第6章参数区间估计3-4节

1、第6.3节 参数的区间估计前面，我们讨论了参数点估计.它是用样本算得的一个值去估计未知参数. 但是，点估计值仅仅是未知参数的一个近似值，它没有反映出这个近似值的误差范围，使用起来把握不大. 区间估计正好弥补了点估计的这个缺陷.量X是一随例从某一鱼塘中捕获的鱼,其含量.已知X N (m,s 2 ), 其中s = 0.32, m未知.设随机取了10条鱼，测得含量为0.8,1.6,0.9,0.8,1.2,0.4,0.7,1.0,1.2,1.1, 求m的估计。分析: m的矩估计和最大似然估计均为样本均值 110x =x= 0.97i10i =1实际上，的真值可能大于0.97，也可能小于0.97.若我们

2、能给出一个区间，在此区间内我们合理地相信 的真值位于其中. 这样的估计就有把握多了.也就是说，我们希望确定一个区间，使我们能以比较高的可靠程度相信它包含真参数值.含量平均值的真值这里所说的“可靠程度”是用概率来度量的，称为置信概率，置信度或置信水平.，这里a是一个习惯上把置信水平记作很小的正数.置信水平的大小是根据实际需要选定的.例如，通常可取置信水平=0.95或0.9等.根据一个实际样本，由给定的置信水平，我们求出一个尽可能小的区间，使为的 置信水平为的称区间置信区间.Pq q q = 1-a12即：P(X 1.96 m X +1.96) = 0.95nn，x例 从某一鱼塘中捕获的鱼,其含量

3、X是一随量. 已知X N (m,s 2 ), 其中s = 0.32, m未知.设随机取了10条鱼测得含量为0.8,1.6,0.9,0.8,1.2,0.4,0.7,1.0,1.2,1.1, 求m的估计（取a =0.05）。 110分析: x = x= 0.9710ii =1o 2X - mj (t)我们知 X N (m ,)从而 N (0 , 1) ns /n有P(-z X - m z) = 1 - a =0.95a / 20.05/ 2s /n0.05/ 2查表得 z0.025 = 1.96- za / 2 Oza / 2。m 的置信 s 平为0.95的置信 s 间为(2.387,3.014)

4、水区，置信区间的含义：P(X - s1.96 m X + s1.96) = 0.95nn根据伯努利大数定理知，包含的真值的约占95% 而不包含真值的仅约占5%。例如，重复抽样1000次，则得到的1000个区间中包含的真值的约占950个，而不包含真值的仅约占50个。区间估计的概念q =q (X1 , X2 , ., Xn ):置信区间下限随量q= q ( X1 , X2 , ., Xn ): 置信区间上限1 - a:置信水平.设总体X的分布 F ( x;q )中含有一未知参数q . X1 , X 2 , ., Xn是总体X的一样本. 对于给定的 0 a 1 , 若由样本X1 , X2 , .,

5、Xn能确定两个统计量q = q ( X1 , X 2 , ., Xn ),和 q= q ( X1 , X 2 , ., Xn )( q q ),使得P(q q q ) = 1 - a则称区间(q , q ) 为参数q 的置信水平为1 - a的置信区间.说明：(1)q ,q 均为样本X1 , X2 , ., Xn的函数,是随量,(q , q )为随机区间,样本观测值不同,区间(q , q )也不同.(2) X 连续型时,可找到任意置信水平的区间(q , q ), 使得 P(q q q ) = 1 - a . 置信水平的区间(q , q ),X离散型时,不一定能找到任意P(q q q ) = 1

6、- a(3) 样本容量一定时,估计精度与置信水平相互矛盾.即置信 水平增大时,置信区间(q , q )长度也增大,估计精度降低. 置信水平降低时,置信区间(q , q )缩短 ,估计精度提高.(4)置信水平一定的置信区间(q ,q )并不唯一,有多个.区间估计的意义置信区间满足: P(q q q ) = 1-a即随机区间(q , q )覆盖参数真值q的概率为1-a注意:有了样本观测值后,则置信区间(q ,q )完全确定, 不再是随机区间,要么包含参数q ,要么不包含q .区间估计的主要步骤(1)根据样本X1 , X2 , ., Xn构造枢轴量: G = G( X1 , ., Xn ,q ),要

7、求G中包含待估参数q ,但不能包含其它参数.并且G的 分布已知,且其分布不依赖于其它未知参数.a.若G的分布对称(如N (0,1), t分布),则a = -Ga ,b = Ga22b.若G的分布不对称(如c 2 , F分布),则a = G ,b = G 1- aa22,注:a,b选择不唯一,选择a,b的标准以置信区间长度q -q最短为标准(3)若能从a G( X1 , ., Xn ,q ) b得出等价的不等式q q q 则(q ,q )即为q的一个置信水平为1 - a的置信区间.(2)对于给定的置信水平1 - a ,根据G的分布定出常数a, b,使得 P(a G( X1 , ., Xn ,q

8、) b) = 1 - a .6.4单个正态总体均值的区间估计(重点)设总体 X N (m , s 2 ), X, X, ., X为总体X的样本,12nX ,S2分别为样本均值,样本方差,置信水平为1-a1. 已知方差s 2 ,均值m 的区间估计(1)确定枢轴量Go 2X - mX - mX N (m ,)n从而 N (0 , 1)n令 G =so /n(2)确定常数a, bP(a X - m b) = 1 -a使o /nj (t)N(0,1)对称分布,故令a = -zb = z,a / 2a / 2(3)解不等式确定(q ,q )a / 2 X - m解不等式:- z z- za / 2a /

9、 2a / 2xza / 2o /nO sn sn m X + z) = 1 -a满足:P( X - za / 2a / 2m的置信水平为1-a的置信区间: X szna /2 得:X - zs m X + zs(随机区间)a / 2na / 2nx2.方差s 2未知,均值m 的区间估计(1) 确定枢轴量Gf (t ) X - m t(n - 1)令 G =X - mS /nS /na / 2(2) 确定常数a, bX - m- ta / 2 Ota / 2使P(a b) = 1 -aS /nt(n -1)对称分布,故令a = -ta / 2 (n -1),b = ta / 2 (n -1)即

10、 P(-t(n - 1) X - m t(n - 1) = 1 -aa / 2S /na / 2(3)解不等式确定(q ,q )(n - 1) X - m t解不等式:- t(n - 1)a / 2a / 2S /nSS1-a置信区间: m X + tX - t(n - 1)(n - 1)a / 2a / 2nnm的置信水平为1-a的置信区间: X St(n - 1) na /2例2某矿工人的血压(收缩压,以mmHg计),服从正态分布N(m,s 2 )，m,s 2均未知。今随机选取13位工人测得收缩压为129, 134, 114, 120,116，133，142，138，148，129，133

11、，141，142 ,m的置信水平为0.95的置信区间。试求13 1x =x= 132.231, s = 10.489解:i13i =1查表得 ta / 2 (n -1) = t0.025(12) = 2.1788由m的置信水平为1-a的置信区间为 X (n - 1)Sta /2 n10.489()得 132.231 2.1788=125.89138.57，13两个正态总体参数的区间估计实际问题中，经常需要比较两个或以上产品质量、技术水平，项目收益率高低、风险大小等。归纳为两个正态总体均值差、方差比的估计。设总体 X N (m, s 2 ), 总体Y N (m, s 2 ). 设X, X, .,

12、 X112212n1为总体X的样本,Y1 ,Y2 , .,Yn 为总体Y的样本,这两个样本2相互独立.X ,Y 分别为总体X , Y的样本均值, S 2 , S 2分别为12总体X , Y的样本方差,给定置信水平为1-a1.两个总体均值差m1- m2的置信区间.o 2o 2 由于X N (mY N (m, 1 ),n, 2 )n且X , Y 相互独立.1212o 2o 2因此X - Y N (m- m, 1 + 2 )12nn12G= (X - Y ) - (m1- m2 ) N (0,1)标准化后得:o 2s2+12n1n2m- m-a-s 2 + s 2得的1置信区间:(XYz 1 2 )12a / 2nn12(1)s 2 ,s 2均为已知 12(2)s 2 ,s 2未知12用 S2 ,S2分别代替 s 2 ,s 2得到1212t = (X - Y ) - (m1 - m2 ) 近似t(u ), 其中u为公式6.4.（8P160） S2 S2+1 2 (X - Y ) -