10 6差分与差分方程的概念

1、第六节差分与差分方程的概念常系数线性差分方程解的结构一、差分的概念二、差分方程的概念三、常系数线性差分方程解的结构四、小结一、差分的概念1.差分的定义设函数y = f (n).当n取非负整数时， 函数值可以排成一个数列:f (0)，f (1)，L，f (n)，f (n + 1)，L将之简记为y0，y1，y2，K，yn，yn+1 ,K称函数的改变量yn+1 - yn为函数y的差分也称为一阶差分，记为Dyn= yn+1- yn .函数y = f (n)的二阶差分为函数y的一阶差分的差分,即D2y= D(Dy) = D(y- y)nnn+1n= (yn+ 2 - yn+1 ) - (yn+1 - y

2、n )= yn+ 2- 2yn+1 + yn同样可定义三阶、四阶LL差分D3y= D(D2y), D4y= D(D3y)nnnn高阶差分：二阶及二阶以上的差分.求(n2),2(n2),3(n2) . 设y = n2，则例 1解Dyn= D(n2 ) = (n + 1)2- n2 = 2n + 1D2y= D2 (n2 ) = D(2n + 1)= 2(n + 1) + 1- (2n + 1) = 2nD3y= D3 (n2 ) = 2 - 2 = 0n求D(n3 ), D2 (n3 )例2例 3 求下列函数的差分(1) y = loga x;(2) y = sinax - yx(1)Dyx=y

3、x +1解= loga ( x + 1) - logax= log(1 + 1 );ax(2) yx= sin a( x + 1) - sin ax= 2cos a( x + 1 ) sina2.2例4 设y = x(n) = x(x - 1)(x - 2)L(x - n + 1),= 1，求Dyx (即D(x).(n)x(0)Dyx= ( x + 1)( n)- x( n)解= ( x + 1) x( x - 1)LL( x + 1 - n + 1) - x( x - 1)LL( x - n + 2)( x - n + 1)= ( x + 1) - ( x - n + 1)x( x - 1)

4、L( x - n + 2)= nx(n-1)（公式）2.差分的四则运算法则(1) D(Cyx ) = CDyx (C为常数)(2) D( yx + zx ) = Dyx + Dzx(3)D(y z) = yDz+ zDyxxx+1xxx= yx Dzx + zx+1Dyx yx zx Dyx - yx Dzxzx+1Dyx- yx+1Dzx() =4 D=zzzzzxxx+1xx+1参照导数的四则运算法则学习设y = e2 x，求2 y.x例5Dyx= yx+1- yx解= e2( x +1) - e2 x= e2 x (e2 - 1);= De2 x (e2- 1)= D(Dy)D2 yxx

5、= (e2 - 1)De2 x= e2 x (e2- 1)2.二、差分方程的概念1.差分方程与差分方程的阶定义12含有未知函数的差分 yx ,yx ,LL的函数方程称为差分方程.形式：F( x, yx , Dyx , Dy,L, Dy) = 02nxx定义2含有未知函数两个或两个以上时期的符号yx , yx +1 ,L的方程，称为差分方程.形式：F ( x, yx , yx +1 ,L, yx + n ) = 0或G( x, yx , yx -1 ,L, yx - n ) = 0(n 1)方程中未知数下标的最大值与最小值的差称为差分方程的阶.注：由差分的定义及性质可知，差分方程的不同定义形式之

6、间可以相互转换。- 4 yx+3 + 3 yx+2 - 2 = 0是三阶差分方程如yx+5D3 y+ y+ 1 = 0，虽然含有三阶差分xx但实际上是二阶差分方程，由于该方程可以化为- 3 yx + 2 + 3 yx +1 + 1 = 0因此它是二阶差分方程yx + 3事实上，作变量代换t = x + 1，即可写成- 3 yt +1 + 3 yt + 1 = 0.yt + 2例 6下列等式是差分方程的有().A.2Dyx=yx + xB. - 3Dyx= 3 yx + axC .D2 yx=yx + 2- 2 yx +1 + yx D. yx - 2 yx -1 + 3 yx - 2 = 4由

7、差分方程的定义有：A, D是差分方程.B的左端- 3Dyx = -3( yx +1 - yx ) = -3 yx +1 + 3 yx， 则等式实为- 3 yx +1 = a ，仅含一个时期的函数x解，故不是差分方程.而C的左端D2 y=值yx +1xD( yx +1 - yx ) = Dyx +1 - Dyx =- 2 yx +1 + yx，yx + 2恰好等于右端，故不是差分方程.例 7确定下列方程的阶(1) yx + 3 - xy+ 3 y= 22x +1x- yx -4=yx + 2(2) yx - 2 (1)Q x + 3 - x = 3， (1)是三阶差分方程(2)Q x + 2 -

8、 ( x - 4) = 6，解 (2)是六阶差分方程.2.差分方程的解如果函数y = ( x)代入差分方程后，方程两边恒等，则称此函数为该差分方程的解.差分方程的通解含有相互独立的任意常数的个数与差分方程的阶数相同的差分方程的解.初始条件确定任意常数的条件差分方程的特解通解中任意常数被初始条件确定后的解.yx ,Ux , Zx分别是下列差分方程的解例8+ ayx=+ ayx=f1 ( x), yx +1 + ayx=f3 ( x)yx +1yx +1f2 ( x),求证Vx= yx+ Ux+ Zx是差分方程yx+1 + ayx=f1( x) + f2 ( x) + f3 (x)的解.+ ayx

9、=yx+1Ux+1Zx+1f1 ( x)由题设知证明+ aUx=f2 ( x)+ aZx=f3 ( x)Vx+1+ aVx= yx+1+ ayx+ Ux+1+ aU xf3 ( x)+ Zx+1+ aZ x=f1 ( x) +f2 ( x) + Vx是所给差分方程的解.三、常系数线性差分方程解的结构n阶常系数齐次线性差分方程的标准形式(1)+ a+L+ a+ ay= 0yyyx+ n1x+ n-1n-1x+1nxn阶常系数非齐次线性差分方程的标准形式y=f (x)(2)+ a+L+ a+ ayyyx+ n1x+ n-1n-1x+1nxf (x) 0注：(1)为(2)所对应的n阶常系数齐次线性差

10、分方程.2.n阶常系数非齐次线性差分方程解的结构*ny定理 3设是阶常系数非齐次线性差分方程xy=f (x)(2)+ a+L+ a+ ayyyx+ n1x+ n-1n-1x+1nxYx的一个特解,是与(2)对应的齐次方程(1)的通*+ yx是n 阶常系数非齐次线性差分= Yx解, 那么 yx方程(2)的通解.由此可见，要求出n阶常系数非齐次线性差分方 程（2）的通解，只需求出（1）的通解和（2） 的一个特解即可.设非齐次方程(2)的右端f ( x) 是几个函如定理 4数之和,f(x)+f(x)+ ay+L+ a+ ay=yyx+ n1x+ n-1n-1x+1nx12y*y*而与分别是方程,12

11、=f(x)+ a+L+ a+ ayyyyx+ n1x+ n-1n-1x+1nx1f(x)+ a+L+ a+ ay=yyyx+ n1x+ n-1n-1x+1nx2y+ y*2的特解,那么就是原方程的特解.1例10验证：y = C + 2 x是差分方程y x +1 - yx= 2的通解.把函数y = C + 2x代入差分方程y x +1 - yx= 2， 则左边= C + 2(x + 1)- (C + 2x) = 2 = 右边，证明所以y = C + 2x是差分方程yx+1 - yx= 2的解它又含有一个任意常数，而所给差分方程又是一阶的，故y = C + 2 x是该差分方程的通解.四、小结1.差

12、分的定义2.差分方程与差分方程的阶3.差分方程的解、定解条件和通解4.常系数线性差分方程解的结构练习题1、设y = a x，求 y.x2、设y = x 2 + 2 x，求2 y.3、下列等式是差分方程的有（）A、- 3 yx= 3 yx + a, B、y=x2xC、yx - 2 yx -1 + 3 yx - 2 = 4, D、yx- 2 yx +1 + yx ,yx + 2= 3 x .4、函数y = A 2 x + 8是差分方程（）的通解A、yx + 2 - 3 yx +1 + 2 yx= 0, B、yx - 3 yx -1 + 2 yx - 2 = 0,C、yx +1 - 2 yx= -8, D、yx + 2 - 2 yx= 8.5、证明下列各等式：(1)(U xVx ) = U x +1 Vx + Vx U x) = Vx U x - U x Vx(2)(U xVxVxVx +16、(1)已知y= e - t 是方程y= e1- t的一个特解，求 .+ yt +1t -1t(2)设yt= 2+ 5是差分方程y+ y+ y=