2012年“华约”自主招生数学试题解析

1、2012年高水平大学自主选拔学业能力测试（华约）数学部分注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2. 将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、 选择题：本大题共10小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）在锐角中，已知,则的取值范围为（ ）(A) (B) (C) (D) （2）红蓝两色车、马、炮棋子各一枚，将这6枚棋子排成一列，其中每对同字的棋子中，均为红棋子在前，蓝棋子在后，满足这种条件的不同的排列方式共有（ ）(A) 36种 (B) 60种 (C) 90种 (D)120种（3）正

2、四棱锥中，侧棱与底面所成角为，侧面与底面所成二面角为，侧棱与底面正方形的对角线所成角为，相邻两侧面所成二面角为， 则之间的大小关系是（ ） (A) (B) (C) (D) （4）向量，。若，则（ ）(A) (B) (C) (D) （5）若复数的实部为0，是复平面上对应的点，则点的轨迹是( )(A) 一条直线 (B) 一条线段 (C) 一个圆 (D)一段圆弧（6）椭圆长轴长为4，左顶点在圆上，左准线为轴，则此椭圆离心率的取值范围是（ ） (A) (B) (C) (D) （7）已知三棱锥的底面为正三角形，点在侧面上的射影是的垂心，二面角为30，且，则此三棱锥的体积为（ ）(A) (B) (C) (

3、D) （8）如图，在锐角中，边上的高与边上的高交于点。以为直径作圆与的另一个交点为。已知，则的长为（ ）(A) (B) (C)10 (D) （9）已知数列的通项公式为，。是数列的前项和。则（ ）(A) 0 (B) (C) (D) （10）已知，当取得最大值时，在 这十个数中等于的数共有（ ）(A) 1个 (B) 2个 (C)3个 (D) 4个二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（11）(本小题满分14分)在中，的对边分别为。已知 求的大小 若，求的值（12）(本小题满分14分)已知两点，动点在轴上的射影是，且 求动点的轨迹的方程 已知过点的直线交曲线于轴下方不同的两点，设的中点

4、为，过于点作直线，求直线斜率的取值范围。（13）(本小题满分14分)系统中每个元件正常工作的概率都是，各个元件正常工作的事件相互独立，如果系统中有多于一半的元件正常工作，系统就能正常工作。系统正常工作的概率称为系统的可靠性。（1） 某系统配置有个元件，为正整数，求该系统正常工作概率的表达式（2） 现为改善（1）中系统的性能，拟增加两个元件。试讨论增加两个元件后，能否提高系统的可靠性。(14) (本小题满分14分)记函数证明：当是偶数时，方程没有实根；当是奇数时，方程有唯一的实根，且。(15) (本小题满分14分)某乒乓球培训班共有位学员，在班内双打训练赛期间，每两名学员都作为搭档恰好参加过一场

5、双打比赛。试确定的所有可能值并分别给出对应的一种安排比赛的方案。2012年华约数学参考答案一、选择题ACBCA B略DDC二、解答题11解：（1）C=2/3；（2）=3/412解：（1） 设P(x,y),则H(0，y),由（2） 令CD:代入，整理得因为直线在x轴下方交P点轨迹于C()，D()两点所以上式有两个负根，由根据韦达定理，得CD中点M的坐标为代入直线MQ的方程y+2=kx,(k为其斜率)得所以，k=,(1.13解答：显然,注意到，所以=因此，当p时，递增，当P时，递减。14证明：用数学归纳法证明有唯一解且严格单调递增，无实数解，显然n=1时，此时有唯一解，且严格单调递增，而无实数解，

6、现在假设有唯一解且严格单调递增，无实数解，于是注意到时，对任意的0kn有x+2k+10,于是，所以又因为所以由严格递增知有唯一根0，对于有，所以（，）上，递减，在（，+）上，递增，所以因此，无实数解综上所述，对任意正整数n,当为偶数时无解，当为奇数有唯一解。再证，事实上，由的严格单调性，只需验证，注意到，由上述归纳法证明过程中，所以，因此，综上所述，原命题得证。15假设比赛了K场，那么由题目假设，一场比赛出现了2对队友，所以=2k，也就是说4k=n(n-1)，那么得到n=4l或者4l+1,期中lN，下边证明，对于任意的n=4l，或者4l+1,其中lN,都可以构造出满足要求的比赛：n=4l+1,的时候，对于L使用数学归纳法：（1） 当L=1的时候，N=5，此时假设这5名选手为A,B,C,D,E,那么如下安排比赛即可，AB-CD,AC-BE,BC-DE,AE-BD,AD-CE.（2） 设当L=M时结论成立，则L=M+1时，设4M+5选手为A,B,C,D,E，由归纳假设，可以安排E,之间的比赛，使得他们之间每两位选手的作为队友恰好只参加过一次比赛，还剩下A,B,C,D，E,相互的比赛和A,B,C,D与之间的比赛，A,B,C，D与之间的比赛安排如下：A与B,A与B,C与D,C与D