安徽大学2007―2008学年第2学期《 离散数学 》考试试卷(B卷)

1、安徽大学20072008学年第 二 学期 离散数学 考试试卷（B卷）（闭卷 时间120分钟）一、填空题（每空2分，共12分）1.,是有理数集合，*为上的二元运算，对,有，则*的单位元是_。当时，的逆元为_。2.一棵无向树有5片树叶，3个2度分支点，其余的分支都是3度顶点，则有_个顶点。3.设是布尔代数，则运算的单位元是_，零元是_。4.一棵二元树有个结点，则这棵二元树的高度最大是：_。二、选择题（每小题2分，共10分）1.（ ）是群中唯一的等幂元素。A.幺元B.零元C.逆元D.生成元2.若图有穿梭于图的每条边一次且仅一次的回路，该图为（ ）。A.半欧拉图B. 欧拉图C. 半哈密尔顿图D.哈密尔

2、顿图3.若是可交换的，含幺而无零因子环，则称它是（ ）。A.域B.理想C.整环D.含幺环4.小于30条边的平面简单图有一定一个顶点的度数（ ）。A.B.C.D.5.对于可（ ）运算，若一个元素有左逆元和右逆元，有。A.结合B.交换C.吸收D.封闭三、计算题（每小题8分，共32分）1. 为群，且，其中，是2阶元，是单位元，求的阶。2. 设为整数集合,在上定义二元运算如下：，问关于运算能否构成群？为什么？3. 下列各集合对于整除关系都构成偏序集,判断哪些偏序集是格。(1) L=1,2,3,4,5(2) L=1,2,3,6,12(3) L=1,2,3,4,6,9,12,18,36(4) L=1,2,

3、22,.,2n,nZ+4.设无向图中各顶点的度数都是3，且顶点数与边数有如下关系：，（1）中顶点数与边数各为多少？（2）在同构的意义下是唯一的吗？四、证明题（每小题8分，共32分）1.设为群，,，有，证明当且仅当是交换群，是的自同构。2. 是群，是的子群，对任意的，有的充要条件是：对。3.证明若是每个区域至少由条边围成的连通平面图，则，这里分别是图的顶点数和边数。4.设是二分图，它的两个部分的顶点集分别是和,且和的元素个数不等，则一定不是图。五、综合题（14分）设是群，为*的单位元，（1） 给出满足上面的运算表。（2） 说明由该运算表建立的是循环群吗？若是，请给出所有的生成元。（3） 该群能否

4、成为一个14阶群的子群？请说明你的理由。安徽大学20072008学年第 二 学期 离散数学 （B卷）考试试题参考答案及评分标准一、填空题（每空2分，共12分）1. ，2. 113. 0，14. 二、选择题（每小题2分，共10分）1.A2.B3.C4.D5.A三、计算题（每小题8分，共32分）1. （4分） 是二阶元 且 （2分） 故x的阶为3 （2分）2. (1)易见该运算封闭。 （2分）(2)任取整数x,y,z, (xy)z=(x+y-2)z = x+y-2+z-2 = x+y+z-4 x(yz)=x+(y+z-2)-2 = x+y+z-4 = x+y+z-4 结合律成立。 （2分）(3)单

5、位元为2。 （2分）(4)X的逆元为4-x。 （2分）3 （1）不是格 （2分） （2）是格 （2分）（3）是格 （2分） (4) 是格 （2分）4. （1） 又 （2分） ， （2分） （2）不唯一 （2分） （1分） K(3,3) (1分) 四、证明题（每小题8分，共32分）1.（1）设*是群上的运算， ，有 是交换群 故是到的自同态。 （2分） ，若，则，即故是到的单射。 （1分），,使 故是到的满射。 （1分）故是到的双射。 （1分）综上，故是到的同构。（2）若是到的自同构， ， 又 故是交换群。 （3分）2. 对即即 （3分）同理 （1分）综上 (1分) 对任意的总有 使对任意的，有 （3分）3.图是每个区域至少由条边围成的连通平面图 ，为面数 （2分） 又 （4分） （2分）4. 不妨设，则 （2分） （4分） 不是图。 （2分）五、综合题（14分）解：（1） （3分） （3分） （2）第一个表是循环群，生