=e2 xx=(xe2)(xe2)=x(e2e

16、2)=xe2=x 引理2:e1e1=e1(e1e1) =(e1e2)(e1e1)=e1(e2e1)=e1e2=e1 xx=(xe1)(xe1)=x(e1e1)=xe1=x,下一页,习题课,习题讲评 P200,5.试证:循环群的子群是循环群 设是的子群,因是循环群,设g是它的生成元,T=gi1,gi2,gin,i是整数,设m是i1,i2,in,中最小的正整数(若i1,i2,in,均为负数,可取m是其中绝对数最小的) gijT,ij=lm+r(lI,0r是循环群,下一页,习题课3,P157. 4 试证:HK=KH当且仅当是的子群 证:1)h1k1,h2k2HK 因为HK=KH,h3k3,k1h2=

17、h3k3 h1k1h2k2=h1h3k3k2HK 2)(h1k1)-1=k1-1h1-1KH=HK (h1k1)-1HK 所以 是的子群 1)HKKH xHK,则x-1HK 设x-1=hk x=(x-1)-1=(hk)-1=k-1h-1KH 2)KHHK khKH kh=(h-1k-1)-1HK(是子群)KHHK 由1)2):KH=HK,下一页,习题讲评,习题课4,P200, 4) 设是一个群, a,bG,a3*b3=(a*b)3,a4*b4=(a*b)4,a5*b5=(a*b)5 则为阿贝尔群 证:a3*b3=(a*b)3 a*(a2*b2 ) *b=a *(b*a) *(b*a) * b

18、a2*b2=(b*a)2 因为a3*b3=(b*a)3 , a4*b4=(b*a)4 (a3*b3)*(b*a) =(b*a)3 *(b*a) =(b*a)4=a4*b4, 即b4*a=a*b4 (1) (a2*b2)*(b*a) =(b*a)2 *(b*a) =(b*a)3=a3*b3, 即b3*a=a*b3 (2) (1) (2) (a*b)*b3 =a*b4 =b4*a=b*(b3*a)=b*(a*b3)=b*a*b3 a*b=b*a,由a,b的任意性,所以为阿贝尔群,下一页,习题讲评,习题课5,(一)设是半群,e是左么元,即xA,x有x*x=e 试证明: a) a,b,cA 若a*b=

19、a*c 则 b=c b) e也是的么元,并且是群 证明: a) a*b=a*c a* a*b= a * a*c e *b= e *c b= c b) 必须证:xA,x*e=x i)x *(x*e)=(x*x)*e=e*e=e=x*x, 由a)得 x*e=x e也是的右么元,即e是的么元 ii)须证:xA,x*x=e x *(x*x )=(x *x)*x =e*x =x = x *e(因为e是么元) 由a)知:x*x =e x也是x的右逆元 x是x的逆元 是群,下一页,习题讲评,习题课6,例:A,B是集合,f是A到B的入射, 证明:是的一个子格,其中S=y|y=f(x) x(A) 证:B1,B2S,A1,A2(A)有f(A1)=B1,f(A2)=B2 须证:B1B2=f(A1)f(A2)S B1B2=f(A1