平行与垂直关系的综合问题

1、考点144：平行与垂直关系的综合问题1.（13北京T17）如图，在四棱锥中，平面底面，和分别是和的中点，求证：（1）底面；（2）平面；（3）平面平面 第1题图Yxj5【测量目标】平行与垂直关系的综合问题.【考查方式】给出四棱锥中线线关系、线面关系及面面关系，求线面垂直、线面平行及面面垂直.【试题解析】证明：（I）因为平面平面,且垂直于这个平面的交线所以垂直底面.（II）因为,为的中点，所以,且，（步骤1）所以为平行四边形，所以,又因为平面,平面所以平面（步骤2）（III）因为,而且四边形为平行四边形所以,由（I）知底面,（步骤3）所以,所以平面（步骤4）所以,因为和分别是和的中点所以,所以,所

2、以平面,所以平面平面.（步骤5）2.（13浙江T4）设m、n是两条不同的直线，是两个不同的平面， （ ）A.若，则 B.若,则 C.若， ,则 D.若,则【测量目标】平行与垂直关系的综合问题.【考查方式】根据线线关系判断线面关系.【参考答案】C【试题解析】用直线与平面平行的性质定理判断A的正误；用直线与平面平行的性质定理判断B的正误；用线面垂直的判定定理判断C的正误；通过面面垂直的判定定理进行判断D的正误.A.，则，,则与可能相交也可能异面，所以A不正确；B. ,则，还有与可能相交，所以B不正确；C. ， ,则，满足直线与平面垂直的性质定理，故C正确.D. ,则，也可能，也可能，所以D不正确.

3、3.（13江苏T16）如图，在三棱锥中，平面平面，,. 过作，垂足为，点,分别是侧棱,的中点. 求证：(1) 平面平面;(2).第2题图LSC24【测量目标】平行与垂直关系的综合问题. 【考查方式】线面平行面面平行，线面垂直线线垂直.【试题解析】证明：（1）因为，垂足为，所以是的中点. （步骤1）又因为是的中点，所以.（步骤2）第2题图LSC25 因为平面，平面，所以平面（步骤3） 同理平面. 又，所以平面平面.（步骤4）（2）因为平面平面，且交线为，又平面，所以平面. （步骤1）因为平面，所以. （步骤2）又因为，平面，平面. （步骤3）因为平面，所以.（步骤4）4.（13辽宁T18）如图，

4、是圆的直径，垂直圆所在的平面，是圆上的点.（I）求证：平面；（II）设为的中点，为的重心，求证：平面.【测量目标】平行与垂直关系的综合问题.【考查方式】由线线垂直证明线面垂直，借助做辅助线，由面面平行证明线 面平行 . 第4题图 【试题解析】（1）是圆的直径， （步骤1）平面，平面，. （步骤2）又,平面，平面，平面. （步骤3）(2)连接并延长交于点，连接,为的重心，为中点. （步骤4）为中点，, （步骤5）又为中点，. （步骤6）,平面，平面 ,平面,平面,平面平面. （步骤7） 第4题图 平面,平面.5. (13山东T19)如图，四棱锥中，分别为的中点()求证：；()求证：【测量目标】平

5、行与垂直关系的综合问题.【考查方式】根据所给出的直线间的位置关系,用线线平行推导线面平行，根据线面垂直，去证明面面垂直.【试题分析】要证明线面平行，可考虑证明线线平行，也可先证明面面平行，进而转化为证线面平行，利用三角形的中位线或平行四边形的性质证明线线平行是证明平行问题首先要考虑的;要证明， 第5题图SFT3可先考虑证明平面中的垂直于平面,即转化为证明线面垂直，而要证明，需要证明垂直于平面中的两条相交直线(1):如图，取 为的中点 (步骤1) (步骤2)所以四边形是平行四边形 (步骤3)(步骤4)(步骤5)(2)因为分别为的中点，所以(步骤6)同理可证(步骤7)平面平面(步骤8)又分别为的中

6、点(步骤9)又平面(步骤10)平面所以平面平面(步骤11)6. (13四川T19) 如图，在三棱柱中，侧棱底面，分别是线段的中点，是线段上异于端点的点（）在平面内，试作出过点与平面平行的直线，说明理由，并证明直线平面；（）设（）中的直线交于点，求三棱锥的体积（锥体体积公式：，其中为底面面积，为高） GXX18第5题图【测量目标】平行与垂直关系的综合问题，柱、锥、台、球的体积.【考查方式】已知三棱柱和三棱柱中线段的关系.（1）由线面、线线平行，线面、线线垂直证明.（2）利用三棱柱的等价转化方法求体积. GXX19 第5题图【试题解析】（1）只需在平面内过点作由线面平行、垂直的相关知识得证.（2）

7、借助等面积转换法求解. （）如图，在平面内，过点作直线，因为在平面外，在平面 内，由直线与平面平行的判定定理可知，平面（步骤1）由已知，是中点，所以，则直线，（步骤2）又因为底面，所以，（步骤3）又因为，在平面内，且AD与相交，所以直线平面（步骤4） （）过作于，因为平面，所以，（步骤5）因为，在平面内，且AC与相交，所以平面，（步骤6）由，有，所以在中，（步骤7）又，所以因此三棱锥的体积为（步骤8）7.（13广东T8）设为直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是 ( )A若，则 B若，则C若，则 D若，则【测量目标】平行与垂直关系的综合问题.【考查方式】由线面平行或垂直的某些给定条件来判断

8、相关线面的位置关系.【参考答案】B【试题解析】选项A，若，则和可能平行也可能相交，故错误；选项B，若，故正确；选项C，若，故错误；选项D，若，则与的位置关系有三种可能：，故错误.故选B.8. (13湖南T17)如图，在直三棱柱中， ，是的中点，点在棱上运动证明：；当异面直线， 所成的角为时，求三棱柱的体积【测量目标】平行与垂直关系的综合问题，异面直线所成角，柱、锥、台、球的体积 第8题图hy6 【考查方式】根据线面垂直推导到线线垂直，求出三棱柱的高再求体积【试题解析】，是的中点，(步骤1) 又在直三棱柱中，平面，而平面，（步骤2） 由，得平面，由点在棱上运动，得平面（步骤3），在中，（步骤4）

9、在中，（步骤5）是直棱柱，是三棱柱的高（步骤6）所以三棱柱的体积是（步骤7）9.(13天津T17) 如图, 三棱柱中, 侧棱底面,且各棱长均相等.分别为棱的中点. () 证明平面; () 证明平面平面；() 求直线与平面所成角的正弦值. 第9题图1 jxq25 【测量目标】平行与垂直关系的综合应用【考查方式】(1)由线线关系线面平行(2)线线垂直线面垂直面面垂直 (3)利用三棱柱中线段关系求出线面角的正弦值.【试题解析】 (1)证明：如图，在三棱柱中，且，连接，在中，因为分别为的中点，所以且（步骤1） 第9题图2 jxq26 又因为为的中点，可得，且，即四边形为平行四边形，所以.（步骤2）又平面，平面，所以平面.（步骤3）(2)证明：由于底面是正三角形，为的中点，故，（步骤4）又由于侧棱底面平面