6 4与6 5换元积分与分部积分法

1、第四、五节定积分的换元法与分部积分法一、换元积分法二、分部积分法一、换元法1、第一换元法（凑微分法）p2pp1212x sin x2dx =2 sin x2dx2= -cos x2如：| 2000p 2= 1 - 1cos224 1x1 + ln xedx= 2(2 - 1)12、第二换元法定理假设（1） f ( x)在a, b上连续；(2)j(t)在,有连续导数，单调;（3）当t 在区间a , b 上变化时，x = j (t ) 的值在a, b上变化，且j (a ) = a 、j (b ) = b ，bbf j (t )j (t )dt .f ( x)dx =则有aa当a b 时，换元公式仍

2、成立.注意注(1)处理根号问题:ax + bax + bcx + d+ a2 ,- x2 ,- a2x2a2x2 （2）换元要换限，计算后不必回代 （3）开根号后要加绝对值(4)x = j(t)要在,上单调,连续,可导例1计算下列积分 dx4(1)1 +xx040t02解: 令 x = t x = t2 ,dx = 2tdt 2t2原式 =dt1 + t0+ - 22(1 t) 21 + t222=dt =2dt -dt1 + t000= 2t |2 -2ln(1 + t) |2=4-2ln300- 1x22(2)dxx1解: 令x = sect dx = sect tan tdtpp3p30

3、原式=3 tan2 tdt=(sect - 1)dt2= (tant - t) |003 - p=313 - 2 xdxx(3)计算0p2cos5 x sin xdx.（4）0例 2 当 f ( x)在-a, a上连续，且有aa= 2 f ( x)为偶函数，则f ( x)dxf ( x)dx ；-a0af ( x)dx = 0.f ( x) 为奇函数，则-a+ x cos x2 x21dx.例3计算1 +1 - x2-111dx +原式=dx解-1-1奇函数偶函数x2x2 (1 -1 - x2 )dx11=4dx = 41 +(1 -1 - x21 - (1 - x2 )001=1 - x2

4、)dx = 4 -40单位圆的面积= 4 - p.141 - x2 dx 0x cos x1 +1 - x22 x21 +1 - x2x3 sin6 x5如:+ 7 dx=0x+ 2x24-51ln( x +1 + x2 )dx=0-111(x +1 - x2 )2 dx=(1 + 2x1 - x2 )dx-1-1为奇函数,积分为01=1dx =1= 2x |-1-1若 f ( x)在0,1上连续，证明例 4p2p2f (sin x)dx =（1f (cos x)dx ;）00p2ppxf (sin x)dx =（2f (sin x)dx .）00x sin xp0由此计算dx1 + cos2

5、 xx = p - t dx = -dt,（1）设证20f sin p - t dtp2= -f (sin x)dx2p02p2p2=f (cos t )dt=f (cos x)dx;00（2）设 x = p - t dx = -dt,x = 0 t = p,x = p t = 0,p00xf (sin x)dx= -(p - t) f sin(p -t)dtpp= 0 (p - t) f (sin t)dt,pp= p0- 0 tf (sin t)dtf (sin t)dtppf (sin x)dx- 0xf (sin x)dx,= p0p2ppxf (sin x)dx =f (sin x)

6、dx.00p x sin xdx= pp sin xdx1 + cos2 x1 + cos2 x200p21pp= -arctan(cos x)= -pd (cos x)1 + cosx2002= - p (-p4pp2-)=.244二、分部积分公式设函数u( x)、v( x) 在区间a, b 上具有连续bbbudv =uv-vdu导数，则有.aaa定积分的分部积分公式b(uv) = b+(uv) dxuv,推导u vuv ,aabbb=u vdx +uvuv dx,aaabudv = uv bb-vdu.aaa例5:计算下列定积分12arcsin xdx.(1)0解xdx12120120=x

7、 arcsin x-arcsin xdx1 - x201p12112+ d (1 - x2 )=1 - x2260+ =pp12+ 3 - 1.12=1 - x201221-x dx(2)e0e(3)sin(ln x)dx1例6设f(x)是以T(T 0)为周期的连续函数, 证a+TTa有af (x)dx =f (x)dx0x+ 2pAF ( x) =sin tesin tdt，则F ( x)例：设xA 为正常数C 恒为零B 为负常数D 不为常数例7 : 设f(x) 在(-,+)连续,且xf(x- t)tdt =e-x- 1, 求f(x)x0令x-t=u=x0f (x - t)tdt-u)(-d

8、u)解:f (u)(x0xxx=-=x- x - 1xf (u)duuf(u)due00xf (u)du = ex - 1两边对x求导:0两边再对x求导: f (x) = ex注：变上限求导的三种类型 :g(x)-直接利用公式(1)f(t)dt0g(x)g( x)g( x)f(t)(x - t)dt= xf (t)dt -(2)f (t)tdt000令x-t=u=g(x)(3)f(x - t)dt0x+)连续,F(x)=例8: 设f(x)在(-,f(t)dt0证:若f(x)为奇(偶)函数,则F(x)为偶(奇)函数证: 若f(-x) = -f(x),则F(-x) =0f (t)dt令t=-u-x

9、x=-f (-u)du = F(x)0注:xF(x) =f(t)dt, a 0,则F ( x)为非奇非偶函数.若a三、小结定积分的换元法bbf j (t )j (t )dtf ( x)dx =aa几个特殊积分、定积分的几个等式定积分的分部积分公式bbbudv =-uvvdu.aaa（注意与不定积分分部积分法的区别）思考题指出求-2的解法.dx-2的解法中的错误，并写出正确- 1x2xt : 2p 3p ,令 x = sect,dx = tan t sec tdt,解33 p4412 dx-=sec t tan tdt- 1x2-2sec t tan txp2 3p .3 p4=dt=12p2

10、3思考题解答计算中第二步是错误的.Q x = sect2p3pt 3,4 ,tan t 0,- 1 = tan t tan t.x2正确解法是 x = sec t2 dx 1sec t tan tdt3 p4-2sec t tan tpxx- 12 23dt= -p .3 p4= -12p2 3练 习 题一、填 空题：pp1、sin( x +)dx = ；p33p(1 - sinq )dq = 32、；0 23、2 - x 2 dx = ；012(arcsin x)2dx =4、；121 - x 2-x 3sin 2 x5+ 1 dx = .5、+ 2 x 2x 4-5二、计 算下列定积分：p

11、3 dx；sinjdxcosjdj ； 2 、321、1 + x 2x 201p2 cos x - cos3 xdxp13、； 4 、3p21 - x - 1-4p01 + cos 2xdx ； 6 、4 cos4 qdx ；5、2p2-11 - x 2 + x 31 + x 2 )dx；( x 27、-123max x , xdx8、；0dx （ l 为参数2x - lx9、）.01, 当x 0时，1 + x三、设 f ( x) =2f ( x - 1)dx .求 10, 当x 0时，1 + e x四、设 f ( x)在 a , b 上连续，bb=f (a + b - x)dx.f ( x)dx 证明 aa五、证 明：11-=xn (1 - x)m dx .mnx(1x)dx 00六、证明：aa= f ( x) +f (- x)dx,f ( x)dxp -a0dx4 并求.p41 + sin x-七、设 f ( x)在 0 , 1 上连续，p2142pf ( cos x )dx =f ( cos x )dx.证明00练习题答案pp3一、1、0； 2、p - 4 ； 3、； 4 、； 5、0.3 23212 - 23 ； 3、