凸函数在不等式中的证明

1、凸函数在不等式中的证明1.函数的定义及其常见的凹凸函数大家都熟悉函数的图像，它的特点是：曲线上任意两点间的弧总在这两点连线的下方。我们可以下这样一个定义：设在上有定义，若曲线上任意两点间的弧总位于连接该两点的直线之下，则称函数是凸函数.上面的定义只是几何描述性的，为了便于凸函数的应用，用严格的式子分析定义凸函数是十分必要的.在不等式的证明中经常会应用到凸函数的两个定义：定义1 设在内连续，如果对内任意两点恒有 那么称在内是凸函数.定义2 设在内连续，如果对 内任意两点 ，有 则称 在内是凸函数. 以上若不等式的方向相反，则称 在内是凹函数.1.1常见的凹凸函数有1.1.1 或,均为内的严格凸函

2、数;1.1.2 均为内的严格凸函数.1.2 凸函数的常见性质及其判定定理性质1 设为凸函数，为常数，则 是凸函数：若 是凸函数，则 仍是凸函数：若是增凸函数，也是凸函数，则复合函数也是凸函数.性质2 如果是上的凸函数，则在的任一闭子区间上有界.性质3 如果是上的凸函数，则在内连续.定理11 是区间上的凸函数的充要条件是：对于满足 的任意 ，有： 定理2 若在区间上二阶可微，则在上是凸函数的充要条件是： 1.3凸函数的不等式1.3.1 凸函数基本不等式设是内的严格凸（凹）函数，则对 内的任意一组不全相同的值，必有不等式： 1.3.2 Jensen不等式Jensen不等式是凸函数的一个重要性质，利

3、用其证明一些重要不等式可以更简捷，它有如下两种形式：（1） 设是 内的凸（凹）函数，则对 内的任意一组值及任意正数 必有不等式： （2）设为上的可积函数，而 则当为凸（凹）函数时有 2.凸函数在证明不等式中的简单应用在初等数学中，调和平均值不大于几何平均值，几何平均值不大于算术平均值，算术平均值不大于平方平均值，而证明用到数学归纳法.其实，这些不等式可在凸函数框架下统一证明. 例1 设 ，证明： 证明 设 ，有，从而，函数在是严格凸函数， 取 有 或 即 取 同样方法，有 于是， ， 有 例2 证明 有 上式称为算术平均不大于 次平均，特别的，当 ，得到算术平均值不大于平方平均值。 证明 考察

4、函数 由于有 所以为凸函数，从而 有 在上式中，令 即得 例3 若 且，求证：Young不等式 证明 从所求证的不等式的形式来看，不容易直接找到合适的凸函数，因此，我们要对它进行一定的变形。不妨不等式两边同取自然对数，则有 由此很容易找到合适的凸函数。考察函数，因为，由定理1知，在时为凸函数，因为有， 所以 于是 即 特别地，当 时，此不等式就是前面例1的结果，即平均值不等式。Young不等式在泛函分析，偏微分方程中应用很广. 凸函数在一些几何和三角函数不等式证明中的精巧妙用如下。例4 设 ，证明： 证明 取它是 上的凸函数，由Jensen不等式，得所以 特别的：（1）如果在这个不等式中，令 则得 ； （2）对于三角形的三个内角，有例5 设，证明：证明 先将原不等式化为 因为 为上的凸函数，故当时，有 令则 而 所以 这道题目很难用初等知识证明，但通过构造凸函数 巧妙地令，便可很方便的证得. 对于数学分析，泛函分析中的一些重要不等式，利用凸函数也可以建立统一框架，简捷方便地进行证明.例6 设在上可积，是上的凸函数，则 证明 由Jensen不等式，有 令 则有 由于可积，为凸函数，故 可积.上式中令取极限，即得到 特别的，若 在 上连续，且取 则有 前例结合凸函数的定义