1轮总复习理科数学课件第17讲导数在函数中的应用文库.ppt

1、1,2,第三单元 导数及其应用,3,第17讲,导数在函数中的应用,4,1.了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（对多项式函数一般不超过三次）. 2.了解函数在某点取得的极值的必要条件和充要条件；会用导数求函数的极大值、极小值（对多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上的函数的最大值、最小值(对多项式函数一般不超过三次).,5,1.已知函数f(x)在点x0处连续，下列命题中,正确的是( ),C,A.导数为零的点一定是极值点 B.如果在点x0附近的左侧f (x)0,右侧f (x)0,右侧f (x)0,那么f(x0)是极大值,由极值的定义知C正确.,6,2.函数

2、y= 的单调递增区间为( ),B,A.(-,-1) B.(-1,1) C.(1,+) D.(-,2),因为y= = , 所以由y0得1-x20,所以x21,所以-1x1.故选B.,7,3.已知函数f(x)=x3+ax2+3x-9在x=-3时取得极值，则a等于( ),D,A.2 B.3 C.4 D.5,因为f (x)=3x2+2ax+3, 又f(x)在x=-3时取得极值， 所以f (-3)=30-6a=0,解得a=5.,8,4.函数f(x)=x3-3x+1在闭区间-3,0上的最大值是 ，最小值是 .,3,-17,f (x)=3x2-3=3(x-1)(x+1), 令f (x)=0，得x=1. 而f

3、(-3)=-17，f(-1)=3，f(0)=1， 故f(x)在-3,0的最大值是3，最小值是-17.,9,5.若函数y=x3-ax2+4在(0,2)内单调递减，则实数a的取值范围为 .,3,+),因为函数y=x3-ax2+4在(0,2)内单调递减， 所以y=3x2-2ax0在(0,2)内恒成立， y|x=0=00 y|x=2=12-4a0,所以a3.,所以,10,1.函数的单调性与其导数的关系 (1)对于定义在区间(a,b)内连续不间断的函数y=f(x)，由f (x)0 y=f(x)在(a,b)内单调递增 f (x)0在(a,b)内恒成立，其中(a,b)为f(x)的单调递增区间； (2)对于定

4、义在区间(a,b)内连续不间断的函数y=f(x),由f (x)0 . . f (x)0在(a,b)内恒成立，其中区间(a,b)为f(x)的单调递减区间.,y=f(x)在(a,b),内单调递减,11,2.函数的极值与其导数的关系 (1)极值与极值点：设函数f(x)在点x0及其附近有定义，如果对x0附近的异于x0的所有点x,都有 ,则称f(x0)为f(x)的极大值,记作y极大值=f(x0),x0为极大值点.反之,若 ,则称f(x0)为f(x)的极小值，记作y极小值=f(x0),x0为极小值点，极大值和极小值统称为极值，极大值点和极小值点统称为极值点. (2)若x0为可导函数f(x)的极值点，则有

5、，不一定成立.,f(x)f(x0),f(x)f(x0),f (x0)=0,12,3.函数的最值与其导数的关系 (1)函数的最值：如果在函数y=f(x)的定义域I内存在x0，使得对任意的xI，都有 ,则称f(x0)为函数的最大值,记作ymax=f(x0);反之,若有 ,则称f(x0)为函数的最小值，记作ymin=f(x0).最大值和最小值统称为最值； (2)如果函数y=f(x)在闭区间a,b上的图象是 的曲线,则该函数在闭区间a,b上一定能够取得最大值与最小值.,f(x)f(x0),f(x)f(x0),一条连续不间断,13,4.极值与最值的区别与联系 极值是反映函数的局部性质，最值是反映函数的整

6、体性质.极大(小)值不一定是最大(小)值，最大(小)值也不一定是极大(小)值，极大值不一定比极小值大.但如果函数的图象是一条不间断的曲线，在区间(a,b)内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值.,14,题型一 函数的单调性与导数,例1,已知函数f(x)=x3-ax-1. （1）若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围； （2）是否存在实数a，使f(x)在(-1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由.,15,（1）由已知f(x)=3x2-a. 因为f(x)在R上是单调增函数， 所以f(x)=3x2-a0在R上恒成立， 即a3x2对xR恒成立. 又

7、因为3x20，所以只需a0. 又因为当a=0时，f(x)=3x20, 即f(x)=x3-1在R上是增函数，所以a0.,16,(2)由f(x)=3x2-a0在(-1，1)上恒成立, 得a3x2，x(-1,1)恒成立. 因为-1x1,所以3x23,所以只需证明a3. 当a=3时，f(x)=3(x2-1), 在x(-1,1)上，f(x)0， 即f(x)在(-1,1)上为减函数，所以a3. 故存在实数a3,使f(x)在(-1，1)上单调递减.,17,(1)f(x)0（或f(x)0)仅是f(x)在某个区间上为增函数（或减函数）的充分条件，在（a,b)内可导的函数f(x)在(a,b)上递增（或递减）的充要

8、条件是f(x)0（或f(x)0)对x(a,b)恒成立，但f(x)不恒为0.,18,(2)已知函数f(x)是增函数（或减函数），求参数的取值范围时，应令f(x)0(或f(x)0)恒成立，解出参数的取值范围，然后检验参数的取值能否使f(x)恒等于0.若恒等于0，则参数的这个值应舍去；若f(x)不恒等于0，则由f(x)0（或f (x)0)恒成立解出的参数的取值范围确定.,19,求函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)的单调增区间.,因为 f(x)=(x-2)(x-3)+(x-1)(x-3)+(x-1)(x-2) =3x2-12x+11. 由f(x)0，得x2- 或x2+ . 故函数f(x)的单

9、调递增区间是 (-,2- 与2+ ,+).,本题易错误地作答为递增区间是 (-,2- 2+ ,+).误将正值区间(1,2)或(3,+)作为增区间.,20,题型二 函数的极值与导数,例2,已知x=3是函数f(x)=aln(1+x)+x2-10 x的一个极值点. (1)求a; (2)求函数f(x)的极大值； (3)若直线y=b与函数y=f(x)的图象有3个交点，求b的取值范围.,21,(1)因为f (x)= +2x-10, 所以f (3)= +6-10=0,因此a=16. (2)由(1)知，f (x)= +2x-10 = (x-1). 此时，f(x)、f(x)随x的变化情况如下表：,由上表知函数f

10、(x)的极大值为f(1)=16ln2-9.,22,(3)由(2)知，f(x)在(-1,1)内单调递增，在(1,3)内单调递减，在(3,+)上单调递增，且当x=1或x=3时,f (x)=0， 所以f(x)的极大值为f(1)=16ln2-9,极小值为f(3)=32ln2-21. 若直线y=b与函数y=f(x)的图象有3个交点，当且仅当f(3)bf(1). 因此，b的取值范围为(32ln2-21，16ln2-9).,23,若上例(3) 变为:方程f(x)=b有一解、两个不同解、三个不同解，那么实数b的取值范围将如何？,由上表 不难解得b16ln2-9时有一解，b=16ln2-9或b=32ln2-21

11、时，有两个不同的实数解；32ln2-21b16ln2-9时，方程有三个不同的实数解.,24,(1)运用导数求可导函数y=f(x)极值的步骤： 先求函数的定义域，再求函数y=f(x)的导函数f(x)； 求方程f(x)=0的根； 检查f(x)在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值.如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值.,25,（2）根据定义，极值点是区间a,b内部的点，不会是区间的端点a、b，且极值必须在区间内的连续点处取得. （3）一个函数在其定义域内可以有许多个极小值和极大值，且极小值与极大值没有必然的大小关系.如果函数在a,b上有极值的话，它的极值

12、点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点,同样,相邻两个极小值点之间必有一个极大值点,极大值点与极小值点是交替出现的.,26,（4）若函数f(x)在a,b内有极值，则f(x)在(a,b)内绝不是单调函数，即在区间a,b上单调的函数没有极值. 注意：可导函数的极值点必须是导数为0的点，导数为0的点不一定是极值点.可导函数f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f(x0)=0，且在x0的左侧与右侧的f(x)的符号不同，不可导的点也可能是极值点.,27,题型三 函数的最大值、最小值与导数,例3,已知函数f(x)=x3-12x+8在区间-3,3上的最大值与最小值分别为M,N，试求M-N的

13、值.,28,f(x)=3x2-12=3(x+2)(x-2)， 令f (x)=0，得x1=-2，x2=2. 则f(x)，f(x)随x的变化情况如下表：,显然，M=24，N=8，则M-N=24+8=32.,29,已知a是实数，函数f(x)=x(x-a). (1)求函数f(x)的单调区间； (2)设g(a)为f(x)在区间0,2上的最小值，写出g(a)的表达式.,30,(1)函数的定义域为0,+), f (x)= + = (x0). 若a0，则f (x)0,f(x)有单调递增区间0,+)； 若a0，令f (x)=0，得x= ， 当0 时，f (x)0， 故f(x)的单调递减区间为0, ,单调递增区间

14、为 ,+).,31,(2)若a0,f(x)在0,2上单调递增,所以g(a)=f(0)=0， 若0a6,f(x)在0, 上单调递减，在 ,2上单调递增， 所以g(a)=f( )=- =- . 若a6，f(x)在0,2上单调递减，所以g(a)=f(2)=2(2-a). 0 (a0) - (0a6) (2-a) (a6).,综上所述,g(a)=,32,（1）函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大值必须是整个区间上所有函数值中的最大值，最小值必须是整个区间上所有函数值中的最小值. （2）函数的极值可以有多个，但最大值（最小值）只能有一个. （3）极值只能在区间内取得，最值却可以在端点处取得.,33

15、,（4）一般的，在闭区间a,b上的连续函数f(x)必有最大值与最小值，在区间（a,b)内的连续函数不一定有最大值与最小值.若函数y=f(x)在闭区间a,b上单调递增，则f(a)是最小值，f(b)是最大值；若函数y=f(x)在闭区间a,b上单调递减，则f(a)是最大值，f(b)是最小值.,34,对任意的正整数n,求证: In ( +1) - .,令函数f（x）=x3-x2+ln（x+1）， 则f （x）=3x2-2x+ = . 所以当x0，+）时，f （x）0，所以函数f（x）在0，+）上单调递增，又f（0）=0，,35,所以x（0，+）时,恒有f（x）f(0)=0，即x3x2-ln（x+1）恒

16、成立， 故当x（0，+）时,有ln（x+1）x2-x3. 对任意正整数n，取x=1n（0，+）， 则有ln（ +1） - ，所以结论成立.,利用导数证明不等式，就是把不等式恒成立的问题通过构造函数，转化为利用导数求函数最值的问题.,36,1.求可导函数的单调区间的一般步骤和方法： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)令f (x)=0，求出此方程在f(x)的定义域内的一切实根； (3)把函数f(x)无定义的点的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺序排列起来，这些点把定义域分成若干个小区间；,37,(4)确定f (x)在各小开区间内的符号，根据f (x)的符号判断函数f(x)在每个相应的小开区间

17、的增减性. 2.求可导函数y=f(x)的极值的方法： (1)求导数f (x); (2)求方程f (x)=0的根； (3)检验f (x)在每个根左、右的符号,如果根的左侧附近为正、右侧附近为负,则f(x)在这个根处取得极大值;如果根的左侧附近为负、右侧附近为正,则f(x)在这根处取得极小值.,38,3.求可导函数f(x)在闭区间a,b上的最值的方法： (1)求f(x)在(a,b)内的极值； (2)将求得的极值与f(a),f(b)比较，其中最大的一个为最大值、最小的一个为最小值.,39,4.注意:(1)利用导数求单调区间时,必须先求定义域; (2)使导函数f (x)=0的点称为函数的驻点，则可导函数的极值点必是驻点，但驻点不一定是极值点.求一个可导函数的极值时，常常把驻点附近的函数值的讨论情况列成表格，注意这里的“可导”两字必不可少.,40,(2009辽宁卷)已知函数 f(x) x2-ax+(a-1)lnx,a1. (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)证明：若a-1.,41,(1)f(x)的定义域为(0,+). f(x)=x-a+ = = . ()若a-1=1,即a=2,则f(x)= . 故f(x)在(0,+)单调增加.